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Theorem xmullem2 11576

Description: Lemma for xmulneg1 11580. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xmullem2	$/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

**Proof of Theorem xmullem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnepnf 11441	. . . . . . . . . . . 12
2		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	necon3bbid 2680	. . . . . . . . . . . 12
4	1, 3	mpbiri 241	. . . . . . . . . . 11
5	4	con2i 124	. . . . . . . . . 10
6	5	adantl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
7		0xr 9705	. . . . . . . . . . . . 13
8		nltmnf 11454	. . . . . . . . . . . . 13
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
10		breq2 4399	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	mtbiri 310	. . . . . . . . . . 11
12	11	con2i 124	. . . . . . . . . 10
13	12	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$
14	6, 13	jaoi 386	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
16		simpr 468	. . . . . . . . . 10 $/\$
17		xrltnsym 11459	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	16, 7, 17	sylancl 675	. . . . . . . . 9 $/\$
19	18	adantrd 475	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20		breq2 4399	. . . . . . . . . . 11
21	9, 20	mtbiri 310	. . . . . . . . . 10
22	21	adantl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
24	19, 23	jaod 387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
25	15, 24	orim12d 856	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
26		ianor 496	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
27		orcom 394	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
28	26, 27	bitri 257	. . . . . 6 $/\$ $\/$
29	25, 28	syl6ibr 235	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
30	18	con2d 119	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	adantrd 475	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32		pnfnlt 11453	. . . . . . . . . . 11
33	7, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
34		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	34	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	mtbiri 310	. . . . . . . . 9 $/\$
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
38	31, 37	jaod 387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
39	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39	adantld 474	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
41		breq1 4398	. . . . . . . . . . . 12
42	33, 41	mtbiri 310	. . . . . . . . . . 11
43	42	con2i 124	. . . . . . . . . 10
44	43	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	40, 45	jaod 387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
47	38, 46	orim12d 856	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
48		ianor 496	. . . . . 6 $/\$ $\/$
49	47, 48	syl6ibr 235	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
50	29, 49	jcad 542	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		ioran 498	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	50, 51	syl6ibr 235	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
53	21	con2i 124	. . . . . . . . . 10
54	53	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56		pnfnemnf 11440	. . . . . . . . . . 11
57		eqeq1 2475	. . . . . . . . . . . 12
58	57	necon3bbid 2680	. . . . . . . . . . 11
59	56, 58	mpbiri 241	. . . . . . . . . 10
60	59	adantl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	55, 61	jaod 387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
63	11	adantl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
65		simpl 464	. . . . . . . . . 10 $/\$
66		xrltnsym 11459	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	65, 7, 66	sylancl 675	. . . . . . . . 9 $/\$
68	67	adantrd 475	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
69	64, 68	jaod 387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
70	62, 69	orim12d 856	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
71		ianor 496	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
72		orcom 394	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
73	71, 72	bitri 257	. . . . . 6 $/\$ $\/$
74	70, 73	syl6ibr 235	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
75	42	adantl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
77	67	con2d 119	. . . . . . . . 9 $/\$
78	77	adantrd 475	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	76, 78	jaod 387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
80		breq1 4398	. . . . . . . . . . . 12
81	33, 80	mtbiri 310	. . . . . . . . . . 11
82	81	con2i 124	. . . . . . . . . 10
83	82	adantr 472	. . . . . . . . 9 $/\$
84	59	con2i 124	. . . . . . . . . 10
85	84	adantl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
86	83, 85	jaoi 386	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
88	79, 87	orim12d 856	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
89		ianor 496	. . . . . 6 $/\$ $\/$
90	88, 89	syl6ibr 235	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
91	74, 90	jcad 542	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		ioran 498	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	syl6ibr 235	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
94	52, 93	jcad 542	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
95		or4 537	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
96		ioran 498	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
97	94, 95, 96	3imtr4g 278	1 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 375 $/\$ wa 376

wceq 1452

wcel 1904

wne 2641 class class class wbr 4395

cc0 9557

cpnf 9690

cmnf 9691

cxr 9692

clt 9693

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632

This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698

This theorem is referenced by: xmulneg1 11580

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