Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmeter Structured version   Unicode version

Theorem xmeter 21434
 Description: The "finitely separated" relation is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xmeter.1
Assertion
Ref Expression
xmeter

Proof of Theorem xmeter
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmeter.1 . . . . 5
2 cnvimass 5203 . . . . 5
31, 2eqsstri 3494 . . . 4
4 xmetf 21330 . . . . 5
5 fdm 5746 . . . . 5
64, 5syl 17 . . . 4
73, 6syl5sseq 3512 . . 3
8 relxp 4957 . . 3
9 relss 4937 . . 3
107, 8, 9mpisyl 22 . 2
111xmeterval 21433 . . . . 5
1211biimpa 486 . . . 4
1312simp2d 1018 . . 3
1412simp1d 1017 . . 3
15 simpl 458 . . . . 5
16 xmetsym 21348 . . . . 5
1715, 14, 13, 16syl3anc 1264 . . . 4
1812simp3d 1019 . . . 4
1917, 18eqeltrrd 2511 . . 3
201xmeterval 21433 . . . 4
2213, 14, 19, 21mpbir3and 1188 . 2
241xmeterval 21433 . . . . . 6
2524biimpa 486 . . . . 5
2625adantrl 720 . . . 4
2726simp2d 1018 . . 3
28 simpl 458 . . . 4
2918adantrr 721 . . . . 5
3026simp3d 1019 . . . . 5
31 rexadd 11525 . . . . . 6
32 readdcl 9622 . . . . . 6
3331, 32eqeltrd 2510 . . . . 5
3429, 30, 33syl2anc 665 . . . 4
3513adantrr 721 . . . . 5
36 xmettri 21352 . . . . 5
3728, 23, 27, 35, 36syl13anc 1266 . . . 4
38 xmetlecl 21347 . . . 4
3928, 23, 27, 34, 37, 38syl122anc 1273 . . 3
401xmeterval 21433 . . . 4
4223, 27, 39, 41mpbir3and 1188 . 2
43 xmet0 21343 . . . . . . 7
44 0re 9643 . . . . . . 7
4543, 44syl6eqel 2518 . . . . . 6
4645ex 435 . . . . 5
4746pm4.71rd 639 . . . 4
48 df-3an 984 . . . . 5
49 anidm 648 . . . . . 6
5049anbi2ci 700 . . . . 5
5148, 50bitri 252 . . . 4
5247, 51syl6bbr 266 . . 3
531xmeterval 21433 . . 3
5452, 53bitr4d 259 . 2
5510, 22, 42, 54iserd 7393 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868   wss 3436   class class class wbr 4420   cxp 4847  ccnv 4848   cdm 4849  cima 4852   wrel 4854  wf 5593  cfv 5597  (class class class)co 6301   wer 7364  cr 9538  cc0 9539   caddc 9542  cxr 9674   cle 9676  cxad 11407  cxmt 18942 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-xmet 18950 This theorem is referenced by:  blpnfctr  21437  xmetresbl  21438
 Copyright terms: Public domain W3C validator