MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulid1 Structured version   Unicode version

Theorem xmulid1 11357
Description: Extended real version of mulid1 9498. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulid1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 1 )  =  A )

Proof of Theorem xmulid1
StepHypRef Expression
1 elxr 11211 . 2  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
2 1re 9500 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 rexmul 11349 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( A xe 1 )  =  ( A  x.  1 ) )
42, 3mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A xe 1 )  =  ( A  x.  1 ) )
5 ax-1rid 9467 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
64, 5eqtrd 2495 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A xe 1 )  =  A )
72rexri 9551 . . . . 5  |-  1  e.  RR*
8 0lt1 9977 . . . . 5  |-  0  <  1
9 xmulpnf2 11353 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( +oo xe 1 )  = +oo )
107, 8, 9mp2an 672 . . . 4  |-  ( +oo xe 1 )  = +oo
11 oveq1 6210 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe 1 )  =  ( +oo xe 1 ) )
12 id 22 . . . 4  |-  ( A  = +oo  ->  A  = +oo )
1310, 11, 123eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( A  = +oo  ->  ( A xe 1 )  =  A )
14 xmulmnf2 11355 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  ( -oo xe 1 )  = -oo )
157, 8, 14mp2an 672 . . . 4  |-  ( -oo xe 1 )  = -oo
16 oveq1 6210 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe 1 )  =  ( -oo xe 1 ) )
17 id 22 . . . 4  |-  ( A  = -oo  ->  A  = -oo )
1815, 16, 173eqtr4a 2521 . . 3  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe 1 )  =  A )
196, 13, 183jaoi 1282 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo )  ->  ( A xe 1 )  =  A )
201, 19sylbi 195 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 1 )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    x. cmul 9402   +oocpnf 9530   -oocmnf 9531   RR*cxr 9532    < clt 9533   xecxmu 11203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-xneg 11204  df-xmul 11206
This theorem is referenced by:  xmulid2  11358  xlemul1  11368  xrsmcmn  17974  nmoi2  20451  xdivrec  26274
  Copyright terms: Public domain W3C validator