MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Structured version   Unicode version

Theorem xp1st 6621
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4872 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 2990 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 2990 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op1std 6602 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 1st `  A
)  =  b )
54eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 1st `  A )  e.  B  <->  b  e.  B ) )
65biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  b  e.  B )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
76adantrr 716 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
87exlimivv 1689 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
91, 8sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   <.cop 3898    X. cxp 4853   ` cfv 5433   1stc1st 6590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fv 5441  df-1st 6592
This theorem is referenced by:  offval22  6667  xpf1o  7488  xpmapenlem  7493  mapunen  7495  unxpwdom2  7818  r0weon  8194  infxpenlem  8195  fseqdom  8211  iundom2g  8719  enqbreq2  9104  nqereu  9113  addpqf  9128  mulpqf  9130  adderpqlem  9138  mulerpqlem  9139  addassnq  9142  mulassnq  9143  distrnq  9145  mulidnq  9147  recmulnq  9148  ltsonq  9153  lterpq  9154  ltanq  9155  ltmnq  9156  ltexnq  9159  archnq  9164  elreal2  9314  cnref1o  11001  fsum2dlem  13252  fsumcom2  13256  ackbijnn  13306  ruclem6  13532  ruclem8  13534  ruclem9  13535  ruclem10  13536  ruclem11  13537  ruclem12  13538  eucalgval  13772  eucalginv  13774  eucalglt  13775  eucalg  13777  xpsff1o  14521  comfffval2  14655  comfeq  14660  idfucl  14806  funcpropd  14825  fucpropd  14902  xpccatid  15013  1stfcl  15022  2ndfcl  15023  xpcpropd  15033  hofcl  15084  hofpropd  15092  yonedalem3  15105  lsmhash  16217  gsum2dlem2  16477  gsum2dOLD  16479  evlslem4OLD  17605  evlslem4  17606  mdetunilem9  18441  tx2cn  19198  txdis  19220  txlly  19224  txnlly  19225  txhaus  19235  txkgen  19240  txcon  19277  txhmeo  19391  ptuncnv  19395  ptunhmeo  19396  xkohmeo  19403  utop2nei  19840  utop3cls  19841  imasdsf1olem  19963  cnheiborlem  20541  caubl  20833  caublcls  20834  bcthlem2  20851  bcthlem4  20853  bcthlem5  20854  ovolficcss  20968  ovoliunlem1  21000  ovoliunlem2  21001  ovolicc2lem1  21015  ovolicc2lem2  21016  ovolicc2lem4  21018  ovolicc2lem5  21019  dyadmbl  21095  fsumvma  22567  lgsquadlem1  22708  lgsquadlem2  22709  disjxpin  25945  cnre2csqima  26356  tpr2rico  26357  2ndmbfm  26691  sxbrsigalem0  26701  dya2iocnrect  26711  sibfof  26741  fprod2dlem  27506  fprodcom2  27510  funtransport  28077  finixpnum  28433  heicant  28445  mblfinlem1  28447  mblfinlem2  28448  ftc2nc  28495  filnetlem3  28620  heiborlem8  28736  rmxypairf1o  29271  frmx  29273  el2xptp0  30146  dvhb1dimN  34649  dvhvaddcl  34759  dvhvaddcomN  34760  dvhvscacl  34767  dvhgrp  34771  dvhlveclem  34772  dibelval1st  34813  dicelval1stN  34852
  Copyright terms: Public domain W3C validator