MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetgt0 Structured version   Unicode version

Theorem xmetgt0 21297
Description: The distance function of an extended metric space is positive for unequal points. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetgt0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A  =/=  B  <->  0  <  ( A D B ) ) )

Proof of Theorem xmetgt0
StepHypRef Expression
1 xmetge0 21283 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
21biantrud 509 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  <_ 
0  <->  ( ( A D B )  <_ 
0  /\  0  <_  ( A D B ) ) ) )
3 xmetcl 21270 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
4 0xr 9676 . . . . 5  |-  0  e.  RR*
5 xrletri3 11440 . . . . 5  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  =  0  <->  (
( A D B )  <_  0  /\  0  <_  ( A D B ) ) ) )
63, 4, 5sylancl 666 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  =  0  <->  ( ( A D B )  <_ 
0  /\  0  <_  ( A D B ) ) ) )
72, 6bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  <_ 
0  <->  ( A D B )  =  0 ) )
8 xrlenlt 9688 . . . 4  |-  ( ( ( A D B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( A D B )  <_  0  <->  -.  0  <  ( A D B ) ) )
93, 4, 8sylancl 666 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  <_ 
0  <->  -.  0  <  ( A D B ) ) )
10 xmeteq0 21277 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( ( A D B )  =  0  <->  A  =  B
) )
117, 9, 103bitr3d 286 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( -.  0  <  ( A D B )  <->  A  =  B ) )
1211necon1abid 2670 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A  =/=  B  <->  0  <  ( A D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   0cc0 9528   RR*cxr 9663    < clt 9664    <_ cle 9665   *Metcxmt 18883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-2 10657  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-xmet 18891
This theorem is referenced by:  metgt0  21298
  Copyright terms: Public domain W3C validator