MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul2 Structured version   Unicode version

Theorem xlemul2 11252
Description: Extended real version of lemul2 10180. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( C xe A )  <_  ( C xe B ) ) )

Proof of Theorem xlemul2
StepHypRef Expression
1 xlemul1 11251 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
2 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  A  e. 
RR* )
3 rpxr 10996 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR+  ->  C  e. 
RR* )
433ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  C  e. 
RR* )
5 xmulcom 11227 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  =  ( C xe A ) )
62, 4, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A xe C )  =  ( C xe A ) )
7 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  B  e. 
RR* )
8 xmulcom 11227 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  =  ( C xe B ) )
97, 4, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( B xe C )  =  ( C xe B ) )
106, 9breq12d 4303 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( ( A xe C )  <_  ( B xe C )  <-> 
( C xe A )  <_  ( C xe B ) ) )
111, 10bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( C xe A )  <_  ( C xe B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4290  (class class class)co 6089   RR*cxr 9415    <_ cle 9417   RR+crp 10989   xecxmu 11086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xmul 11089
This theorem is referenced by:  psmetge0  19886  xmetge0  19917  metnrmlem3  20435  xdivpnfrp  26106
  Copyright terms: Public domain W3C validator