MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0 Unicode version

Theorem xp0 5005
Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
xp0  |-  ( A  X.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem xp0
StepHypRef Expression
1 xp0r 4675 . . 3  |-  ( (/)  X.  A )  =  (/)
21cnveqi 4763 . 2  |-  `' (
(/)  X.  A )  =  `' (/)
3 cnvxp 5004 . 2  |-  `' (
(/)  X.  A )  =  ( A  X.  (/) )
4 cnv0 4991 . 2  |-  `' (/)  =  (/)
52, 3, 43eqtr3i 2281 1  |-  ( A  X.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619   (/)c0 3362    X. cxp 4578   `'ccnv 4579
This theorem is referenced by:  xpnz  5006  xpdisj2  5009  dmxpss  5014  rnxpid  5016  xpcan  5019  unixp  5111  fconst5  5583  difxp1  6006  dfac5lem3  7636  xpcdaen  7693  fpwwe2lem13  8144  comfffval  13445  fuchom  13679  xpccofval  13800  frmdplusg  14311  mulgfval  14403  mulgfvi  14406  ga0  14587  symgplusg  14611  efgval  14861  psrplusg  15958  psrvscafval  15967  opsrle  16049  ply1plusgfvi  16152  txindislem  17159  txhaus  17173  0met  17762  zrdivrng  20929  dfpo2  23282  fixpc  24259  isbnd3  25674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-br 3921  df-opab 3975  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596
  Copyright terms: Public domain W3C validator