MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstri2 Structured version   Unicode version

Theorem xmstri2 21151
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
xmstri2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( C D A ) +e
( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmstri2
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2xmsxmet2 21144 . . 3  |-  ( M  e.  *MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X ) )
4 xmettri2 21025 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) A ) +e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) ) )
53, 4sylan 469 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) A ) +e
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) ) )
6 simpr2 1002 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr3 1003 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 6378 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr1 1001 . . . 4  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
109, 6ovresd 6378 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) A )  =  ( C D A ) )
119, 7ovresd 6378 . . 3  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( C D B ) )
1210, 11oveq12d 6250 . 2  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) A ) +e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) )  =  ( ( C D A ) +e
( C D B ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4421 1  |-  ( ( M  e.  *MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( C D A ) +e
( C D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392    X. cxp 4938    |` cres 4942   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    <_ cle 9577   +ecxad 11285   Basecbs 14731   distcds 14808   *Metcxmt 18613   *MetSpcxme 21002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-topgen 14948  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-xms 21005
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator