MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetge0 Structured version   Unicode version

Theorem xmetge0 20610
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  A  e.  X )
3 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  B  e.  X )
4 xmettri2 20606 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B D B )  <_  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  <_  (
( A D B ) +e ( A D B ) ) )
6 xmet0 20608 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
763adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
8 2re 10605 . . . . 5  |-  2  e.  RR
9 rexr 9639 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  e.  RR* )
10 xmul01 11459 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR*  ->  ( 2 xe 0 )  =  0 )
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4  |-  ( 2 xe 0 )  =  0
127, 11syl6reqr 2527 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe 0 )  =  ( B D B ) )
13 xmetcl 20597 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
14 x2times 11491 . . . 4  |-  ( ( A D B )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
165, 12, 153brtr4d 4477 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) )
17 0xr 9640 . . . 4  |-  0  e.  RR*
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  e.  RR* )
19 2rp 11225 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  2  e.  RR+ )
21 xlemul2 11483 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2218, 13, 20, 21syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2316, 22mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   RR*cxr 9627    <_ cle 9629   2c2 10585   RR+crp 11220   +ecxad 11316   xecxmu 11317   *Metcxmt 18202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-xmet 18211
This theorem is referenced by:  metge0  20611  xmetlecl  20612  xmetrtri  20621  xmetgt0  20624  prdsxmetlem  20634  imasdsf1olem  20639  xpsdsval  20647  xblpnf  20662  blgt0  20665  xblss2  20668  xbln0  20680  xmsge0  20729  comet  20779  stdbdxmet  20781  stdbdmet  20782  metustexhalfOLD  20829  xrsmopn  21080  metdsf  21115  metdstri  21118  metdscnlem  21122  iscfil2  21468  heicant  29654
  Copyright terms: Public domain W3C validator