MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmettpos Structured version   Unicode version

Theorem xmettpos 19923
Description: The distance function of an extended metric space is symmetric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmettpos  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  -> tpos  D  =  D )

Proof of Theorem xmettpos
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetsym 19921 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( x D y )  =  ( y D x ) )
213expb 1188 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( x D y )  =  ( y D x ) )
32ralrimivva 2807 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( y D x ) )
4 xmetf 19903 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
5 ffn 5558 . . 3  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  D  Fn  ( X  X.  X ) )
6 tpossym 6776 . . 3  |-  ( D  Fn  ( X  X.  X )  ->  (tpos  D  =  D  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( y D x ) ) )
74, 5, 63syl 20 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (tpos  D  =  D  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( x D y )  =  ( y D x ) ) )
83, 7mpbird 232 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  -> tpos  D  =  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714    X. cxp 4837    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090  tpos ctpos 6743   RR*cxr 9416   *Metcxmt 17800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-tpos 6744  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-xadd 11089  df-xmet 17809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator