MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetf Structured version   Unicode version

Theorem xmetf 19879
Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetf  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )

Proof of Theorem xmetf
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5711 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
2 isxmet 19874 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
54simpld 459 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   class class class wbr 4287    X. cxp 4833   dom cdm 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   0cc0 9274   RR*cxr 9409    <_ cle 9411   +ecxad 11079   *Metcxmt 17776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208  df-xr 9414  df-xmet 17785
This theorem is referenced by:  xmetcl  19881  xmetdmdm  19885  xmetpsmet  19898  xmettpos  19899  xmetres2  19911  xmetres  19914  imasdsf1olem  19923  xmeterval  19982  xmeter  19983  xmetresbl  19987  tmsval  20031  tmslem  20032  tmsxms  20036  imasf1oxms  20039  comet  20063  stdbdxmet  20065  prdsxms  20080  metustssOLD  20103  metustidOLD  20109  metustsymOLD  20111  metustexhalfOLD  20113  metustfbasOLD  20115  cfilucfilOLD  20119  xrsdsre  20362  xmetdcn2  20389  iscfil2  20752  caufval  20761  isbndx  28634  ssbnd  28640  ismtyval  28652
  Copyright terms: Public domain W3C validator