MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmetcl Structured version   Unicode version

Theorem xmetcl 19906
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
xmetcl  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )

Proof of Theorem xmetcl
StepHypRef Expression
1 xmetf 19904 . 2  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 fovrn 6233 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR* 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
31, 2syl3an1 1251 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1756    X. cxp 4838   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   RR*cxr 9417   *Metcxmt 17801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-xr 9422  df-xmet 17810
This theorem is referenced by:  xmetge0  19919  xmetlecl  19921  xmetsym  19922  xmetrtri  19930  xmetrtri2  19931  xmetgt0  19933  prdsdsf  19942  prdsxmetlem  19943  imasdsf1olem  19948  imasf1oxmet  19950  xpsdsval  19956  xblpnf  19971  bldisj  19973  blgt0  19974  xblss2  19977  blhalf  19980  xbln0  19989  blin  19996  blss  20000  xmscl  20037  prdsbl  20066  blsscls2  20079  blcld  20080  blcls  20081  comet  20088  stdbdxmet  20090  stdbdmet  20091  stdbdbl  20092  tmsxpsval2  20114  metcnpi3  20121  txmetcnp  20122  xrsmopn  20389  metdcnlem  20413  metdsf  20424  metdsge  20425  metdstri  20427  metdsle  20428  metdscnlem  20431  metnrmlem1  20435  metnrmlem3  20437  lmnn  20774  iscfil2  20777  iscau3  20789  dvlip2  21467  heicant  28426
  Copyright terms: Public domain W3C validator