MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlt2add Structured version   Unicode version

Theorem xlt2add 11448
Description: Extended real version of lt2add 10033. Note that ltleadd 10031, which has weaker assumptions, is not true for the extended reals (since  0  + +oo  <  1  + +oo fails). (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlt2add  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  <  C  /\  B  <  D )  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) ) )

Proof of Theorem xlt2add
StepHypRef Expression
1 simp1l 1020 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  A  e.  RR* )
2 elxr 11321 . . . 4  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
31, 2sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
4 simp2r 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  D  e.  RR* )
5 elxr 11321 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR*  <->  ( D  e.  RR  \/  D  = +oo  \/  D  = -oo ) )
64, 5sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( D  e.  RR  \/  D  = +oo  \/  D  = -oo ) )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( D  e.  RR  \/  D  = +oo  \/  D  = -oo ) )
8 xaddcl 11432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
983ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
11 xaddcl 11432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( A +e D )  e.  RR* )
121, 4, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A +e D )  e.  RR* )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( A +e D )  e.  RR* )
14 xaddcl 11432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( C +e D )  e.  RR* )
15143ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( C +e D )  e.  RR* )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( C +e D )  e.  RR* )
17 simp3r 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  B  <  D )
1817adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  B  <  D )
19 simp1r 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  B  e.  RR* )
2019adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR* )
214adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  D  e.  RR* )
22 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
23 xltadd2 11445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  D  <->  ( A +e B )  <  ( A +e D ) ) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( B  <  D  <->  ( A +e B )  < 
( A +e
D ) ) )
2518, 24mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( A +e B )  <  ( A +e D ) )
26 simp3l 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  A  <  C )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  A  <  C )
281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR* )
29 simp2l 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  C  e.  RR* )
3029adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR* )
31 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  D  e.  RR )
32 xltadd1 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  D  e.  RR )  ->  ( A  <  C  <->  ( A +e D )  <  ( C +e D ) ) )
3328, 30, 31, 32syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( A  <  C  <->  ( A +e D )  < 
( C +e
D ) ) )
3427, 33mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( A +e D )  <  ( C +e D ) )
3510, 13, 16, 25, 34xrlttrd 11358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) )
3635anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  e.  RR )  /\  D  e.  RR )  ->  ( A +e B )  < 
( C +e
D ) )
37 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  -> +oo  e.  RR* )
39 pnfge 11335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  RR*  ->  C  <_ +oo )
4029, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  C  <_ +oo )
411, 29, 38, 26, 40xrltletrd 11360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  A  < +oo )
42 nltpnft 11363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  = +oo  <->  -.  A  < +oo ) )
4342necon2abid 2721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  < +oo  <->  A  =/= +oo )
)
441, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A  < +oo  <->  A  =/= +oo )
)
4541, 44mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  A  =/= +oo )
46 pnfge 11335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  RR*  ->  D  <_ +oo )
474, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  D  <_ +oo )
4819, 4, 38, 17, 47xrltletrd 11360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  B  < +oo )
49 nltpnft 11363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  = +oo  <->  -.  B  < +oo ) )
5049necon2abid 2721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B  < +oo  <->  B  =/= +oo )
)
5119, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( B  < +oo  <->  B  =/= +oo )
)
5248, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  B  =/= +oo )
53 xaddnepnf 11430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  /\  ( B  e.  RR*  /\  B  =/= +oo )
)  ->  ( A +e B )  =/= +oo )
541, 45, 19, 52, 53syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A +e B )  =/= +oo )
55 nltpnft 11363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A +e B )  e.  RR*  ->  ( ( A +e
B )  = +oo  <->  -.  ( A +e B )  < +oo )
)
5655necon2abid 2721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A +e B )  e.  RR*  ->  ( ( A +e
B )  < +oo  <->  ( A +e B )  =/= +oo ) )
579, 56syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( ( A +e B )  < +oo  <->  ( A +e B )  =/= +oo ) )
5854, 57mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A +e B )  < +oo )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  D  = +oo )  ->  ( A +e
B )  < +oo )
60 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( D  = +oo  ->  ( C +e D )  =  ( C +e +oo ) )
61 mnfxr 11319 . . . . . . . . . . . . 13  |- -oo  e.  RR*
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  -> -oo  e.  RR* )
63 mnfle 11338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
641, 63syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  -> -oo  <_  A
)
6562, 1, 29, 64, 26xrlelttrd 11359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  -> -oo  <  C
)
66 ngtmnft 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( C  = -oo  <->  -. -oo  <  C ) )
6766necon2abid 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( -oo  <  C  <->  C  =/= -oo )
)
6829, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( -oo  <  C  <->  C  =/= -oo )
)
6965, 68mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  C  =/= -oo )
70 xaddpnf1 11421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )  ->  ( C +e +oo )  = +oo )
7129, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( C +e +oo )  = +oo )
7260, 71sylan9eqr 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  D  = +oo )  ->  ( C +e
D )  = +oo )
7359, 72breqtrrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  D  = +oo )  ->  ( A +e
B )  <  ( C +e D ) )
7473adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  e.  RR )  /\  D  = +oo )  ->  ( A +e B )  < 
( C +e
D ) )
75 mnfle 11338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  -> -oo  <_  B )
7619, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  -> -oo  <_  B
)
7762, 19, 4, 76, 17xrlelttrd 11359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  -> -oo  <  D
)
78 ngtmnft 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  RR*  ->  ( D  = -oo  <->  -. -oo  <  D ) )
7978necon2abid 2721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  RR*  ->  ( -oo  <  D  <->  D  =/= -oo )
)
804, 79syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( -oo  <  D  <->  D  =/= -oo )
)
8177, 80mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  D  =/= -oo )
8281a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( -.  ( A +e B )  <  ( C +e D )  ->  D  =/= -oo ) )
8382necon4bd 2689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( D  = -oo  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) ) )
8483imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  D  = -oo )  ->  ( A +e
B )  <  ( C +e D ) )
8584adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  e.  RR )  /\  D  = -oo )  ->  ( A +e B )  < 
( C +e
D ) )
8636, 74, 853jaodan 1294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( D  e.  RR  \/  D  = +oo  \/  D  = -oo ) )  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) )
877, 86mpdan 668 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e
B )  <  ( C +e D ) )
8845a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( -.  ( A +e B )  <  ( C +e D )  ->  A  =/= +oo ) )
8988necon4bd 2689 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A  = +oo  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) ) )
9089imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e
B )  <  ( C +e D ) )
91 oveq1 6289 . . . . . 6  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e B )  =  ( -oo +e B ) )
92 xaddmnf2 11424 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= +oo )  ->  ( -oo +e B )  = -oo )
9319, 52, 92syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( -oo +e B )  = -oo )
9491, 93sylan9eqr 2530 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e
B )  = -oo )
95 xaddnemnf 11429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )  /\  ( D  e.  RR*  /\  D  =/= -oo )
)  ->  ( C +e D )  =/= -oo )
9629, 69, 4, 81, 95syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( C +e D )  =/= -oo )
97 ngtmnft 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C +e D )  e.  RR*  ->  ( ( C +e
D )  = -oo  <->  -. -oo 
<  ( C +e D ) ) )
9897necon2abid 2721 . . . . . . . 8  |-  ( ( C +e D )  e.  RR*  ->  ( -oo  <  ( C +e D )  <-> 
( C +e
D )  =/= -oo ) )
9915, 98syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( -oo  <  ( C +e
D )  <->  ( C +e D )  =/= -oo ) )
10096, 99mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  -> -oo  <  ( C +e D ) )
101100adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <  ( C +e D ) )
10294, 101eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e
B )  <  ( C +e D ) )
10387, 90, 1023jaodan 1294 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  /\  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) )
1043, 103mpdan 668 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  ( A  <  C  /\  B  <  D ) )  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) )
1051043expia 1198 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  <  C  /\  B  <  D )  ->  ( A +e B )  <  ( C +e D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   +ecxad 11312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-xneg 11314  df-xadd 11315
This theorem is referenced by:  bldisj  20633  iscau3  21449  xrofsup  27247  xrge0addgt0  27340
  Copyright terms: Public domain W3C validator