MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1a Structured version   Unicode version

Theorem xlemul1a 11481
Description: Extended real version of lemul1a 10397. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 9641 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  C  e.  RR* )
3 xrleloe 11351 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (
0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C )
) )
5 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR* )
6 elxr 11326 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
75, 6sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
9 elxr 11326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR* )
13 elxr 11326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  RR*  <->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
1412, 13sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
15 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
16 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
17 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
18 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR )
19 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
0  <  C )
20 lemul1 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2116, 17, 18, 19, 20syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2215, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )
23 rexmul 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A xe C )  =  ( A  x.  C ) )
2416, 18, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  =  ( A  x.  C ) )
25 rexmul 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B xe C )  =  ( B  x.  C ) )
2617, 18, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( B xe C )  =  ( B  x.  C ) )
2722, 24, 263brtr4d 4477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
2827expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
30 0re 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
31 lttri4 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
335adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR* )
34 xmulpnf1n 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  ( A xe +oo )  = -oo )
3533, 34sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A xe +oo )  = -oo )
368adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR* )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  RR* )
38 pnfxr 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- +oo  e.  RR*
39 xmulcl 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B xe +oo )  e.  RR* )
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( B xe +oo )  e.  RR* )
41 mnfle 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B xe +oo )  e.  RR*  -> -oo  <_  ( B xe +oo ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> -oo  <_  ( B xe +oo ) )
4335, 42eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
45 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  =  ( 0 xe +oo ) )
46 xmul02 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  ( 0 xe +oo )  =  0 )
4738, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 xe +oo )  =  0
4845, 47syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  =  0 )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A xe +oo )  =  0 )
50 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
51 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  =  0  ->  ( A  <_  B  <->  0  <_  B ) )
5250, 51syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  0  <_  B
) )
53 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
54 leloe 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5530, 53, 54sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5652, 55sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) )
58 pnfge 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
591, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <_ +oo
60 xmulpnf1 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( B xe +oo )  = +oo )
6136, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
( B xe +oo )  = +oo )
6259, 61syl5breqr 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
0  <_  ( B xe +oo )
)
63 xrleid 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ 
0 )
641, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  0
6564, 47breqtrri 4472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <_  ( 0 xe +oo )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  =  B )
6766oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  ( 0 xe +oo )  =  ( B xe +oo ) )
6865, 67syl5breq 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  <_  ( B xe +oo )
)
6962, 68jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  ( 0  <  B  \/  0  =  B
) )  ->  0  <_  ( B xe +oo ) )
7057, 69syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( B xe +oo )
)
7149, 70eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo ) ) )
73 pnfge 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
7438, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- +oo  <_ +oo
755adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  RR* )
76 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  A )
77 xmulpnf1 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  ( A xe +oo )  = +oo )
7875, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A xe +oo )  = +oo )
798adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  B  e.  RR* )
80 ltletr 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
8130, 80mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
8350, 82mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  0  <  B ) )
8483impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  B )
8579, 84, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( B xe +oo )  = +oo )
8678, 85breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo )  <-> +oo  <_ +oo )
)
8774, 86mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
8887expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
8944, 72, 883jaod 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  < 
A )  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo ) ) )
9032, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
91 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  = +oo  ->  ( A xe C )  =  ( A xe +oo ) )
92 oveq2 6293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  = +oo  ->  ( B xe C )  =  ( B xe +oo ) )
9391, 92breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  = +oo  ->  (
( A xe C )  <_  ( B xe C )  <-> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
9490, 93syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  = +oo  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
95 nltmnf 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  RR*  ->  -.  0  < -oo )
961, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  < -oo
97 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  = -oo  ->  (
0  <  C  <->  0  < -oo ) )
9896, 97mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  = -oo  ->  -.  0  <  C )
9998con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  <  C  ->  -.  C  = -oo )
10099ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  C  = -oo )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  -.  C  = -oo )
102101pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  = -oo  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
10328, 94, 1023jaod 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
10414, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
105104anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
106 xmulcl 11466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  e. 
RR* )
109 pnfge 11340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A xe C )  e.  RR*  ->  ( A xe C )  <_ +oo )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ +oo )
111 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  = +oo  ->  ( B xe C )  =  ( +oo xe C ) )
112 xmulpnf2 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  ( +oo xe C )  = +oo )
113112ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( +oo xe C )  = +oo )
114111, 113sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( B xe C )  = +oo )
115110, 114breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
116115adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
117 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  <_  B
)
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  B  = -oo )
1195adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
120 mnfle 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  -> -oo  <_  A )
122118, 121eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  B  <_  A
)
123 xrletri3 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
124123ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
125117, 122, 124mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  =  B )
126125oveq1d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  =  ( B xe C ) )
127 xmulcl 11466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  e.  RR* )
128127adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  e.  RR* )
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( B xe C )  e. 
RR* )
130 xrleid 11357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B xe C )  e.  RR*  ->  ( B xe C )  <_  ( B xe C ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( B xe C )  <_ 
( B xe C ) )
132126, 131eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
133132adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
134105, 116, 1333jaodan 1294 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
13511, 134mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
136 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  <_  B
)
1378adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
138 pnfge 11340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  <_ +oo )
140 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
141139, 140breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  <_  A
)
142123ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
143136, 141, 142mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  =  B )
144143oveq1d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe C )  =  ( B xe C ) )
145128, 130syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  <_  ( B xe C ) )
146145ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( B xe C )  <_ 
( B xe C ) )
147144, 146eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
148 oveq1 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe C )  =  ( -oo xe C ) )
149 xmulmnf2 11470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  ( -oo xe C )  = -oo )
150149ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( -oo xe C )  = -oo )
151148, 150sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe C )  = -oo )
152128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( B xe C )  e. 
RR* )
153 mnfle 11343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B xe C )  e.  RR*  -> -oo 
<_  ( B xe C ) )
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  ( B xe C ) )
155151, 154eqbrtrd 4467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
156135, 147, 1553jaodan 1294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
1577, 156mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
158157exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
159 xmul01 11460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
160159ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
161 xmul01 11460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B xe 0 )  =  0 )
162161ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe 0 )  =  0 )
163160, 162breq12d 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( A xe 0 )  <_ 
( B xe 0 )  <->  0  <_  0 ) )
16464, 163mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe 0 )  <_  ( B xe 0 ) )
165 oveq2 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( A xe 0 )  =  ( A xe C ) )
166 oveq2 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( B xe 0 )  =  ( B xe C ) )
167165, 166breq12d 4460 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  C  ->  (
( A xe 0 )  <_  ( B xe 0 )  <-> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
168164, 167syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) ) )
169168a1dd 46 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) ) ) )
170158, 169jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( 0  < 
C  \/  0  =  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
1714, 170sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
172171expimpd 603 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
1731723impia 1193 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
174173imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493    x. cmul 9498   +oocpnf 9626   -oocmnf 9627   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   xecxmu 11318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-xneg 11319  df-xmul 11321
This theorem is referenced by:  xlemul2a  11482  xlemul1  11483  nmoi2  21064  esumcst  27822
  Copyright terms: Public domain W3C validator