MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Unicode version

Theorem xmetcl 19865
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 19863 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 6232 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1246 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 960    e. wcel 1761    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RR*cxr 9413   *Metcxmt 17760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-xr 9418  df-xmet 17769
This theorem is referenced by:  xmetge0  19878  xmetlecl  19880  xmetsym  19881  xmetrtri  19889  xmetrtri2  19890  xmetgt0  19892  prdsdsf  19901  prdsxmetlem  19902  imasdsf1olem  19907  imasf1oxmet  19909  xpsdsval  19915  xblpnf  19930  bldisj  19932  blgt0  19933  xblss2  19936  blhalf  19939  xbln0  19948  blin  19955  blss  19959  xmscl  19996  prdsbl  20025  blsscls2  20038  blcld  20039  blcls  20040  comet  20047  stdbdxmet  20049  stdbdmet  20050  stdbdbl  20051  tmsxpsval2  20073  metcnpi3  20080  txmetcnp  20081  xrsmopn  20348  metdcnlem  20372  metdsf  20383  metdsge  20384  metdstri  20386  metdsle  20387  metdscnlem  20390  metnrmlem1  20394  metnrmlem3  20396  lmnn  20733  iscfil2  20736  iscau3  20748  dvlip2  21426  heicant  28351
  Copyright terms: Public domain W3C validator