MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xp0 Structured version   Unicode version

Theorem xp0 5217
Description: The Cartesian product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 12-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
xp0  |-  ( A  X.  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem xp0
StepHypRef Expression
1 0xp 4877 . . 3  |-  ( (/)  X.  A )  =  (/)
21cnveqi 4971 . 2  |-  `' (
(/)  X.  A )  =  `' (/)
3 cnvxp 5216 . 2  |-  `' (
(/)  X.  A )  =  ( A  X.  (/) )
4 cnv0 5201 . 2  |-  `' (/)  =  (/)
52, 3, 43eqtr3i 2458 1  |-  ( A  X.  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437   (/)c0 3704    X. cxp 4794   `'ccnv 4795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-br 4367  df-opab 4426  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804
This theorem is referenced by:  xpnz  5218  xpdisj2  5221  difxp1  5224  dmxpss  5230  rnxpid  5232  xpcan  5235  unixp  5331  fconst5  6081  dfac5lem3  8507  xpcdaen  8564  fpwwe2lem13  9018  comfffval  15546  0ssc  15685  fuchom  15809  xpccofval  16010  frmdplusg  16581  mulgfval  16702  mulgfvi  16705  ga0  16895  symgplusg  16973  efgval  17310  psrplusg  18548  psrvscafval  18557  opsrle  18642  ply1plusgfvi  18778  txindislem  20590  txhaus  20604  0met  21323  zrdivrng  26102  aciunf1  28211  mbfmcst  29033  0rrv  29236  mexval  30092  mdvval  30094  mpstval  30125  dfpo2  30346  elima4  30372  finxp00  31701  isbnd3  32023
  Copyright terms: Public domain W3C validator