MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Unicode version

Theorem xmetcl 17728
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 17726 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 5842 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1220 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    e. wcel 1621    X. cxp 4578   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RR*cxr 8746   * Metcxmt 16201
This theorem is referenced by:  xmetge0  17741  xmetlecl  17743  xmetsym  17744  xmetrtri  17751  xmetrtri2  17752  xmetgt0  17754  prdsdsf  17763  prdsxmetlem  17764  imasdsf1olem  17769  imasf1oxmet  17771  xpsdsval  17777  xblpnf  17785  bldisj  17787  blgt0  17788  xblss2  17790  blhalf  17792  xbln0  17797  blin  17802  blss  17804  xmscl  17840  prdsbl  17869  blsscls2  17882  blcld  17883  blcls  17884  comet  17891  stdbdxmet  17893  stdbdmet  17894  stdbdbl  17895  tmsxpsval2  17917  metcnpi3  17924  txmetcnp  17925  xrsmopn  18150  metdcnlem  18173  metdsf  18184  metdsge  18185  metdstri  18187  metdsle  18188  metdscnlem  18191  metnrmlem1  18195  metnrmlem3  18197  lmnn  18521  iscfil2  18524  iscau3  18536  dvlip2  19174
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660  df-xr 8751  df-xmet 16205
  Copyright terms: Public domain W3C validator