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Theorem xmullem2 11460

Description: Lemma for xmulneg1 11464. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
xmullem2	$/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

**Proof of Theorem xmullem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfnepnf 11330	. . . . . . . . . . . 12
2		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . . . 13
3	2	necon3bbid 2701	. . . . . . . . . . . 12
4	1, 3	mpbiri 233	. . . . . . . . . . 11
5	4	con2i 120	. . . . . . . . . 10
6	5	adantl 464	. . . . . . . . 9 $/\$
7		0xr 9629	. . . . . . . . . . . . 13
8		nltmnf 11341	. . . . . . . . . . . . 13
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12
10		breq2 4443	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	mtbiri 301	. . . . . . . . . . 11
12	11	con2i 120	. . . . . . . . . 10
13	12	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$
14	6, 13	jaoi 377	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
15	14	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
16		simpr 459	. . . . . . . . . 10 $/\$
17		xrltnsym 11346	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	16, 7, 17	sylancl 660	. . . . . . . . 9 $/\$
19	18	adantrd 466	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20		breq2 4443	. . . . . . . . . . 11
21	9, 20	mtbiri 301	. . . . . . . . . 10
22	21	adantl 464	. . . . . . . . 9 $/\$
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
24	19, 23	jaod 378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
25	15, 24	orim12d 836	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
26		ianor 486	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
27		orcom 385	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
28	26, 27	bitri 249	. . . . . 6 $/\$ $\/$
29	25, 28	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
30	18	con2d 115	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	adantrd 466	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
32		pnfnlt 11340	. . . . . . . . . . 11
33	7, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10
34		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 $/\$
35	34	breq1d 4449	. . . . . . . . . 10 $/\$
36	33, 35	mtbiri 301	. . . . . . . . 9 $/\$
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
38	31, 37	jaod 378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
39	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39	adantld 465	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
41		breq1 4442	. . . . . . . . . . . 12
42	33, 41	mtbiri 301	. . . . . . . . . . 11
43	42	con2i 120	. . . . . . . . . 10
44	43	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	40, 45	jaod 378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
47	38, 46	orim12d 836	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
48		ianor 486	. . . . . 6 $/\$ $\/$
49	47, 48	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
50	29, 49	jcad 531	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		ioran 488	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	50, 51	syl6ibr 227	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
53	21	con2i 120	. . . . . . . . . 10
54	53	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$
55	54	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
56		pnfnemnf 11329	. . . . . . . . . . 11
57		eqeq1 2458	. . . . . . . . . . . 12
58	57	necon3bbid 2701	. . . . . . . . . . 11
59	56, 58	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10
60	59	adantl 464	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
62	55, 61	jaod 378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
63	11	adantl 464	. . . . . . . . 9 $/\$
64	63	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
65		simpl 455	. . . . . . . . . 10 $/\$
66		xrltnsym 11346	. . . . . . . . . 10 $/\$
67	65, 7, 66	sylancl 660	. . . . . . . . 9 $/\$
68	67	adantrd 466	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
69	64, 68	jaod 378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
70	62, 69	orim12d 836	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
71		ianor 486	. . . . . . 7 $/\$ $\/$
72		orcom 385	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
73	71, 72	bitri 249	. . . . . 6 $/\$ $\/$
74	70, 73	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
75	42	adantl 464	. . . . . . . . 9 $/\$
76	75	a1i 11	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
77	67	con2d 115	. . . . . . . . 9 $/\$
78	77	adantrd 466	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
79	76, 78	jaod 378	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
80		breq1 4442	. . . . . . . . . . . 12
81	33, 80	mtbiri 301	. . . . . . . . . . 11
82	81	con2i 120	. . . . . . . . . 10
83	82	adantr 463	. . . . . . . . 9 $/\$
84	59	con2i 120	. . . . . . . . . 10
85	84	adantl 464	. . . . . . . . 9 $/\$
86	83, 85	jaoi 377	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$ $/\$
87	86	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
88	79, 87	orim12d 836	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$
89		ianor 486	. . . . . 6 $/\$ $\/$
90	88, 89	syl6ibr 227	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
91	74, 90	jcad 531	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		ioran 488	. . . 4 $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	91, 92	syl6ibr 227	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
94	52, 93	jcad 531	. 2 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
95		or4 526	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
96		ioran 488	. 2 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
97	94, 95, 96	3imtr4g 270	1 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $\/$ wo 366 $/\$ wa 367

wceq 1398

wcel 1823

wne 2649 class class class wbr 4439

cc0 9481

cpnf 9614

cmnf 9615

cxr 9616

clt 9617

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1623 ax-4 1636 ax-5 1709 ax-6 1752 ax-7 1795 ax-8 1825 ax-9 1827 ax-10 1842 ax-11 1847 ax-12 1859 ax-13 2004 ax-ext 2432 ax-sep 4560 ax-nul 4568 ax-pow 4615 ax-pr 4676 ax-un 6565 ax-cnex 9537 ax-resscn 9538 ax-1cn 9539 ax-icn 9540 ax-addcl 9541 ax-addrcl 9542 ax-mulcl 9543 ax-mulrcl 9544 ax-i2m1 9549 ax-1ne0 9550 ax-rnegex 9552 ax-rrecex 9553 ax-cnre 9554 ax-pre-lttri 9555 ax-pre-lttrn 9556

This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 368 df-an 369 df-3or 972 df-3an 973 df-tru 1401 df-ex 1618 df-nf 1622 df-sb 1745 df-eu 2288 df-mo 2289 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2651 df-nel 2652 df-ral 2809 df-rex 2810 df-rab 2813 df-v 3108 df-sbc 3325 df-csb 3421 df-dif 3464 df-un 3466 df-in 3468 df-ss 3475 df-nul 3784 df-if 3930 df-pw 4001 df-sn 4017 df-pr 4019 df-op 4023 df-uni 4236 df-br 4440 df-opab 4498 df-mpt 4499 df-id 4784 df-po 4789 df-so 4790 df-xp 4994 df-rel 4995 df-cnv 4996 df-co 4997 df-dm 4998 df-rn 4999 df-res 5000 df-ima 5001 df-iota 5534 df-fun 5572 df-fn 5573 df-f 5574 df-f1 5575 df-fo 5576 df-f1o 5577 df-fv 5578 df-ov 6273 df-er 7303 df-en 7510 df-dom 7511 df-sdom 7512 df-pnf 9619 df-mnf 9620 df-xr 9621 df-ltxr 9622

This theorem is referenced by: xmulneg1 11464

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