MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmet0 Structured version   Unicode version

Theorem xmet0 19932
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmet0  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )

Proof of Theorem xmet0
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . 2  |-  A  =  A
2 xmeteq0 19928 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
323anidm23 1277 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( A D A )  =  0  <->  A  =  A
) )
41, 3mpbiri 233 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   0cc0 9297   *Metcxmt 17816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2735  df-rex 2736  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-op 3899  df-uni 4107  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-id 4651  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-fv 5441  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-map 7231  df-xr 9437  df-xmet 17825
This theorem is referenced by:  met0  19933  xmetge0  19934  xmetsym  19937  xmetpsmet  19938  xblcntr  20001  ssbl  20013  xmeter  20023  metustidOLD  20149  ubthlem2  24287
  Copyright terms: Public domain W3C validator