Theorem xp0r 4065

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37.

Assertion

Ref	Expression
xp0r	|- ((/) X. A) = (/)

Proof of Theorem xp0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4018	. . 3 |- (z e. ((/) X. A) <-> E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)))
2		noel 2879	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 450	. . . . . . 7 |- ((z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) -> x e. (/))
4	2, 3	mto 121	. . . . . 6 |- -. (z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
5	4	nex 1456	. . . . 5 |- -. E.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
6	5	nex 1456	. . . 4 |- -. E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A))
7		noel 2879	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 787	. . 3 |- (E.xE.y(z = <.x, y>. /\ (x e. (/) /\ y e. A)) <-> z e. (/))
9	1, 8	bitri 190	. 2 |- (z e. ((/) X. A) <-> z e. (/))
10	9	eqriv 1881	1 |- ((/) X. A) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  (/)c0 2875  <.cop 3046   X. cxp 3984

This theorem is referenced by:  dmxpid 4179  res0 4221  xp0 4334  xpnz 4335  xpdisj1 4337  rnxpssOLD 4345  xpcan2 4350  unixp 4422  fconstOLD 4603  fodomr 5547  cda0en 6075  cdaassen 6080  alephadd 8851  0met 9102  fixp 10180  zrdivrng 10418  fldsqcp2 14378  fixpc 14418  0alg 15103  cptarc 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain