Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulval Structured version   Unicode version

Theorem xmulval 11476
 Description: Value of the extended real multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulval

Proof of Theorem xmulval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . . 5
21eqeq1d 2404 . . . 4
3 simpr 459 . . . . 5
43eqeq1d 2404 . . . 4
52, 4orbi12d 708 . . 3
63breq2d 4406 . . . . . . 7
71eqeq1d 2404 . . . . . . 7
86, 7anbi12d 709 . . . . . 6
93breq1d 4404 . . . . . . 7
101eqeq1d 2404 . . . . . . 7
119, 10anbi12d 709 . . . . . 6
128, 11orbi12d 708 . . . . 5
131breq2d 4406 . . . . . . 7
143eqeq1d 2404 . . . . . . 7
1513, 14anbi12d 709 . . . . . 6
161breq1d 4404 . . . . . . 7
173eqeq1d 2404 . . . . . . 7
1816, 17anbi12d 709 . . . . . 6
1915, 18orbi12d 708 . . . . 5
2012, 19orbi12d 708 . . . 4
216, 10anbi12d 709 . . . . . . 7
229, 7anbi12d 709 . . . . . . 7
2321, 22orbi12d 708 . . . . . 6
2413, 17anbi12d 709 . . . . . . 7
2516, 14anbi12d 709 . . . . . . 7
2624, 25orbi12d 708 . . . . . 6
2723, 26orbi12d 708 . . . . 5
28 oveq12 6286 . . . . 5
2927, 28ifbieq2d 3909 . . . 4
3020, 29ifbieq2d 3909 . . 3
315, 30ifbieq2d 3909 . 2
32 df-xmul 11372 . 2
33 c0ex 9619 . . 3
34 pnfex 11374 . . . 4
35 mnfxr 11375 . . . . . 6
3635elexi 3068 . . . . 5
37 ovex 6305 . . . . 5
3836, 37ifex 3952 . . . 4
3934, 38ifex 3952 . . 3
4033, 39ifex 3952 . 2
4131, 32, 40ovmpt2a 6413 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 366   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cif 3884   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277  cc0 9521   cmul 9526   cpnf 9654   cmnf 9655  cxr 9656   clt 9657  cxmu 11369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-mulcl 9583  ax-i2m1 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-id 4737  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-xmul 11372 This theorem is referenced by:  xmulcom  11510  xmul01  11511  xmulneg1  11513  rexmul  11515  xmulpnf1  11518
 Copyright terms: Public domain W3C validator