MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1a Unicode version

Theorem xlemul1a 10823
Description: Extended real version of lemul1a 9820. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A x e C )  <_  ( B x e C ) )

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 9087 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
2 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  C  e.  RR* )
3 xrleloe 10693 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (
0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) ) )
41, 2, 3sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C )
) )
5 simplll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR* )
6 elxr 10672 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )
75, 6sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )
8 simpllr 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
9 elxr 10672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo  \/  B  =  -oo ) )
108, 9sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo  \/  B  =  -oo ) )
1110adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo  \/  B  =  -oo ) )
12 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR* )
13 elxr 10672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  RR*  <->  ( C  e.  RR  \/  C  = 
+oo  \/  C  =  -oo ) )
1412, 13sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  \/  C  =  +oo  \/  C  =  -oo )
)
15 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
16 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
17 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
18 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR )
19 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
0  <  C )
20 lemul1 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2116, 17, 18, 19, 20syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2215, 21mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )
23 rexmul 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A x e C )  =  ( A  x.  C ) )
2416, 18, 23syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A x e C )  =  ( A  x.  C ) )
25 rexmul 10806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B x e C )  =  ( B  x.  C ) )
2617, 18, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( B x e C )  =  ( B  x.  C ) )
2722, 24, 263brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A x e C )  <_  ( B x e C ) )
2827expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) )
29 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
30 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
31 lttri4 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
3229, 30, 31sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
335adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR* )
34 xmulpnf1n 10813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  ( A x e  +oo )  =  -oo )
3533, 34sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A x e 
+oo )  =  -oo )
368adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR* )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  RR* )
38 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  +oo  e.  RR*
39 xmulcl 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( B x e  +oo )  e.  RR* )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( B x e 
+oo )  e.  RR* )
41 mnfle 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B x e  +oo )  e.  RR*  ->  -oo  <_  ( B x e  +oo ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  ->  -oo  <_  ( B x e  +oo ) )
4335, 42eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A x e 
+oo )  <_  ( B x e  +oo )
)
4443ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  ->  ( A x e 
+oo )  <_  ( B x e  +oo )
) )
45 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  0  ->  ( A x e  +oo )  =  ( 0 x e  +oo ) )
46 xmul02 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  ( 0 x e  +oo )  =  0 )
4738, 46ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 x e  +oo )  =  0
4845, 47syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  0  ->  ( A x e  +oo )  =  0 )
4948adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A x e  +oo )  =  0 )
50 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
51 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  =  0  ->  ( A  <_  B  <->  0  <_  B ) )
5250, 51syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  0  <_  B
) )
53 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
54 leloe 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5530, 53, 54sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5652, 55sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) ) )
5756imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) )
58 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_  +oo )
591, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <_  +oo
60 xmulpnf1 10809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( B x e  +oo )  =  +oo )
6136, 60sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
( B x e 
+oo )  =  +oo )
6259, 61syl5breqr 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
0  <_  ( B x e  +oo ) )
63 xrleid 10699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ 
0 )
641, 63ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  0
6564, 47breqtrri 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <_  ( 0 x e 
+oo )
66 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  =  B )
6766oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  ( 0 x e 
+oo )  =  ( B x e  +oo ) )
6865, 67syl5breq 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  <_  ( B x e  +oo ) )
6962, 68jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  ( 0  <  B  \/  0  =  B
) )  ->  0  <_  ( B x e 
+oo ) )
7057, 69syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( B x e  +oo )
)
7149, 70eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A x e  +oo )  <_ 
( B x e 
+oo ) )
7271ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( A x e  +oo )  <_ 
( B x e 
+oo ) ) )
73 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  +oo  e.  RR*  ->  +oo  <_  +oo )
7438, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  +oo  <_  +oo
755adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  RR* )
76 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  A )
77 xmulpnf1 10809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  ( A x e  +oo )  =  +oo )
7875, 76, 77syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A x e 
+oo )  =  +oo )
798adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  B  e.  RR* )
80 ltletr 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
8130, 80mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
8350, 82mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  0  <  B ) )
8483impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  B )
8579, 84, 60syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( B x e 
+oo )  =  +oo )
8678, 85breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A x e  +oo )  <_ 
( B x e 
+oo )  <->  +oo  <_  +oo )
)
8774, 86mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A x e 
+oo )  <_  ( B x e  +oo )
)
8887expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  ( A x e 
+oo )  <_  ( B x e  +oo )
) )
8944, 72, 883jaod 1248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  < 
A )  ->  ( A x e  +oo )  <_  ( B x e 
+oo ) ) )
9032, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A x e 
+oo )  <_  ( B x e  +oo )
)
91 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  +oo  ->  ( A x e C )  =  ( A x e  +oo ) )
92 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  +oo  ->  ( B x e C )  =  ( B x e  +oo ) )
9391, 92breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  +oo  ->  (
( A x e C )  <_  ( B x e C )  <-> 
( A x e 
+oo )  <_  ( B x e  +oo )
) )
9490, 93syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  =  +oo  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) )
95 nltmnf 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  RR*  ->  -.  0  <  -oo )
961, 95ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  <  -oo
97 breq2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  =  -oo  ->  (
0  <  C  <->  0  <  -oo ) )
9896, 97mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  =  -oo  ->  -.  0  <  C )
9998con2i 114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  <  C  ->  -.  C  =  -oo )
10099ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  C  =  -oo )
101100adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  -.  C  =  -oo )
102101pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  =  -oo  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) )
10328, 94, 1023jaod 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( C  e.  RR  \/  C  = 
+oo  \/  C  =  -oo )  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) )
10414, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A x e C )  <_  ( B x e C ) )
105104anassrs 630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
106 xmulcl 10808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A x e C )  e.  RR* )
107106adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A x e C )  e.  RR* )
108107ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  +oo )  ->  ( A x e C )  e. 
RR* )
109 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A x e C )  e.  RR*  ->  ( A x e C )  <_  +oo )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  +oo )  ->  ( A x e C )  <_  +oo )
111 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  +oo  ->  ( B x e C )  =  (  +oo x e C ) )
112 xmulpnf2 10810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  (  +oo x e C )  =  +oo )
113112ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  (  +oo x e C )  =  +oo )
114111, 113sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  +oo )  ->  ( B x e C )  = 
+oo )
115110, 114breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  +oo )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
116115adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  =  +oo )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
117 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  A  <_  B
)
118 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  B  =  -oo )
1195adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  A  e.  RR* )
120 mnfle 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR*  ->  -oo  <_  A )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  -oo  <_  A )
122118, 121eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  B  <_  A
)
123 xrletri3 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
124123ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
125117, 122, 124mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  A  =  B )
126125oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  ( A x e C )  =  ( B x e C ) )
127 xmulcl 10808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B x e C )  e.  RR* )
128127adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B x e C )  e.  RR* )
129128ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  ( B x e C )  e. 
RR* )
130 xrleid 10699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B x e C )  e.  RR*  ->  ( B x e C )  <_  ( B x e C ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  ( B x e C )  <_ 
( B x e C ) )
132126, 131eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  =  -oo )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
133132adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  =  -oo )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
134105, 116, 1333jaodan 1250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = 
+oo  \/  B  =  -oo ) )  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) )
13511, 134mpdan 650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
136 simplrr 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  A  <_  B
)
1378adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  B  e.  RR* )
138 pnfge 10683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_  +oo )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  B  <_  +oo )
140 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  A  =  +oo )
141139, 140breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  B  <_  A
)
142123ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
143136, 141, 142mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  A  =  B )
144143oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( A x e C )  =  ( B x e C ) )
145128, 130syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B x e C )  <_  ( B x e C ) )
146145ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( B x e C )  <_ 
( B x e C ) )
147144, 146eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  +oo )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
148 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A x e C )  =  (  -oo x e C ) )
149 xmulmnf2 10812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  (  -oo x e C )  =  -oo )
150149ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  (  -oo x e C )  =  -oo )
151148, 150sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  -oo )  ->  ( A x e C )  = 
-oo )
152128ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  -oo )  ->  ( B x e C )  e. 
RR* )
153 mnfle 10685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B x e C )  e.  RR*  ->  -oo 
<_  ( B x e C ) )
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  -oo )  ->  -oo  <_  ( B x e C ) )
155151, 154eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  =  -oo )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
156135, 147, 1553jaodan 1250 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  \/  A  = 
+oo  \/  A  =  -oo ) )  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) )
1577, 156mpdan 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) )
158157exp32 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) ) )
159 xmul01 10802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A x e 0 )  =  0 )
160159ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A x e 0 )  =  0 )
161 xmul01 10802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B x e 0 )  =  0 )
162161ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B x e 0 )  =  0 )
163160, 162breq12d 4185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( A x e 0 )  <_ 
( B x e 0 )  <->  0  <_  0 ) )
16464, 163mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A x e 0 )  <_  ( B x e 0 ) )
165 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( A x e 0 )  =  ( A x e C ) )
166 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( B x e 0 )  =  ( B x e C ) )
167165, 166breq12d 4185 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  C  ->  (
( A x e 0 )  <_  ( B x e 0 )  <-> 
( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) )
168164, 167syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) ) )
169168a1dd 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A x e C )  <_ 
( B x e C ) ) ) )
170158, 169jaod 370 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( 0  < 
C  \/  0  =  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) ) )
1714, 170sylbid 207 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) ) )
172171expimpd 587 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) ) )
1731723impia 1150 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A x e C )  <_  ( B x e C ) ) )
174173imp 419 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A x e C )  <_  ( B x e C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   x ecxmu 10665
This theorem is referenced by:  xlemul2a  10824  xlemul1  10825  nmoi2  18717  esumcst  24408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-xneg 10666  df-xmul 10668
  Copyright terms: Public domain W3C validator