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Theorem xmullem2 11332

Description: Lemma for xmulneg1 11336. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xmullem2	$/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

**Proof of Theorem xmullem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnepnf 11202	. . . . . . . . . . . 12
2		eqeq1 2455	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	necon3bbid 2695	. . . . . . . . . . . 12
4	1, 3	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11
5	4	con2i 120	. . . . . . . . . 10
6	5	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
7		0xr 9534	. . . . . . . . . . . . 13
8		nltmnf 11213	. . . . . . . . . . . . 13
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
10		breq2 4397	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11
12	11	con2i 120	. . . . . . . . . 10
13	12	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
14	6, 13	jaoi 379	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
16		simpr 461	. . . . . . . . . 10 $/\$
17		xrltnsym 11218	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	16, 7, 17	sylancl 662	. . . . . . . . 9 $/\$
19	18	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20		breq2 4397	. . . . . . . . . . 11
21	9, 20	mtbiri 303	. . . . . . . . . 10
22	21	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
24	19, 23	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
25	15, 24	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
26		ianor 488	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
27		orcom 387	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
28	26, 27	bitri 249	. . . . . 6 $/\$ $\/$
29	25, 28	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
30	18	con2d 115	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32		pnfnlt 11212	. . . . . . . . . . 11
33	7, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
34		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	34	breq1d 4403	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	mtbiri 303	. . . . . . . . 9 $/\$
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
38	31, 37	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
39	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39	adantld 467	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
41		breq1 4396	. . . . . . . . . . . 12
42	33, 41	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11
43	42	con2i 120	. . . . . . . . . 10
44	43	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	40, 45	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
47	38, 46	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
48		ianor 488	. . . . . 6 $/\$ $\/$
49	47, 48	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
50	29, 49	jcad 533	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		ioran 490	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	50, 51	syl6ibr 227	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
53	21	con2i 120	. . . . . . . . . 10
54	53	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56		pnfnemnf 11201	. . . . . . . . . . 11
57		eqeq1 2455	. . . . . . . . . . . 12
58	57	necon3bbid 2695	. . . . . . . . . . 11
59	56, 58	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10
60	59	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	55, 61	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
63	11	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
65		simpl 457	. . . . . . . . . 10 $/\$
66		xrltnsym 11218	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	65, 7, 66	sylancl 662	. . . . . . . . 9 $/\$
68	67	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
69	64, 68	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
70	62, 69	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
71		ianor 488	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
72		orcom 387	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
73	71, 72	bitri 249	. . . . . 6 $/\$ $\/$
74	70, 73	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
75	42	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
77	67	con2d 115	. . . . . . . . 9 $/\$
78	77	adantrd 468	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	76, 78	jaod 380	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
80		breq1 4396	. . . . . . . . . . . 12
81	33, 80	mtbiri 303	. . . . . . . . . . 11
82	81	con2i 120	. . . . . . . . . 10
83	82	adantr 465	. . . . . . . . 9 $/\$
84	59	con2i 120	. . . . . . . . . 10
85	84	adantl 466	. . . . . . . . 9 $/\$
86	83, 85	jaoi 379	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
88	79, 87	orim12d 834	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
89		ianor 488	. . . . . 6 $/\$ $\/$
90	88, 89	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
91	74, 90	jcad 533	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		ioran 490	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	syl6ibr 227	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
94	52, 93	jcad 533	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
95		or4 528	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
96		ioran 490	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
97	94, 95, 96	3imtr4g 270	1 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 368 $/\$ wa 369

wceq 1370

wcel 1758

wne 2644 class class class wbr 4393

cc0 9386

cpnf 9519

cmnf 9520

cxr 9521

clt 9522

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-sep 4514 ax-nul 4522 ax-pow 4571 ax-pr 4632 ax-un 6475 ax-cnex 9442 ax-resscn 9443 ax-1cn 9444 ax-icn 9445 ax-addcl 9446 ax-addrcl 9447 ax-mulcl 9448 ax-mulrcl 9449 ax-i2m1 9454 ax-1ne0 9455 ax-rnegex 9457 ax-rrecex 9458 ax-cnre 9459 ax-pre-lttri 9460 ax-pre-lttrn 9461

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-rab 2804 df-v 3073 df-sbc 3288 df-csb 3390 df-dif 3432 df-un 3434 df-in 3436 df-ss 3443 df-nul 3739 df-if 3893 df-pw 3963 df-sn 3979 df-pr 3981 df-op 3985 df-uni 4193 df-br 4394 df-opab 4452 df-mpt 4453 df-id 4737 df-po 4742 df-so 4743 df-xp 4947 df-rel 4948 df-cnv 4949 df-co 4950 df-dm 4951 df-rn 4952 df-res 4953 df-ima 4954 df-iota 5482 df-fun 5521 df-fn 5522 df-f 5523 df-f1 5524 df-fo 5525 df-f1o 5526 df-fv 5527 df-ov 6196 df-er 7204 df-en 7414 df-dom 7415 df-sdom 7416 df-pnf 9524 df-mnf 9525 df-xr 9526 df-ltxr 9527

This theorem is referenced by: xmulneg1 11336

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