MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetf Structured version   Unicode version

Theorem xmetf 20039
Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetf  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )

Proof of Theorem xmetf
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5828 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
2 isxmet 20034 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
54simpld 459 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4403    X. cxp 4949   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9396   RR*cxr 9531    <_ cle 9533   +ecxad 11201   *Metcxmt 17929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-xr 9536  df-xmet 17938
This theorem is referenced by:  xmetcl  20041  xmetdmdm  20045  xmetpsmet  20058  xmettpos  20059  xmetres2  20071  xmetres  20074  imasdsf1olem  20083  xmeterval  20142  xmeter  20143  xmetresbl  20147  tmsval  20191  tmslem  20192  tmsxms  20196  imasf1oxms  20199  comet  20223  stdbdxmet  20225  prdsxms  20240  metustssOLD  20263  metustidOLD  20269  metustsymOLD  20271  metustexhalfOLD  20273  metustfbasOLD  20275  cfilucfilOLD  20279  xrsdsre  20522  xmetdcn2  20549  iscfil2  20912  caufval  20921  isbndx  28849  ssbnd  28855  ismtyval  28867
  Copyright terms: Public domain W3C validator