MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Structured version   Unicode version

Theorem xlesubadd 11480
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 10045 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpl2 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
3 xnegcl 11437 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  -e B  e.  RR* )
5 xaddcl 11461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A +e  -e B )  e. 
RR* )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
8 simpll3 1037 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  C  e. 
RR* )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 11472 . . . 4  |-  ( ( ( A +e  -e B )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e
B )  <_  C  <->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_ 
( C +e
B ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_  ( C +e B ) ) )
12 xnpcan 11469 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
131, 12sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
1413breq1d 4466 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_ 
( C +e
B )  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )
1511, 14bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  A  <_  ( C +e B ) ) )
16 simpr3 1004 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  C )
17 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  ( +oo +e -oo ) )
18 pnfaddmnf 11454 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
1917, 18syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  0 )
2019breq1d 4466 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  (
( A +e -oo )  <_  C  <->  0  <_  C ) )
2116, 20syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
22 xaddmnf1 11452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
2322ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  = -oo ) )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  = -oo ) )
25 simpl3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
26 mnfle 11367 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR*  -> -oo  <_  C )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> -oo  <_  C )
28 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A +e -oo )  = -oo  ->  (
( A +e -oo )  <_  C  <-> -oo  <_  C
) )
2927, 28syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e -oo )  = -oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
3024, 29syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
3121, 30pm2.61dne 2774 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A +e -oo )  <_  C )
32 pnfge 11364 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_ +oo )
34 ge0nemnf 11399 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  C  =/= -oo )
3525, 16, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  =/= -oo )
36 xaddpnf1 11450 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )  ->  ( C +e +oo )  = +oo )
3725, 35, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( C +e +oo )  = +oo )
3833, 37breqtrrd 4482 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  ( C +e +oo ) )
3931, 382thd 240 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e +oo ) ) )
40 xnegeq 11431 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  =  -e +oo )
41 xnegpnf 11433 . . . . . . . 8  |-  -e +oo  = -oo
4240, 41syl6eq 2514 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  = -oo )
4342oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e -oo ) )
4443breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  (
( A +e  -e B )  <_  C 
<->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
45 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( C +e B )  =  ( C +e +oo ) )
4645breq2d 4468 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( A  <_  ( C +e B )  <->  A  <_  ( C +e +oo ) ) )
4744, 46bibi12d 321 . . . 4  |-  ( B  = +oo  ->  (
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) )  <->  ( ( A +e -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e +oo )
) ) )
4839, 47syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  = +oo  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) ) )
4948imp 429 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  = +oo )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  A  <_  ( C +e B ) ) )
50 simpr2 1003 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  =/= -oo )
512, 50jca 532 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )
)
52 xrnemnf 11353 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
5351, 52sylib 196 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
5415, 49, 53mpjaodan 786 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    <_ cle 9646    -ecxne 11340   +ecxad 11341
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-xneg 11343  df-xadd 11344
This theorem is referenced by:  xmetrtri  20984  metdstri  21481  metdscnlem  21485
  Copyright terms: Public domain W3C validator