MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulneg2 Structured version   Unicode version

Theorem xmulneg2 11515
Description: Extended real version of mulneg2 10035. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulneg2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A xe  -e
B )  =  -e ( A xe B ) )

Proof of Theorem xmulneg2
StepHypRef Expression
1 xmulneg1 11514 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (  -e B xe A )  =  -e ( B xe A ) )
21ancoms 451 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (  -e B xe A )  =  -e ( B xe A ) )
3 xnegcl 11465 . . 3  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
4 xmulcom 11511 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A xe 
-e B )  =  (  -e
B xe A ) )
53, 4sylan2 472 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A xe  -e
B )  =  ( 
-e B xe A ) )
6 xmulcom 11511 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A xe B )  =  ( B xe A ) )
7 xnegeq 11459 . . 3  |-  ( ( A xe B )  =  ( B xe A )  ->  -e ( A xe B )  =  -e ( B xe A ) )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  -e
( A xe B )  =  -e ( B xe A ) )
92, 5, 83eqtr4d 2453 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A xe  -e
B )  =  -e ( A xe B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842  (class class class)co 6278   RR*cxr 9657    -ecxne 11368   xecxmu 11370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-xneg 11371  df-xmul 11373
This theorem is referenced by:  xmulmnf1  11521  xmulass  11532
  Copyright terms: Public domain W3C validator