MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Unicode version

Theorem xmetcl 21288
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 21286 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 6397 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1297 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    e. wcel 1872    X. cxp 4794   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   RR*cxr 9625   *Metcxmt 18898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-map 7429  df-xr 9630  df-xmet 18906
This theorem is referenced by:  xmetge0  21301  xmetlecl  21303  xmetsym  21304  xmetrtri  21312  xmetrtri2  21313  xmetgt0  21315  prdsdsf  21324  prdsxmetlem  21325  imasdsf1olem  21330  imasf1oxmet  21332  xpsdsval  21338  xblpnf  21353  bldisj  21355  blgt0  21356  xblss2  21359  blhalf  21362  xbln0  21371  blin  21378  blss  21382  xmscl  21419  prdsbl  21448  blsscls2  21461  blcld  21462  blcls  21463  comet  21470  stdbdxmet  21472  stdbdmet  21473  stdbdbl  21474  tmsxpsval2  21496  metcnpi3  21503  txmetcnp  21504  xrsmopn  21772  metdcnlem  21796  metdsf  21807  metdsge  21808  metdstri  21810  metdsle  21811  metdscnlem  21814  metnrmlem1  21818  metnrmlem3  21820  metdsfOLD  21822  metdsgeOLD  21823  metdstriOLD  21825  metdsleOLD  21826  metdscnlemOLD  21829  metnrmlem1OLD  21833  metnrmlem3OLD  21835  lmnn  22175  iscfil2  22178  iscau3  22190  dvlip2  22889  heicant  31882
  Copyright terms: Public domain W3C validator