MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetunirn Structured version   Unicode version

Theorem xmetunirn 20575
Description: Two ways to express an extended metric on an unspecified base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetunirn  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )

Proof of Theorem xmetunirn
Dummy variables  x  y  z  w  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( RR*  ^m  ( x  X.  x
) )  e.  _V
21rabex 4598 . . . . 5  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) }  e.  _V
3 df-xmet 18183 . . . . 5  |-  *Met  =  ( x  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
x  X.  x ) )  |  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( (
( y d z )  =  0  <->  y  =  z )  /\  A. w  e.  x  ( y d z )  <_  ( ( w d y ) +e ( w d z ) ) ) } )
42, 3fnmpti 5707 . . . 4  |-  *Met  Fn  _V
5 fnunirn 6151 . . . 4  |-  ( *Met  Fn  _V  ->  ( D  e.  U. ran  *Met  <->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . 3  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x ) )
7 id 22 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  x ) )
8 xmetdmdm 20573 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  x  =  dom  dom  D )
98fveq2d 5868 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  ( *Met `  x )  =  ( *Met ` 
dom  dom  D ) )
107, 9eleqtrd 2557 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
1110rexlimivw 2952 . . 3  |-  ( E. x  e.  _V  D  e.  ( *Met `  x )  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
126, 11sylbi 195 . 2  |-  ( D  e.  U. ran  *Met  ->  D  e.  ( *Met `  dom  dom 
D ) )
13 fvssunirn 5887 . . 3  |-  ( *Met `  dom  dom  D )  C_  U. ran  *Met
1413sseli 3500 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met ` 
dom  dom  D )  ->  D  e.  U. ran  *Met )
1512, 14impbii 188 1  |-  ( D  e.  U. ran  *Met 
<->  D  e.  ( *Met `  dom  dom  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   0cc0 9488   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   +ecxad 11312   *Metcxmt 18174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-xr 9628  df-xmet 18183
This theorem is referenced by:  isxms2  20686  setsmstopn  20716  tngtopn  20899  cfili  21442  cfilfcls  21448
  Copyright terms: Public domain W3C validator