MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmsusp Structured version   Unicode version

Theorem xmsusp 20173
Description: If the uniform set of a metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xmsusp.x  |-  X  =  ( Base `  F
)
xmsusp.d  |-  D  =  ( ( dist `  F
)  |`  ( X  X.  X ) )
xmsusp.u  |-  U  =  (UnifSt `  F )
Assertion
Ref Expression
xmsusp  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  F  e. UnifSp )

Proof of Theorem xmsusp
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  U  =  (metUnif `  D ) )
2 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  X  =/=  (/) )
3 xmsusp.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  F
)
4 xmsusp.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( dist `  F
)  |`  ( X  X.  X ) )
53, 4xmsxmet 20043 . . . . 5  |-  ( F  e.  *MetSp  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
653ad2ant2 1010 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
7 xmetpsmet 19935 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D  e.  (PsMet `  X )
)
8 metuust 20159 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  (PsMet `  X )
)  ->  (metUnif `  D
)  e.  (UnifOn `  X ) )
97, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
(metUnif `  D )  e.  (UnifOn `  X )
)
102, 6, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  (metUnif `  D
)  e.  (UnifOn `  X ) )
111, 10eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  U  e.  (UnifOn `  X ) )
12 xmetutop 20171 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  D  e.  ( *Met `  X ) )  -> 
(unifTop `  (metUnif `  D
) )  =  (
MetOpen `  D ) )
132, 6, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  (unifTop `  (metUnif `  D ) )  =  ( MetOpen `  D )
)
141fveq2d 5707 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  (unifTop `  U
)  =  (unifTop `  (metUnif `  D ) ) )
15 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  F )  =  (
TopOpen `  F )
1615, 3, 4xmstopn 20038 . . . 4  |-  ( F  e.  *MetSp  ->  ( TopOpen
`  F )  =  ( MetOpen `  D )
)
17163ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  ( TopOpen `  F )  =  (
MetOpen `  D ) )
1813, 14, 173eqtr4rd 2486 . 2  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  ( TopOpen `  F )  =  (unifTop `  U ) )
19 xmsusp.u . . 3  |-  U  =  (UnifSt `  F )
203, 19, 15isusp 19848 . 2  |-  ( F  e. UnifSp 
<->  ( U  e.  (UnifOn `  X )  /\  ( TopOpen
`  F )  =  (unifTop `  U )
) )
2111, 18, 20sylanbrc 664 1  |-  ( ( X  =/=  (/)  /\  F  e.  *MetSp  /\  U  =  (metUnif `  D )
)  ->  F  e. UnifSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   (/)c0 3649    X. cxp 4850    |` cres 4854   ` cfv 5430   Basecbs 14186   distcds 14259   TopOpenctopn 14372  PsMetcpsmet 17812   *Metcxmt 17813   MetOpencmopn 17818  metUnifcmetu 17820  UnifOncust 19786  unifTopcutop 19817  UnifStcuss 19840  UnifSpcusp 19841   *MetSpcxme 19904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ico 11318  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-fbas 17826  df-fg 17827  df-metu 17829  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-topsp 18519  df-fil 19431  df-ust 19787  df-utop 19818  df-usp 19844  df-xms 19907
This theorem is referenced by:  cmetcusp1  20876
  Copyright terms: Public domain W3C validator