MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetgt0 Structured version   Unicode version

Theorem xmetgt0 19938
Description: The distance function of an extended metric space is positive for unequal points. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetgt0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A  =/=  B  <->  0  <  ( A D B ) ) )

Proof of Theorem xmetgt0
StepHypRef Expression
1 xmetge0 19924 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
21biantrud 507 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  <_ 
0  <->  ( ( A D B )  <_ 
0  /\  0  <_  ( A D B ) ) ) )
3 xmetcl 19911 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
4 0xr 9435 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
5 xrletri3 11134 . . . . 5  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  =  0  <->  (
( A D B )  <_  0  /\  0  <_  ( A D B ) ) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  =  0  <->  ( ( A D B )  <_ 
0  /\  0  <_  ( A D B ) ) ) )
72, 6bitr4d 256 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  <_ 
0  <->  ( A D B )  =  0 ) )
8 xrlenlt 9447 . . . 4  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  <_  0  <->  -.  0  <  ( A D B ) ) )
93, 4, 8sylancl 662 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( A D B ) ) )
10 xmeteq0 19918 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  =  0  <->  A  =  B
) )
117, 9, 103bitr3d 283 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( -.  0  <  ( A D B )  <->  A  =  B ) )
1211necon1abid 2669 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A  =/=  B  <->  0  <  ( A D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   0cc0 9287   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   *Metcxmt 17806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-2 10385  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-xmet 17815
This theorem is referenced by:  metgt0  19939
  Copyright terms: Public domain W3C validator