MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetrtri Structured version   Unicode version

Theorem xmetrtri 20984
Description: One half of the reverse triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetrtri  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B ) )

Proof of Theorem xmetrtri
StepHypRef Expression
1 3ancomb 982 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  <->  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X )
)
2 xmettri 20980 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  C  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D C )  <_  ( ( A D B ) +e ( B D C ) ) )
31, 2sylan2b 475 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D C )  <_  ( ( A D B ) +e ( B D C ) ) )
4 xmetcl 20960 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( A D C )  e.  RR* )
543adant3r2 1206 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D C )  e.  RR* )
6 xmetcl 20960 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( B D C )  e.  RR* )
763adant3r1 1205 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B D C )  e.  RR* )
8 xmetcl 20960 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
983adant3r3 1207 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( A D B )  e.  RR* )
10 xmetge0 20973 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D C ) )
11103adant3r2 1206 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D C ) )
12 xmetge0 20973 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  0  <_  ( B D C ) )
13123adant3r1 1205 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( B D C ) )
14 ge0nemnf 11399 . . . 4  |-  ( ( ( B D C )  e.  RR*  /\  0  <_  ( B D C ) )  ->  ( B D C )  =/= -oo )
157, 13, 14syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( B D C )  =/= -oo )
16 xmetge0 20973 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
17163adant3r3 1207 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
0  <_  ( A D B ) )
18 xlesubadd 11480 . . 3  |-  ( ( ( ( A D C )  e.  RR*  /\  ( B D C )  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR* )  /\  (
0  <_  ( A D C )  /\  ( B D C )  =/= -oo  /\  0  <_  ( A D B ) ) )  ->  ( (
( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B )  <->  ( A D C )  <_  (
( A D B ) +e ( B D C ) ) ) )
195, 7, 9, 11, 15, 17, 18syl33anc 1243 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_  ( A D B )  <->  ( A D C )  <_  (
( A D B ) +e ( B D C ) ) ) )
203, 19mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X ) )  -> 
( ( A D C ) +e  -e ( B D C ) )  <_ 
( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    <_ cle 9646    -ecxne 11340   +ecxad 11341   *Metcxmt 18530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-2 10615  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-xmet 18539
This theorem is referenced by:  xmetrtri2  20985
  Copyright terms: Public domain W3C validator