MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xmetunirn 21345
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6316 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
21rabex 4553 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
3 df-xmet 18956 . . . . 5  |-  *Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
42, 3fnmpti 5704 . . . 4  |-  *Met  Fn  _V
5 fnunirn 6156 . . . 4  |-  ( *Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) )
7 id 22 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  x ) )
8 xmetdmdm 21343 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
98fveq2d 5867 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  ( *Met `  x )  =  ( *Met ` 
dom  dom  D ) )
107, 9eleqtrd 2530 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
1110rexlimivw 2875 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
126, 11sylbi 199 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
13 fvssunirn 5886 . . 3  |-  ( *Met `  dom  dom  D )  C_  U. ran  *Met
1413sseli 3427 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
1512, 14impbii 191 1  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   U.cuni 4197   class class class wbr 4401    X. cxp 4831   dom cdm 4833   ran crn 4834    Fn wfn 5576   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    ^m cmap 7469   0cc0 9536   RR*cxr 9671    <_ cle 9673   +ecxad 11404   *Metcxmt 18948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-map 7471  df-xr 9676  df-xmet 18956
This theorem is referenced by:  isxms2  21456  setsmstopn  21486  tngtopn  21651  cfili  22231  cfilfcls  22237
  Copyright terms: Public domain W3C validator