MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmsusp Structured version   Unicode version

Theorem xmsusp 20957
Description: If the uniform set of a metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xmsusp.x  |-  X  =  ( Base `  F
)
xmsusp.d  |-  D  =  ( ( dist `  F
)  |`  ( X  X.  X ) )
xmsusp.u  |-  U  =  (UnifSt `  F )
Assertion
Ref Expression
xmsusp  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  F  e. UnifSp )

Proof of Theorem xmsusp
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  U  =  (metUnif `  D ) )
2 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  X  =/=  (/) )
3 xmsusp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  F
)
4 xmsusp.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( dist `  F
)  |`  ( X  X.  X ) )
53, 4xmsxmet 20827 . . . . 5  |-  ( F  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
653ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
7 xmetpsmet 20719 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
8 metuust 20943 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  (metUnif `  D
)  e.  (UnifOn `  X ) )
97, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
(metUnif `  D )  e.  (UnifOn `  X )
)
102, 6, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  (metUnif `  D
)  e.  (UnifOn `  X ) )
111, 10eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
12 xmetutop 20955 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
(unifTop `  (metUnif `  D
) )  =  (
MetOpen `  D ) )
132, 6, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  (unifTop `  (metUnif `  D ) )  =  ( MetOpen `  D )
)
141fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  (unifTop `  U
)  =  (unifTop `  (metUnif `  D ) ) )
15 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  F )  =  (
TopOpen `  F )
1615, 3, 4xmstopn 20822 . . . 4  |-  ( F  e.  *MetSp  ->  ( TopOpen
`  F )  =  ( MetOpen `  D )
)
17163ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  ( TopOpen `  F )  =  (
MetOpen `  D ) )
1813, 14, 173eqtr4rd 2519 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  ( TopOpen `  F )  =  (unifTop `  U ) )
19 xmsusp.u . . 3  |-  U  =  (UnifSt `  F )
203, 19, 15isusp 20632 . 2  |-  ( F  e. UnifSp 
<->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( TopOpen
`  F )  =  (unifTop `  U )
) )
2111, 18, 20sylanbrc 664 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  F  e. UnifSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   (/)c0 3790    X. cxp 5003    |` cres 5007   ` cfv 5594   Basecbs 14507   distcds 14581   TopOpenctopn 14694  PsMetcpsmet 18272   *Metcxmt 18273   MetOpencmopn 18278  metUnifcmetu 18280  UnifOncust 20570  unifTopcutop 20601  UnifStcuss 20624  UnifSpcusp 20625   *MetSpcxme 20688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-metu 18289  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-fil 20215  df-ust 20571  df-utop 20602  df-usp 20628  df-xms 20691
This theorem is referenced by:  cmetcusp1  21660
  Copyright terms: Public domain W3C validator