MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmsxmet Structured version   Unicode version

Theorem xmsxmet 20173
Description: The distance function, suitably truncated, is a metric on 
X. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
msf.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
msf.d  |-  D  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )
Assertion
Ref Expression
xmsxmet  |-  ( M  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )

Proof of Theorem xmsxmet
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( TopOpen `  M )  =  (
TopOpen `  M )
2 msf.x . . 3  |-  X  =  ( Base `  M
)
3 msf.d . . 3  |-  D  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )
41, 2, 3isxms2 20165 . 2  |-  ( M  e.  *MetSp  <->  ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( TopOpen
`  M )  =  ( MetOpen `  D )
) )
54simplbi 460 1  |-  ( M  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    X. cxp 4949    |` cres 4953   ` cfv 5529   Basecbs 14296   distcds 14370   TopOpenctopn 14483   *Metcxmt 17936   MetOpencmopn 17941   *MetSpcxme 20034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-topgen 14505  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-xms 20037
This theorem is referenced by:  xmsxmet2  20176  imasf1oxms  20206  ressxms  20242  prdsxmslem1  20245  prdsxmslem2  20246  xmsuspOLD  20302  xmsusp  20303  ngptgp  20364  nlmvscn  20410  nrginvrcn  20414  nghmcn  20466  nmhmcn  20817  ipcn  20900  minveclem4a  21059  minveclem4  21061  rrhcn  26594  rrexthaus  26604
  Copyright terms: Public domain W3C validator