MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xltadd1 Structured version   Unicode version

Theorem xltadd1 11500
Description: Extended real version of ltadd1 10059. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xltadd1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A +e C )  <  ( B +e C ) ) )

Proof of Theorem xltadd1
StepHypRef Expression
1 xleadd1 11499 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
213com12 1201 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
32notbid 292 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  <->  -.  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
4 xrltnle 9682 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
543adant3 1017 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
6 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
7 rexr 9668 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
873ad2ant3 1020 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
9 xaddcl 11488 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
106, 8, 9syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
11 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
12 xaddcl 11488 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
1311, 8, 12syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
14 xrltnle 9682 . . 3  |-  ( ( ( A +e
C )  e.  RR*  /\  ( B +e
C )  e.  RR* )  ->  ( ( A +e C )  <  ( B +e C )  <->  -.  ( B +e C )  <_  ( A +e C ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 659 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C )  <  ( B +e C )  <->  -.  ( B +e
C )  <_  ( A +e C ) ) )
163, 5, 153bitr4d 285 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A +e C )  <  ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   RRcr 9520   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658   +ecxad 11368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-xneg 11370  df-xadd 11371
This theorem is referenced by:  xltadd2  11501  xlt2add  11504
  Copyright terms: Public domain W3C validator