MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Structured version   Unicode version

Theorem xmetunirn 21134
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6308 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
21rabex 4547 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
3 df-xmet 18734 . . . . 5  |-  *Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
42, 3fnmpti 5694 . . . 4  |-  *Met  Fn  _V
5 fnunirn 6148 . . . 4  |-  ( *Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) )
7 id 23 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  x ) )
8 xmetdmdm 21132 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
98fveq2d 5855 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  ( *Met `  x )  =  ( *Met ` 
dom  dom  D ) )
107, 9eleqtrd 2494 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
1110rexlimivw 2895 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
126, 11sylbi 197 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
13 fvssunirn 5874 . . 3  |-  ( *Met `  dom  dom  D )  C_  U. ran  *Met
1413sseli 3440 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
1512, 14impbii 189 1  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3061   U.cuni 4193   class class class wbr 4397    X. cxp 4823   dom cdm 4825   ran crn 4826    Fn wfn 5566   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    ^m cmap 7459   0cc0 9524   RR*cxr 9659    <_ cle 9661   +ecxad 11371   *Metcxmt 18725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-xr 9664  df-xmet 18734
This theorem is referenced by:  isxms2  21245  setsmstopn  21275  tngtopn  21458  cfili  22001  cfilfcls  22007
  Copyright terms: Public domain W3C validator