MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlesubadd Structured version   Unicode version

Theorem xlesubadd 11444
Description: Under certain conditions, the conclusion of lesubadd 10013 is true even in the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlesubadd  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )

Proof of Theorem xlesubadd
StepHypRef Expression
1 simpl1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  e.  RR* )
2 simpl2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  e.  RR* )
3 xnegcl 11401 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR*  ->  -e
B  e.  RR* )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  -e B  e.  RR* )
5 xaddcl 11425 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  -e
B  e.  RR* )  ->  ( A +e  -e B )  e. 
RR* )
61, 4, 5syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A +e  -e B )  e. 
RR* )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e  -e
B )  e.  RR* )
8 simpll3 1032 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  C  e. 
RR* )
9 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
10 xleadd1 11436 . . . 4  |-  ( ( ( A +e  -e B )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e
B )  <_  C  <->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_ 
( C +e
B ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1223 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_  ( C +e B ) ) )
12 xnpcan 11433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
131, 12sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B ) +e B )  =  A )
1413breq1d 4450 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A +e  -e B ) +e B )  <_ 
( C +e
B )  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )
1511, 14bitrd 253 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  A  <_  ( C +e B ) ) )
16 simpr3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
0  <_  C )
17 oveq1 6282 . . . . . . . . 9  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  ( +oo +e -oo ) )
18 pnfaddmnf 11418 . . . . . . . . 9  |-  ( +oo +e -oo )  =  0
1917, 18syl6eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  =  0 )
2019breq1d 4450 . . . . . . 7  |-  ( A  = +oo  ->  (
( A +e -oo )  <_  C  <->  0  <_  C ) )
2116, 20syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  = +oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
22 xaddmnf1 11416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
2322ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  = -oo ) )
241, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  = -oo ) )
25 simpl3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  e.  RR* )
26 mnfle 11331 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR*  -> -oo  <_  C )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> -oo  <_  C )
28 breq1 4443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A +e -oo )  = -oo  ->  (
( A +e -oo )  <_  C  <-> -oo  <_  C
) )
2927, 28syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e -oo )  = -oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
3024, 29syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  =/= +oo  ->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
3121, 30pm2.61dne 2777 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A +e -oo )  <_  C )
32 pnfge 11328 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_ +oo )
34 ge0nemnf 11363 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  C  =/= -oo )
3525, 16, 34syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  C  =/= -oo )
36 xaddpnf1 11414 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )  ->  ( C +e +oo )  = +oo )
3725, 35, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( C +e +oo )  = +oo )
3833, 37breqtrrd 4466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  A  <_  ( C +e +oo ) )
3931, 382thd 240 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e +oo ) ) )
40 xnegeq 11395 . . . . . . . 8  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  =  -e +oo )
41 xnegpnf 11397 . . . . . . . 8  |-  -e +oo  = -oo
4240, 41syl6eq 2517 . . . . . . 7  |-  ( B  = +oo  ->  -e
B  = -oo )
4342oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( A +e  -e
B )  =  ( A +e -oo ) )
4443breq1d 4450 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  (
( A +e  -e B )  <_  C 
<->  ( A +e -oo )  <_  C ) )
45 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( B  = +oo  ->  ( C +e B )  =  ( C +e +oo ) )
4645breq2d 4452 . . . . 5  |-  ( B  = +oo  ->  ( A  <_  ( C +e B )  <->  A  <_  ( C +e +oo ) ) )
4744, 46bibi12d 321 . . . 4  |-  ( B  = +oo  ->  (
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) )  <->  ( ( A +e -oo )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e +oo )
) ) )
4839, 47syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  = +oo  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) ) )
4948imp 429 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  ( 0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C )
)  /\  B  = +oo )  ->  ( ( A +e  -e B )  <_  C 
<->  A  <_  ( C +e B ) ) )
50 simpr2 998 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  ->  B  =/= -oo )
512, 50jca 532 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )
)
52 xrnemnf 11317 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
5351, 52sylib 196 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  = +oo ) )
5415, 49, 53mpjaodan 784 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <_  A  /\  B  =/= -oo  /\  0  <_  C ) )  -> 
( ( A +e  -e B )  <_  C  <->  A  <_  ( C +e B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614   -oocmnf 9615   RR*cxr 9616    <_ cle 9618    -ecxne 11304   +ecxad 11305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-xneg 11307  df-xadd 11308
This theorem is referenced by:  xmetrtri  20586  metdstri  21083  metdscnlem  21087
  Copyright terms: Public domain W3C validator