MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetf Structured version   Unicode version

Theorem xmetf 20700
Description: Mapping of the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetf  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )

Proof of Theorem xmetf
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5898 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  e.  dom  *Met )
2 isxmet 20695 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  *Met  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
43ibi 241 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
54simpld 459 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   RR*cxr 9639    <_ cle 9641   +ecxad 11328   *Metcxmt 18273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7434  df-xr 9644  df-xmet 18282
This theorem is referenced by:  xmetcl  20702  xmetdmdm  20706  xmetpsmet  20719  xmettpos  20720  xmetres2  20732  xmetres  20735  imasdsf1olem  20744  xmeterval  20803  xmeter  20804  xmetresbl  20808  tmsval  20852  tmslem  20853  tmsxms  20857  imasf1oxms  20860  comet  20884  stdbdxmet  20886  prdsxms  20901  metustssOLD  20924  metustidOLD  20930  metustsymOLD  20932  metustexhalfOLD  20934  metustfbasOLD  20936  cfilucfilOLD  20940  xrsdsre  21183  xmetdcn2  21210  iscfil2  21573  caufval  21582  isbndx  30196  ssbnd  30202  ismtyval  30214
  Copyright terms: Public domain W3C validator