MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulid1 Structured version   Unicode version

Theorem xmulid1 11229
Description: Extended real version of mulid1 9370. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulid1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 1 )  =  A )

Proof of Theorem xmulid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11083 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 1re 9372 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 rexmul 11221 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A xe 1 )  =  ( A  x.  1 ) )
42, 3mpan2 664 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A xe 1 )  =  ( A  x.  1 ) )
5 ax-1rid 9339 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
64, 5eqtrd 2465 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A xe 1 )  =  A )
72rexri 9423 . . . . 5  |-  1  e.  RR*
8 0lt1 9849 . . . . 5  |-  0  <  1
9 xmulpnf2 11225 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( +oo xe 1 )  = +oo )
107, 8, 9mp2an 665 . . . 4  |-  ( +oo xe 1 )  = +oo
11 oveq1 6087 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe 1 )  =  ( +oo xe 1 ) )
12 id 22 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  A  = +oo )
1310, 11, 123eqtr4a 2491 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe 1 )  =  A )
14 xmulmnf2 11227 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo xe 1 )  = -oo )
157, 8, 14mp2an 665 . . . 4  |-  ( -oo xe 1 )  = -oo
16 oveq1 6087 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe 1 )  =  ( -oo xe 1 ) )
17 id 22 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  A  = -oo )
1815, 16, 173eqtr4a 2491 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe 1 )  =  A )
196, 13, 183jaoi 1274 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  ( A xe 1 )  =  A )
201, 19sylbi 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 1 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 957    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    x. cmul 9274   +oocpnf 9402   -oocmnf 9403   RR*cxr 9404    < clt 9405   xecxmu 11075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-xneg 11076  df-xmul 11078
This theorem is referenced by:  xmulid2  11230  xlemul1  11240  xrsmcmn  17682  nmoi2  20150  xdivrec  25924
  Copyright terms: Public domain W3C validator