MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegcl Structured version   Unicode version

Theorem xnegcl 11403
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 11316 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 rexneg 11401 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  =  -u A
)
3 renegcl 9873 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
42, 3eqeltrd 2550 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR )
54rexrd 9634 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR* )
6 xnegeq 11397 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  =  -e +oo )
7 xnegpnf 11399 . . . . 5  |-  -e +oo  = -oo
8 mnfxr 11314 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
97, 8eqeltri 2546 . . . 4  |-  -e +oo  e.  RR*
106, 9syl6eqel 2558 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  e.  RR* )
11 xnegeq 11397 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
12 xnegmnf 11400 . . . . 5  |-  -e -oo  = +oo
13 pnfxr 11312 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
1412, 13eqeltri 2546 . . . 4  |-  -e -oo  e.  RR*
1511, 14syl6eqel 2558 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  e.  RR* )
165, 10, 153jaoi 1286 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  -e
A  e.  RR* )
171, 16sylbi 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 967    = wceq 1374    e. wcel 1762   RRcr 9482   +oocpnf 9616   -oocmnf 9617   RR*cxr 9618   -ucneg 9797    -ecxne 11306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-sub 9798  df-neg 9799  df-xneg 11309
This theorem is referenced by:  xltneg  11407  xleneg  11408  xnegdi  11431  xaddass2  11433  xleadd1  11438  xsubge0  11444  xposdif  11445  xlesubadd  11446  xmulneg1  11452  xmulneg2  11453  xmulpnf1n  11461  xmulasslem  11468  xnegcld  11483  xrsds  18224  xrsxmet  21044  xrhmeo  21176  xaddeq0  27229  xrsinvgval  27315  xrge0npcan  27334
  Copyright terms: Public domain W3C validator