MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Structured version   Unicode version

Theorem xmetunirn 21344
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6331 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
21rabex 4573 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
3 df-xmet 18956 . . . . 5  |-  *Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
42, 3fnmpti 5722 . . . 4  |-  *Met  Fn  _V
5 fnunirn 6171 . . . 4  |-  ( *Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) )
7 id 23 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  x ) )
8 xmetdmdm 21342 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
98fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  ( *Met `  x )  =  ( *Met ` 
dom  dom  D ) )
107, 9eleqtrd 2513 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
1110rexlimivw 2915 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
126, 11sylbi 199 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
13 fvssunirn 5902 . . 3  |-  ( *Met `  dom  dom  D )  C_  U. ran  *Met
1413sseli 3461 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
1512, 14impbii 191 1  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   U.cuni 4217   class class class wbr 4421    X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852    Fn wfn 5594   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    ^m cmap 7478   0cc0 9541   RR*cxr 9676    <_ cle 9678   +ecxad 11409   *Metcxmt 18948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-map 7480  df-xr 9681  df-xmet 18956
This theorem is referenced by:  isxms2  21455  setsmstopn  21485  tngtopn  21650  cfili  22230  cfilfcls  22236
  Copyright terms: Public domain W3C validator