MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetge0 Structured version   Unicode version

Theorem xmetge0 21301
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  A  e.  X )
3 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  B  e.  X )
4 xmettri2 21297 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B D B )  <_  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  <_  (
( A D B ) +e ( A D B ) ) )
6 xmet0 21299 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
763adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
8 2re 10630 . . . . 5  |-  2  e.  RR
9 rexr 9637 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  e.  RR* )
10 xmul01 11504 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR*  ->  ( 2 xe 0 )  =  0 )
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4  |-  ( 2 xe 0 )  =  0
127, 11syl6reqr 2481 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe 0 )  =  ( B D B ) )
13 xmetcl 21288 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
14 x2times 11536 . . . 4  |-  ( ( A D B )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
1513, 14syl 17 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
165, 12, 153brtr4d 4397 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) )
17 0xr 9638 . . . 4  |-  0  e.  RR*
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  e.  RR* )
19 2rp 11258 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  2  e.  RR+ )
21 xlemul2 11528 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2218, 13, 20, 21syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2316, 22mpbird 235 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4366   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RRcr 9489   0cc0 9490   RR*cxr 9625    <_ cle 9627   2c2 10610   RR+crp 11253   +ecxad 11358   xecxmu 11359   *Metcxmt 18898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-2 10619  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-xmet 18906
This theorem is referenced by:  metge0  21302  xmetlecl  21303  xmetrtri  21312  xmetgt0  21315  prdsxmetlem  21325  imasdsf1olem  21330  xpsdsval  21338  xblpnf  21353  blgt0  21356  xblss2  21359  xbln0  21371  xmsge0  21420  comet  21470  stdbdxmet  21472  stdbdmet  21473  xrsmopn  21772  metdsf  21807  metdstri  21810  metdscnlem  21814  metdsfOLD  21822  metdstriOLD  21825  metdscnlemOLD  21829  iscfil2  22178  heicant  31882
  Copyright terms: Public domain W3C validator