MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Structured version   Unicode version

Theorem xp1st 6815
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 5006 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 3098 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 3098 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op1std 6795 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 1st `  A
)  =  b )
54eleq1d 2512 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 1st `  A )  e.  B  <->  b  e.  B ) )
65biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  b  e.  B )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
76adantrr 716 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
87exlimivv 1710 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
91, 8sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   <.cop 4020    X. cxp 4987   ` cfv 5578   1stc1st 6783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-1st 6785
This theorem is referenced by:  el2xptp0  6829  offval22  6864  xpf1o  7681  xpmapenlem  7686  mapunen  7688  unxpwdom2  8017  r0weon  8393  infxpenlem  8394  fseqdom  8410  iundom2g  8918  enqbreq2  9301  nqereu  9310  addpqf  9325  mulpqf  9327  adderpqlem  9335  mulerpqlem  9336  addassnq  9339  mulassnq  9340  distrnq  9342  mulidnq  9344  recmulnq  9345  ltsonq  9350  lterpq  9351  ltanq  9352  ltmnq  9353  ltexnq  9356  archnq  9361  elreal2  9512  cnref1o  11226  fsum2dlem  13567  fsumcom2  13571  ackbijnn  13622  fprod2dlem  13766  fprodcom2  13770  ruclem6  13950  ruclem8  13952  ruclem9  13953  ruclem10  13954  ruclem11  13955  ruclem12  13956  eucalgval  14193  eucalginv  14195  eucalglt  14196  eucalg  14198  xpsff1o  14947  comfffval2  15078  comfeq  15083  idfucl  15229  funcpropd  15248  fucpropd  15325  xpccatid  15436  1stfcl  15445  2ndfcl  15446  xpcpropd  15456  hofcl  15507  hofpropd  15515  yonedalem3  15528  lsmhash  16702  gsum2dlem2  16977  gsum2dOLD  16979  evlslem4OLD  18152  evlslem4  18153  mdetunilem9  19100  tx2cn  20089  txdis  20111  txlly  20115  txnlly  20116  txhaus  20126  txkgen  20131  txcon  20168  txhmeo  20282  ptuncnv  20286  ptunhmeo  20287  xkohmeo  20294  utop2nei  20731  utop3cls  20732  imasdsf1olem  20854  cnheiborlem  21432  caubl  21724  caublcls  21725  bcthlem2  21742  bcthlem4  21744  bcthlem5  21745  ovolficcss  21859  ovoliunlem1  21891  ovoliunlem2  21892  ovolicc2lem1  21906  ovolicc2lem2  21907  ovolicc2lem4  21909  ovolicc2lem5  21910  dyadmbl  21987  fsumvma  23466  lgsquadlem1  23607  lgsquadlem2  23608  disjxpin  27425  fimaproj  27814  cnre2csqima  27871  tpr2rico  27872  2ndmbfm  28210  sxbrsigalem0  28220  dya2iocnrect  28230  sibfof  28260  msubff  28868  msubco  28869  mpst123  28878  msubvrs  28898  funtransport  29657  finixpnum  30014  heicant  30025  mblfinlem1  30027  mblfinlem2  30028  ftc2nc  30075  filnetlem3  30174  heiborlem8  30290  rmxypairf1o  30823  frmx  30825  dvnprodlem1  31697  dvnprodlem2  31698  etransclem44  32015  etransclem45  32016  etransclem47  32018  dvhb1dimN  36587  dvhvaddcl  36697  dvhvaddcomN  36698  dvhvscacl  36705  dvhgrp  36709  dvhlveclem  36710  dibelval1st  36751  dicelval1stN  36790
  Copyright terms: Public domain W3C validator