MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetge0 Structured version   Unicode version

Theorem xmetge0 21290
Description: The distance function of a metric space is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetge0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )

Proof of Theorem xmetge0
StepHypRef Expression
1 simp1 1005 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2 simp2 1006 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  A  e.  X )
3 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  B  e.  X )
4 xmettri2 21286 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( B D B )  <_  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
51, 2, 3, 3, 4syl13anc 1266 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  <_  (
( A D B ) +e ( A D B ) ) )
6 xmet0 21288 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
763adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( B D B )  =  0 )
8 2re 10679 . . . . 5  |-  2  e.  RR
9 rexr 9685 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  ->  2  e.  RR* )
10 xmul01 11553 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR*  ->  ( 2 xe 0 )  =  0 )
118, 9, 10mp2b 10 . . . 4  |-  ( 2 xe 0 )  =  0
127, 11syl6reqr 2489 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe 0 )  =  ( B D B ) )
13 xmetcl 21277 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
14 x2times 11585 . . . 4  |-  ( ( A D B )  e.  RR*  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
1513, 14syl 17 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe ( A D B ) )  =  ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
165, 12, 153brtr4d 4456 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) )
17 0xr 9686 . . . 4  |-  0  e.  RR*
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  e.  RR* )
19 2rp 11307 . . . 4  |-  2  e.  RR+
2019a1i 11 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  2  e.  RR+ )
21 xlemul2 11577 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( A D B )  e. 
RR*  /\  2  e.  RR+ )  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2218, 13, 20, 21syl3anc 1264 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( 0  <_  ( A D B )  <->  ( 2 xe 0 )  <_  ( 2 xe ( A D B ) ) ) )
2316, 22mpbird 235 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  0  <_  ( A D B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   2c2 10659   RR+crp 11302   +ecxad 11407   xecxmu 11408   *Metcxmt 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-xmet 18898
This theorem is referenced by:  metge0  21291  xmetlecl  21292  xmetrtri  21301  xmetgt0  21304  prdsxmetlem  21314  imasdsf1olem  21319  xpsdsval  21327  xblpnf  21342  blgt0  21345  xblss2  21348  xbln0  21360  xmsge0  21409  comet  21459  stdbdxmet  21461  stdbdmet  21462  xrsmopn  21741  metdsf  21776  metdstri  21779  metdscnlem  21783  iscfil2  22129  heicant  31679
  Copyright terms: Public domain W3C validator