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Theorem xmullem2 11220

Description: Lemma for xmulneg1 11224. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xmullem2	$/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

**Proof of Theorem xmullem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnepnf 11090	. . . . . . . . . . . 12
2		eqeq1 2444	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	necon3bbid 2637	. . . . . . . . . . . 12
4	1, 3	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11
5	4	con2i 120	. . . . . . . . . 10
6	5	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
7		0xr 9422	. . . . . . . . . . . . 13
8		nltmnf 11101	. . . . . . . . . . . . 13
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
10		breq2 4291	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11
12	11	con2i 120	. . . . . . . . . 10
13	12	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
14	6, 13	jaoi 379	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
16		simpr 461	. . . . . . . . . 10 $/\$
17		xrltnsym 11106	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	16, 7, 17	sylancl 662	. . . . . . . . 9 $/\$
19	18	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20		breq2 4291	. . . . . . . . . . 11
21	9, 20	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10
22	21	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
24	19, 23	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
25	15, 24	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
26		ianor 488	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
27		orcom 387	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
28	26, 27	bitri 249	. . . . . 6 $/\$ $\/$
29	25, 28	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
30	18	con2d 115	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32		pnfnlt 11100	. . . . . . . . . . 11
33	7, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
34		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	34	breq1d 4297	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	mtbiri 303	. . . . . . . . 9 $/\$
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
38	31, 37	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
39	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39	adantld 467	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
41		breq1 4290	. . . . . . . . . . . 12
42	33, 41	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11
43	42	con2i 120	. . . . . . . . . 10
44	43	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	40, 45	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
47	38, 46	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
48		ianor 488	. . . . . 6 $/\$ $\/$
49	47, 48	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
50	29, 49	jcad 533	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		ioran 490	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	50, 51	syl6ibr 227	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
53	21	con2i 120	. . . . . . . . . 10
54	53	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56		pnfnemnf 11089	. . . . . . . . . . 11
57		eqeq1 2444	. . . . . . . . . . . 12
58	57	necon3bbid 2637	. . . . . . . . . . 11
59	56, 58	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10
60	59	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	55, 61	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
63	11	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
65		simpl 457	. . . . . . . . . 10 $/\$
66		xrltnsym 11106	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	65, 7, 66	sylancl 662	. . . . . . . . 9 $/\$
68	67	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
69	64, 68	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
70	62, 69	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
71		ianor 488	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
72		orcom 387	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
73	71, 72	bitri 249	. . . . . 6 $/\$ $\/$
74	70, 73	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
75	42	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
77	67	con2d 115	. . . . . . . . 9 $/\$
78	77	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	76, 78	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
80		breq1 4290	. . . . . . . . . . . 12
81	33, 80	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11
82	81	con2i 120	. . . . . . . . . 10
83	82	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
84	59	con2i 120	. . . . . . . . . 10
85	84	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
86	83, 85	jaoi 379	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
88	79, 87	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
89		ianor 488	. . . . . 6 $/\$ $\/$
90	88, 89	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
91	74, 90	jcad 533	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		ioran 490	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	syl6ibr 227	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
94	52, 93	jcad 533	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
95		or4 528	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
96		ioran 490	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
97	94, 95, 96	3imtr4g 270	1 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 368 $/\$ wa 369

wceq 1369

wcel 1756

wne 2601 class class class wbr 4287

cc0 9274

cpnf 9407

cmnf 9408

cxr 9409

clt 9410

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1591 ax-4 1602 ax-5 1670 ax-6 1708 ax-7 1728 ax-8 1758 ax-9 1760 ax-10 1775 ax-11 1780 ax-12 1792 ax-13 1943 ax-ext 2419 ax-sep 4408 ax-nul 4416 ax-pow 4465 ax-pr 4526 ax-un 6367 ax-cnex 9330 ax-resscn 9331 ax-1cn 9332 ax-icn 9333 ax-addcl 9334 ax-addrcl 9335 ax-mulcl 9336 ax-mulrcl 9337 ax-i2m1 9342 ax-1ne0 9343 ax-rnegex 9345 ax-rrecex 9346 ax-cnre 9347 ax-pre-lttri 9348 ax-pre-lttrn 9349

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1372 df-ex 1587 df-nf 1590 df-sb 1701 df-eu 2256 df-mo 2257 df-clab 2425 df-cleq 2431 df-clel 2434 df-nfc 2563 df-ne 2603 df-nel 2604 df-ral 2715 df-rex 2716 df-rab 2719 df-v 2969 df-sbc 3182 df-csb 3284 df-dif 3326 df-un 3328 df-in 3330 df-ss 3337 df-nul 3633 df-if 3787 df-pw 3857 df-sn 3873 df-pr 3875 df-op 3879 df-uni 4087 df-br 4288 df-opab 4346 df-mpt 4347 df-id 4631 df-po 4636 df-so 4637 df-xp 4841 df-rel 4842 df-cnv 4843 df-co 4844 df-dm 4845 df-rn 4846 df-res 4847 df-ima 4848 df-iota 5376 df-fun 5415 df-fn 5416 df-f 5417 df-f1 5418 df-fo 5419 df-f1o 5420 df-fv 5421 df-ov 6089 df-er 7093 df-en 7303 df-dom 7304 df-sdom 7305 df-pnf 9412 df-mnf 9413 df-xr 9414 df-ltxr 9415

This theorem is referenced by: xmulneg1 11224

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