MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetdmdm Structured version   Unicode version

Theorem xmetdmdm 20028
Description: Recover the base set from an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmetdmdm  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  dom  dom  D )

Proof of Theorem xmetdmdm
StepHypRef Expression
1 xmetf 20022 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fdm 5663 . . . 4  |-  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  ->  dom 
D  =  ( X  X.  X ) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  dom  D  =  ( X  X.  X ) )
43dmeqd 5142 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  dom  dom 
D  =  dom  ( X  X.  X ) )
5 dmxpid 5159 . 2  |-  dom  ( X  X.  X )  =  X
64, 5syl6req 2509 1  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  dom  dom  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    X. cxp 4938   dom cdm 4940   -->wf 5514   ` cfv 5518   RR*cxr 9520   *Metcxmt 17912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-map 7318  df-xr 9525  df-xmet 17921
This theorem is referenced by:  metdmdm  20029  xmetunirn  20030  metuvalOLD  20242  cfilfval  20893
  Copyright terms: Public domain W3C validator