MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp1st Unicode version

Theorem xp1st 6335
Description: Location of the first element of a Cartesian product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
xp1st  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )

Proof of Theorem xp1st
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4854 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. b E. c ( A  = 
<. b ,  c >.  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  C
) ) )
2 vex 2919 . . . . . . 7  |-  b  e. 
_V
3 vex 2919 . . . . . . 7  |-  c  e. 
_V
42, 3op1std 6316 . . . . . 6  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( 1st `  A
)  =  b )
54eleq1d 2470 . . . . 5  |-  ( A  =  <. b ,  c
>.  ->  ( ( 1st `  A )  e.  B  <->  b  e.  B ) )
65biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  b  e.  B )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
76adantrr 698 . . 3  |-  ( ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
87exlimivv 1642 . 2  |-  ( E. b E. c ( A  =  <. b ,  c >.  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  C )
)  ->  ( 1st `  A )  e.  B
)
91, 8sylbi 188 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  ( 1st `  A )  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   <.cop 3777    X. cxp 4835   ` cfv 5413   1stc1st 6306
This theorem is referenced by:  xpf1o  7228  xpmapenlem  7233  mapunen  7235  unxpwdom2  7512  r0weon  7850  infxpenlem  7851  fseqdom  7863  iundom2g  8371  enqbreq2  8753  nqereu  8762  addpqf  8777  mulpqf  8779  adderpqlem  8787  mulerpqlem  8788  addassnq  8791  mulassnq  8792  distrnq  8794  mulidnq  8796  recmulnq  8797  ltsonq  8802  lterpq  8803  ltanq  8804  ltmnq  8805  ltexnq  8808  archnq  8813  elreal2  8963  cnref1o  10563  fsum2dlem  12509  fsumcom2  12513  ackbijnn  12562  ruclem6  12789  ruclem8  12791  ruclem9  12792  ruclem10  12793  ruclem11  12794  ruclem12  12795  eucalgval  13028  eucalginv  13030  eucalglt  13031  eucalg  13033  xpsff1o  13748  comfffval2  13882  comfeq  13887  idfucl  14033  funcpropd  14052  fucpropd  14129  xpccatid  14240  1stfcl  14249  2ndfcl  14250  xpcpropd  14260  hofcl  14311  hofpropd  14319  yonedalem3  14332  lsmhash  15292  gsum2d  15501  evlslem4  16519  tx2cn  17595  txdis  17617  txlly  17621  txnlly  17622  txhaus  17632  txkgen  17637  txcon  17674  txhmeo  17788  ptuncnv  17792  ptunhmeo  17793  xkohmeo  17800  utop2nei  18233  utop3cls  18234  imasdsf1olem  18356  cnheiborlem  18932  caubl  19213  caublcls  19214  bcthlem2  19231  bcthlem4  19233  bcthlem5  19234  ovolficcss  19319  ovoliunlem1  19351  ovoliunlem2  19352  ovolicc2lem1  19366  ovolicc2lem2  19367  ovolicc2lem4  19369  ovolicc2lem5  19370  dyadmbl  19445  fsumvma  20950  lgsquadlem1  21091  lgsquadlem2  21092  disjxpin  23981  cnre2csqima  24262  tpr2rico  24263  2ndmbfm  24564  sxbrsigalem0  24574  dya2iocnrect  24584  sibfof  24607  fprod2dlem  25257  fprodcom2  25261  funtransport  25869  mblfinlem  26143  filnetlem3  26299  heiborlem8  26417  rmxypairf1o  26864  frmx  26866  el2xptp0  27949  dvhb1dimN  31468  dvhvaddcl  31578  dvhvaddcomN  31579  dvhvscacl  31586  dvhgrp  31590  dvhlveclem  31591  dibelval1st  31632  dicelval1stN  31671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fv 5421  df-1st 6308
  Copyright terms: Public domain W3C validator