MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Unicode version

Theorem xmetcl 21277
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 21275 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 6453 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1297 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    e. wcel 1870    X. cxp 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RR*cxr 9673   *Metcxmt 18890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-xr 9678  df-xmet 18898
This theorem is referenced by:  xmetge0  21290  xmetlecl  21292  xmetsym  21293  xmetrtri  21301  xmetrtri2  21302  xmetgt0  21304  prdsdsf  21313  prdsxmetlem  21314  imasdsf1olem  21319  imasf1oxmet  21321  xpsdsval  21327  xblpnf  21342  bldisj  21344  blgt0  21345  xblss2  21348  blhalf  21351  xbln0  21360  blin  21367  blss  21371  xmscl  21408  prdsbl  21437  blsscls2  21450  blcld  21451  blcls  21452  comet  21459  stdbdxmet  21461  stdbdmet  21462  stdbdbl  21463  tmsxpsval2  21485  metcnpi3  21492  txmetcnp  21493  xrsmopn  21741  metdcnlem  21765  metdsf  21776  metdsge  21777  metdstri  21779  metdsle  21780  metdscnlem  21783  metnrmlem1  21787  metnrmlem3  21789  lmnn  22126  iscfil2  22129  iscau3  22141  dvlip2  22824  heicant  31678
  Copyright terms: Public domain W3C validator