MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnegcl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xnegcl 11529
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 11439 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 rexneg 11527 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  =  -u A
)
3 renegcl 9957 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
42, 3eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR )
54rexrd 9708 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  e.  RR* )
6 xnegeq 11523 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  =  -e +oo )
7 xnegpnf 11525 . . . . 5  |-  -e +oo  = -oo
8 mnfxr 11437 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
97, 8eqeltri 2545 . . . 4  |-  -e +oo  e.  RR*
106, 9syl6eqel 2557 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  -e
A  e.  RR* )
11 xnegeq 11523 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  =  -e -oo )
12 xnegmnf 11526 . . . . 5  |-  -e -oo  = +oo
13 pnfxr 11435 . . . . 5  |- +oo  e.  RR*
1412, 13eqeltri 2545 . . . 4  |-  -e -oo  e.  RR*
1511, 14syl6eqel 2557 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  -e
A  e.  RR* )
165, 10, 153jaoi 1357 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  -e
A  e.  RR* )
171, 16sylbi 200 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  -e
A  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 1006    = wceq 1452    e. wcel 1904   RRcr 9556   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692   -ucneg 9881    -ecxne 11429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-sub 9882  df-neg 9883  df-xneg 11432
This theorem is referenced by:  xltneg  11533  xleneg  11534  xnegdi  11559  xaddass2  11561  xleadd1  11566  xsubge0  11572  xposdif  11573  xlesubadd  11574  xmulneg1  11580  xmulneg2  11581  xmulpnf1n  11589  xmulasslem  11596  xnegcld  11611  xrsds  19088  xrsxmet  21905  xrhmeo  22052  xaddeq0  28405  xrsinvgval  28514  xrge0npcan  28531
  Copyright terms: Public domain W3C validator