MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulid1 Structured version   Unicode version

Theorem xmulid1 11524
Description: Extended real version of mulid1 9623. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulid1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 1 )  =  A )

Proof of Theorem xmulid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11378 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 1re 9625 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 rexmul 11516 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A xe 1 )  =  ( A  x.  1 ) )
42, 3mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A xe 1 )  =  ( A  x.  1 ) )
5 ax-1rid 9592 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
64, 5eqtrd 2443 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A xe 1 )  =  A )
72rexri 9676 . . . . 5  |-  1  e.  RR*
8 0lt1 10115 . . . . 5  |-  0  <  1
9 xmulpnf2 11520 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( +oo xe 1 )  = +oo )
107, 8, 9mp2an 670 . . . 4  |-  ( +oo xe 1 )  = +oo
11 oveq1 6285 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe 1 )  =  ( +oo xe 1 ) )
12 id 22 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  A  = +oo )
1310, 11, 123eqtr4a 2469 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe 1 )  =  A )
14 xmulmnf2 11522 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo xe 1 )  = -oo )
157, 8, 14mp2an 670 . . . 4  |-  ( -oo xe 1 )  = -oo
16 oveq1 6285 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe 1 )  =  ( -oo xe 1 ) )
17 id 22 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  A  = -oo )
1815, 16, 173eqtr4a 2469 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe 1 )  =  A )
196, 13, 183jaoi 1293 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  ( A xe 1 )  =  A )
201, 19sylbi 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 1 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 973    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    x. cmul 9527   +oocpnf 9655   -oocmnf 9656   RR*cxr 9657    < clt 9658   xecxmu 11370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-xneg 11371  df-xmul 11373
This theorem is referenced by:  xmulid2  11525  xlemul1  11535  xrsmcmn  18761  nmoi2  21529  xdivrec  28075  omssubadd  28748
  Copyright terms: Public domain W3C validator