MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Unicode version

Theorem xmetcl 20562
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 20560 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 6420 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1256 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    e. wcel 1762    X. cxp 4990   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RR*cxr 9616   *Metcxmt 18167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-map 7412  df-xr 9621  df-xmet 18176
This theorem is referenced by:  xmetge0  20575  xmetlecl  20577  xmetsym  20578  xmetrtri  20586  xmetrtri2  20587  xmetgt0  20589  prdsdsf  20598  prdsxmetlem  20599  imasdsf1olem  20604  imasf1oxmet  20606  xpsdsval  20612  xblpnf  20627  bldisj  20629  blgt0  20630  xblss2  20633  blhalf  20636  xbln0  20645  blin  20652  blss  20656  xmscl  20693  prdsbl  20722  blsscls2  20735  blcld  20736  blcls  20737  comet  20744  stdbdxmet  20746  stdbdmet  20747  stdbdbl  20748  tmsxpsval2  20770  metcnpi3  20777  txmetcnp  20778  xrsmopn  21045  metdcnlem  21069  metdsf  21080  metdsge  21081  metdstri  21083  metdsle  21084  metdscnlem  21087  metnrmlem1  21091  metnrmlem3  21093  lmnn  21430  iscfil2  21433  iscau3  21445  dvlip2  22124  heicant  29613
  Copyright terms: Public domain W3C validator