MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Structured version   Unicode version

Theorem xp1st 6605
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4853 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 2973 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 2973 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op1std 6586 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 1st `  A
)  =  b )
54eleq1d 2507 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 1st `  A )  e.  B  <->  b  e.  B ) )
65biimpar 482 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  b  e.  B )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
76adantrr 711 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
87exlimivv 1694 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
91, 8sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   <.cop 3880    X. cxp 4834   ` cfv 5415   1stc1st 6574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-1st 6576
This theorem is referenced by:  offval22  6651  xpf1o  7469  xpmapenlem  7474  mapunen  7476  unxpwdom2  7799  r0weon  8175  infxpenlem  8176  fseqdom  8192  iundom2g  8700  enqbreq2  9085  nqereu  9094  addpqf  9109  mulpqf  9111  adderpqlem  9119  mulerpqlem  9120  addassnq  9123  mulassnq  9124  distrnq  9126  mulidnq  9128  recmulnq  9129  ltsonq  9134  lterpq  9135  ltanq  9136  ltmnq  9137  ltexnq  9140  archnq  9145  elreal2  9295  cnref1o  10982  fsum2dlem  13233  fsumcom2  13237  ackbijnn  13287  ruclem6  13513  ruclem8  13515  ruclem9  13516  ruclem10  13517  ruclem11  13518  ruclem12  13519  eucalgval  13753  eucalginv  13755  eucalglt  13756  eucalg  13758  xpsff1o  14502  comfffval2  14636  comfeq  14641  idfucl  14787  funcpropd  14806  fucpropd  14883  xpccatid  14994  1stfcl  15003  2ndfcl  15004  xpcpropd  15014  hofcl  15065  hofpropd  15073  yonedalem3  15086  lsmhash  16195  gsum2dlem2  16452  gsum2dOLD  16454  evlslem4OLD  17566  evlslem4  17567  mdetunilem9  18385  tx2cn  19142  txdis  19164  txlly  19168  txnlly  19169  txhaus  19179  txkgen  19184  txcon  19221  txhmeo  19335  ptuncnv  19339  ptunhmeo  19340  xkohmeo  19347  utop2nei  19784  utop3cls  19785  imasdsf1olem  19907  cnheiborlem  20485  caubl  20777  caublcls  20778  bcthlem2  20795  bcthlem4  20797  bcthlem5  20798  ovolficcss  20912  ovoliunlem1  20944  ovoliunlem2  20945  ovolicc2lem1  20959  ovolicc2lem2  20960  ovolicc2lem4  20962  ovolicc2lem5  20963  dyadmbl  21039  fsumvma  22511  lgsquadlem1  22652  lgsquadlem2  22653  disjxpin  25865  cnre2csqima  26277  tpr2rico  26278  2ndmbfm  26612  sxbrsigalem0  26622  dya2iocnrect  26632  sibfof  26656  fprod2dlem  27420  fprodcom2  27424  funtransport  27991  finixpnum  28339  heicant  28351  mblfinlem1  28353  mblfinlem2  28354  ftc2nc  28401  filnetlem3  28526  heiborlem8  28642  rmxypairf1o  29177  frmx  29179  el2xptp0  30052  dvhb1dimN  34352  dvhvaddcl  34462  dvhvaddcomN  34463  dvhvscacl  34470  dvhgrp  34474  dvhlveclem  34475  dibelval1st  34516  dicelval1stN  34555
  Copyright terms: Public domain W3C validator