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Theorem xmettri2 20575
Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettri2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem xmettri2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5890 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
2 isxmet 20559 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
43ibi 241 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
54simprd 463 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
6 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
76ralimi 2857 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
87ralimi 2857 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) )
10 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x D y )  =  ( A D y ) )
11 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
z D x )  =  ( z D A ) )
1211oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D A ) +e ( z D y ) ) )
1310, 12breq12d 4460 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) )  <-> 
( A D y )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D y ) ) ) )
14 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  ( A D y )  =  ( A D B ) )
15 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  (
z D y )  =  ( z D B ) )
1615oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( z D A ) +e ( z D y ) )  =  ( ( z D A ) +e ( z D B ) ) )
1714, 16breq12d 4460 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A D y )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D y ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D B ) ) ) )
18 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  (
z D A )  =  ( C D A ) )
19 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  (
z D B )  =  ( C D B ) )
2018, 19oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( z  =  C  ->  (
( z D A ) +e ( z D B ) )  =  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
2120breq2d 4459 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (
( A D B )  <_  ( (
z D A ) +e ( z D B ) )  <-> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2213, 17, 21rspc3v 3226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) )  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
239, 22syl5 32 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
24233comr 1204 . 2  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
2524impcom 430 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  <_  ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   0cc0 9488   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   +ecxad 11312   *Metcxmt 18171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-xr 9628  df-xmet 18180
This theorem is referenced by:  mettri2  20576  xmetge0  20579  xmetsym  20582  xmetpsmet  20583  xmettri  20586  xmetres2  20596  prdsxmetlem  20603  imasf1oxmet  20610  xblss2  20637  xmstri2  20701  comet  20748
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