MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Structured version   Unicode version

Theorem xlesubadd 11329
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 9914 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
3 xnegcl 11286 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  -e B  e.  RR* )
5 xaddcl 11310 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A +e  -e B )  e. 
RR* )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
8 simpll3 1029 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  C  e. 
RR* )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 11321 . . . 4  |-  ( ( ( A +e  -e B )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e
B )  <_  C  <->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_ 
( C +e
B ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_  ( C +e B ) ) )
12 xnpcan 11318 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
131, 12sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
1413breq1d 4402 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_ 
( C +e
B )  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )
1511, 14bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  A  <_  ( C +e B ) ) )
16 simpr3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  C )
17 oveq1 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  ( +oo +e -oo ) )
18 pnfaddmnf 11303 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
1917, 18syl6eq 2508 . . . . . . . 8  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  0 )
2019breq1d 4402 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  (
( A +e -oo )  <_  C  <->  0  <_  C ) )
2116, 20syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
22 xaddmnf1 11301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
2322ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  = -oo ) )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  = -oo ) )
25 simpl3 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
26 mnfle 11216 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR*  -> -oo  <_  C )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> -oo  <_  C )
28 breq1 4395 . . . . . . . 8  |-  ( ( A +e -oo )  = -oo  ->  (
( A +e -oo )  <_  C  <-> -oo  <_  C
) )
2927, 28syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e -oo )  = -oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
3024, 29syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
3121, 30pm2.61dne 2765 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A +e -oo )  <_  C )
32 pnfge 11213 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_ +oo )
34 ge0nemnf 11248 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  C  =/= -oo )
3525, 16, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  =/= -oo )
36 xaddpnf1 11299 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )  ->  ( C +e +oo )  = +oo )
3725, 35, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( C +e +oo )  = +oo )
3833, 37breqtrrd 4418 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  ( C +e +oo ) )
3931, 382thd 240 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e +oo ) ) )
40 xnegeq 11280 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  =  -e +oo )
41 xnegpnf 11282 . . . . . . . 8  |-  -e +oo  = -oo
4240, 41syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  = -oo )
4342oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e -oo ) )
4443breq1d 4402 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  (
( A +e  -e B )  <_  C 
<->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
45 oveq2 6200 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( C +e B )  =  ( C +e +oo ) )
4645breq2d 4404 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( A  <_  ( C +e B )  <->  A  <_  ( C +e +oo ) ) )
4744, 46bibi12d 321 . . . 4  |-  ( B  = +oo  ->  (
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) )  <->  ( ( A +e -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e +oo )
) ) )
4839, 47syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  = +oo  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) ) )
4948imp 429 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  = +oo )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  A  <_  ( C +e B ) ) )
50 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  =/= -oo )
512, 50jca 532 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )
)
52 xrnemnf 11202 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
5351, 52sylib 196 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
5415, 49, 53mpjaodan 784 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392  (class class class)co 6192   RRcr 9384   0cc0 9385   +oocpnf 9518   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520    <_ cle 9522    -ecxne 11189   +ecxad 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-xneg 11192  df-xadd 11193
This theorem is referenced by:  xmetrtri  20048  metdstri  20545  metdscnlem  20549
  Copyright terms: Public domain W3C validator