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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > xnegdi | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Extended real version of xnegdi 11559. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
xnegdi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elxr 11439 |
. 2
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2 | elxr 11439 |
. . . 4
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3 | recn 9647 |
. . . . . . . 8
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4 | recn 9647 |
. . . . . . . 8
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5 | negdi 9951 |
. . . . . . . 8
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6 | 3, 4, 5 | syl2an 485 |
. . . . . . 7
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7 | readdcl 9640 |
. . . . . . . 8
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8 | rexneg 11527 |
. . . . . . . 8
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9 | 7, 8 | syl 17 |
. . . . . . 7
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10 | renegcl 9957 |
. . . . . . . 8
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11 | renegcl 9957 |
. . . . . . . 8
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12 | rexadd 11548 |
. . . . . . . 8
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13 | 10, 11, 12 | syl2an 485 |
. . . . . . 7
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14 | 6, 9, 13 | 3eqtr4d 2515 |
. . . . . 6
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15 | rexadd 11548 |
. . . . . . 7
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16 | xnegeq 11523 |
. . . . . . 7
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17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . 6
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18 | rexneg 11527 |
. . . . . . 7
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19 | rexneg 11527 |
. . . . . . 7
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20 | 18, 19 | oveqan12d 6327 |
. . . . . 6
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21 | 14, 17, 20 | 3eqtr4d 2515 |
. . . . 5
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22 | xnegpnf 11525 |
. . . . . 6
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23 | oveq2 6316 |
. . . . . . . 8
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24 | rexr 9704 |
. . . . . . . . 9
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25 | renemnf 9707 |
. . . . . . . . 9
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26 | xaddpnf1 11542 |
. . . . . . . . 9
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27 | 24, 25, 26 | syl2anc 673 |
. . . . . . . 8
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28 | 23, 27 | sylan9eqr 2527 |
. . . . . . 7
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29 | xnegeq 11523 |
. . . . . . 7
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30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . 6
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31 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31, 22 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | oveq2d 6324 |
. . . . . . 7
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34 | 18, 10 | eqeltrd 2549 |
. . . . . . . 8
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35 | rexr 9704 |
. . . . . . . . 9
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36 | renepnf 9706 |
. . . . . . . . 9
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37 | xaddmnf1 11544 |
. . . . . . . . 9
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38 | 35, 36, 37 | syl2anc 673 |
. . . . . . . 8
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39 | 34, 38 | syl 17 |
. . . . . . 7
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40 | 33, 39 | sylan9eqr 2527 |
. . . . . 6
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41 | 22, 30, 40 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . 5
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42 | xnegmnf 11526 |
. . . . . 6
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43 | oveq2 6316 |
. . . . . . . 8
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44 | renepnf 9706 |
. . . . . . . . 9
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45 | xaddmnf1 11544 |
. . . . . . . . 9
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46 | 24, 44, 45 | syl2anc 673 |
. . . . . . . 8
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47 | 43, 46 | sylan9eqr 2527 |
. . . . . . 7
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48 | xnegeq 11523 |
. . . . . . 7
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49 | 47, 48 | syl 17 |
. . . . . 6
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50 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50, 42 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | oveq2d 6324 |
. . . . . . 7
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53 | renemnf 9707 |
. . . . . . . . 9
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54 | xaddpnf1 11542 |
. . . . . . . . 9
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55 | 35, 53, 54 | syl2anc 673 |
. . . . . . . 8
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56 | 34, 55 | syl 17 |
. . . . . . 7
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57 | 52, 56 | sylan9eqr 2527 |
. . . . . 6
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58 | 42, 49, 57 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . 5
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59 | 21, 41, 58 | 3jaodan 1360 |
. . . 4
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60 | 2, 59 | sylan2b 483 |
. . 3
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61 | xneg0 11528 |
. . . . . . 7
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62 | simpr 468 |
. . . . . . . . . 10
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63 | 62 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . . 9
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64 | pnfaddmnf 11546 |
. . . . . . . . 9
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65 | 63, 64 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . 8
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66 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . 8
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67 | 65, 66 | syl 17 |
. . . . . . 7
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68 | 51 | adantl 473 |
. . . . . . . . 9
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69 | 68 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . 8
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70 | mnfaddpnf 11547 |
. . . . . . . 8
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71 | 69, 70 | syl6eq 2521 |
. . . . . . 7
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72 | 61, 67, 71 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . . 6
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73 | xaddpnf2 11543 |
. . . . . . . 8
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74 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . 8
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75 | 73, 74 | syl 17 |
. . . . . . 7
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76 | xnegcl 11529 |
. . . . . . . . 9
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77 | 76 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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78 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . . . . . 12
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79 | 78, 22 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . . . . 11
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80 | xnegneg 11530 |
. . . . . . . . . . . 12
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81 | 80 | eqeq1d 2473 |
. . . . . . . . . . 11
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82 | 79, 81 | syl5ib 227 |
. . . . . . . . . 10
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83 | 82 | necon3d 2664 |
. . . . . . . . 9
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84 | 83 | imp 436 |
. . . . . . . 8
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85 | xaddmnf2 11545 |
. . . . . . . 8
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86 | 77, 84, 85 | syl2anc 673 |
. . . . . . 7
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87 | 22, 75, 86 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . . 6
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88 | 72, 87 | pm2.61dane 2730 |
. . . . 5
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89 | 88 | adantl 473 |
. . . 4
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90 | simpl 464 |
. . . . . 6
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91 | 90 | oveq1d 6323 |
. . . . 5
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92 | xnegeq 11523 |
. . . . 5
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93 | 91, 92 | syl 17 |
. . . 4
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94 | xnegeq 11523 |
. . . . . . 7
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95 | 94 | adantr 472 |
. . . . . 6
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96 | 95, 22 | syl6eq 2521 |
. . . . 5
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97 | 96 | oveq1d 6323 |
. . . 4
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98 | 89, 93, 97 | 3eqtr4d 2515 |
. . 3
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99 | simpr 468 |
. . . . . . . . . 10
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100 | 99 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . . 9
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101 | 100, 70 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . 8
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102 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . 8
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103 | 101, 102 | syl 17 |
. . . . . . 7
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104 | 32 | adantl 473 |
. . . . . . . . 9
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105 | 104 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . 8
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106 | 105, 64 | syl6eq 2521 |
. . . . . . 7
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107 | 61, 103, 106 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . . 6
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108 | xaddmnf2 11545 |
. . . . . . . 8
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109 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . 8
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110 | 108, 109 | syl 17 |
. . . . . . 7
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111 | 76 | adantr 472 |
. . . . . . . 8
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112 | xnegeq 11523 |
. . . . . . . . . . . 12
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113 | 112, 42 | syl6eq 2521 |
. . . . . . . . . . 11
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114 | 80 | eqeq1d 2473 |
. . . . . . . . . . 11
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115 | 113, 114 | syl5ib 227 |
. . . . . . . . . 10
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116 | 115 | necon3d 2664 |
. . . . . . . . 9
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117 | 116 | imp 436 |
. . . . . . . 8
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118 | xaddpnf2 11543 |
. . . . . . . 8
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119 | 111, 117, 118 | syl2anc 673 |
. . . . . . 7
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120 | 42, 110, 119 | 3eqtr4a 2531 |
. . . . . 6
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121 | 107, 120 | pm2.61dane 2730 |
. . . . 5
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122 | 121 | adantl 473 |
. . . 4
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123 | simpl 464 |
. . . . . 6
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124 | 123 | oveq1d 6323 |
. . . . 5
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125 | xnegeq 11523 |
. . . . 5
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126 | 124, 125 | syl 17 |
. . . 4
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127 | xnegeq 11523 |
. . . . . . 7
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128 | 127 | adantr 472 |
. . . . . 6
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129 | 128, 42 | syl6eq 2521 |
. . . . 5
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130 | 129 | oveq1d 6323 |
. . . 4
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131 | 122, 126, 130 | 3eqtr4d 2515 |
. . 3
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132 | 60, 98, 131 | 3jaoian 1359 |
. 2
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133 | 1, 132 | sylanb 480 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-sub 9882 df-neg 9883 df-xneg 11432 df-xadd 11433 |
This theorem is referenced by: xaddass2 11561 xposdif 11573 xadddi 11606 xrsxmet 21905 |
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