MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltadd1 Structured version   Unicode version

Theorem xltadd1 11325
Description: Extended real version of ltadd1 9912. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltadd1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A +e C )  <  ( B +e C ) ) )

Proof of Theorem xltadd1
StepHypRef Expression
1 xleadd1 11324 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
213com12 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
32notbid 294 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  <->  -.  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
4 xrltnle 9549 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
543adant3 1008 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
6 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
7 rexr 9535 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
873ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
9 xaddcl 11313 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
106, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
11 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
12 xaddcl 11313 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
1311, 8, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
14 xrltnle 9549 . . 3  |-  ( ( ( A +e
C )  e.  RR*  /\  ( B +e
C )  e.  RR* )  ->  ( ( A +e C )  <  ( B +e C )  <->  -.  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C )  <  ( B +e C )  <->  -.  ( B +e
C )  <_  ( A +e C ) ) )
163, 5, 153bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A +e C )  <  ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   RRcr 9387   RR*cxr 9523    < clt 9524    <_ cle 9525   +ecxad 11193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-xneg 11195  df-xadd 11196
This theorem is referenced by:  xltadd2  11326  xlt2add  11329
  Copyright terms: Public domain W3C validator