MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstri3 Structured version   Unicode version

Theorem xmstri3 20172
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
xmstri3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) +e
( B D C ) ) )

Proof of Theorem xmstri3
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2xmsxmet2 20161 . . 3  |-  ( M  e.  *MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
4 xmettri3 20055 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) +e ( B ( D  |`  ( X  X.  X ) ) C ) ) )
53, 4sylan 471 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X ) ) C ) +e
( B ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) ) )
6 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 6336 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
106, 9ovresd 6336 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C )  =  ( A D C ) )
117, 9ovresd 6336 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( B ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C )  =  ( B D C ) )
1210, 11oveq12d 6213 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) +e ( B ( D  |`  ( X  X.  X ) ) C ) )  =  ( ( A D C ) +e
( B D C ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4424 1  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) +e
( B D C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395    X. cxp 4941    |` cres 4945   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    <_ cle 9525   +ecxad 11193   Basecbs 14287   distcds 14361   *Metcxmt 17921   *MetSpcxme 20019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-topgen 14496  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-xms 20022
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator