MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Unicode version

Theorem xmetcl 21003
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 21001 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 6418 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1259 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 971    e. wcel 1823    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RR*cxr 9616   *Metcxmt 18601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-xr 9621  df-xmet 18610
This theorem is referenced by:  xmetge0  21016  xmetlecl  21018  xmetsym  21019  xmetrtri  21027  xmetrtri2  21028  xmetgt0  21030  prdsdsf  21039  prdsxmetlem  21040  imasdsf1olem  21045  imasf1oxmet  21047  xpsdsval  21053  xblpnf  21068  bldisj  21070  blgt0  21071  xblss2  21074  blhalf  21077  xbln0  21086  blin  21093  blss  21097  xmscl  21134  prdsbl  21163  blsscls2  21176  blcld  21177  blcls  21178  comet  21185  stdbdxmet  21187  stdbdmet  21188  stdbdbl  21189  tmsxpsval2  21211  metcnpi3  21218  txmetcnp  21219  xrsmopn  21486  metdcnlem  21510  metdsf  21521  metdsge  21522  metdstri  21524  metdsle  21525  metdscnlem  21528  metnrmlem1  21532  metnrmlem3  21534  lmnn  21871  iscfil2  21874  iscau3  21886  dvlip2  22565  heicant  30292
  Copyright terms: Public domain W3C validator