MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmstri Unicode version

Theorem xmstri 18451
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
xmstri  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmstri
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2xmsxmet2 18442 . . 3  |-  ( M  e.  * MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( * Met `  X
) )
4 xmettri 18334 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) + e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) ) )
53, 4sylan 458 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( A ( D  |`  ( X  X.  X ) ) C ) + e
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) ) )
6 simpr1 963 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
7 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 6173 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  C  e.  X )
106, 9ovresd 6173 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C )  =  ( A D C ) )
119, 7ovresd 6173 . . 3  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( C D B ) )
1210, 11oveq12d 6058 . 2  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  (
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) C ) + e ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) )  =  ( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4201 1  |-  ( ( M  e.  * MetSp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
) )  ->  ( A D B )  <_ 
( ( A D C ) + e
( C D B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    <_ cle 9077   + ecxad 10664   Basecbs 13424   distcds 13493   * Metcxmt 16641   * MetSpcxme 18300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-xms 18303
  Copyright terms: Public domain W3C validator