MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xlemul1a 11599
Description: Extended real version of lemul1a 10481. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 9705 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
2 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  C  e.  RR* )
3 xrleloe 11466 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (
0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) ) )
41, 2, 3sylancr 676 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C )
) )
5 simpllr 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR* )
6 elxr 11439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  RR*  <->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
75, 6sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
8 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
9 simprll 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
10 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
11 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR )
12 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
0  <  C )
13 lemul1 10479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
149, 10, 11, 12, 13syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
158, 14mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )
16 rexmul 11582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A xe C )  =  ( A  x.  C ) )
179, 11, 16syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  =  ( A  x.  C ) )
18 rexmul 11582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B xe C )  =  ( B  x.  C ) )
1910, 11, 18syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( B xe C )  =  ( B  x.  C ) )
2015, 17, 193brtr4d 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
2120expr 626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
22 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
23 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
24 lttri4 9736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
2522, 23, 24sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
26 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR* )
2726adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR* )
28 xmulpnf1n 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  ( A xe +oo )  = -oo )
2927, 28sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A xe +oo )  = -oo )
30 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR* )
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  RR* )
33 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- +oo  e.  RR*
34 xmulcl 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B xe +oo )  e.  RR* )
3532, 33, 34sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( B xe +oo )  e.  RR* )
36 mnfle 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B xe +oo )  e.  RR*  -> -oo  <_  ( B xe +oo ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> -oo  <_  ( B xe +oo ) )
3829, 37eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
3938ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
40 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  =  ( 0 xe +oo ) )
41 xmul02 11579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  ( 0 xe +oo )  =  0 )
4233, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0 xe +oo )  =  0
4340, 42syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  =  0 )
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A xe +oo )  =  0 )
45 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
46 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  0  ->  ( A  <_  B  <->  0  <_  B ) )
4745, 46syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  0  <_  B
) )
48 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
49 leloe 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5023, 48, 49sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5147, 50sylibd 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) ) )
5251imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) )
53 pnfge 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
541, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_ +oo
55 xmulpnf1 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( B xe +oo )  = +oo )
5631, 55sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
( B xe +oo )  = +oo )
5754, 56syl5breqr 4432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
0  <_  ( B xe +oo )
)
58 xrleid 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ 
0 )
591, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  0
6059, 42breqtrri 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  <_  ( 0 xe +oo )
61 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  =  B )
6261oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  ( 0 xe +oo )  =  ( B xe +oo ) )
6360, 62syl5breq 4431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  <_  ( B xe +oo )
)
6457, 63jaodan 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  ( 0  <  B  \/  0  =  B
) )  ->  0  <_  ( B xe +oo ) )
6552, 64syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( B xe +oo )
)
6644, 65eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo ) )
6766ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo ) ) )
68 pnfge 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
6933, 68ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  <_ +oo
7026adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  RR* )
71 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  A )
72 xmulpnf1 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  ( A xe +oo )  = +oo )
7370, 71, 72syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A xe +oo )  = +oo )
7430adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  B  e.  RR* )
75 ltletr 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
7623, 75mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
7776adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
7845, 77mpan2d 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  0  <  B ) )
7978impr 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  B )
8074, 79, 55syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( B xe +oo )  = +oo )
8173, 80breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo )  <-> +oo  <_ +oo )
)
8269, 81mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
8382expr 626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
8439, 67, 833jaod 1358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  < 
A )  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo ) ) )
8525, 84mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
86 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  = +oo  ->  ( A xe C )  =  ( A xe +oo ) )
87 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  = +oo  ->  ( B xe C )  =  ( B xe +oo ) )
8886, 87breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  = +oo  ->  (
( A xe C )  <_  ( B xe C )  <-> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
8985, 88syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  = +oo  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
90 nltmnf 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  RR*  ->  -.  0  < -oo )
911, 90ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  0  < -oo
92 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  = -oo  ->  (
0  <  C  <->  0  < -oo ) )
9391, 92mtbiri 310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  = -oo  ->  -.  0  <  C )
9493con2i 124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  <  C  ->  -.  C  = -oo )
9594ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  C  = -oo )
9695adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  -.  C  = -oo )
9796pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  = -oo  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
9821, 89, 973jaod 1358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
997, 98mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
10099anassrs 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
101 xmulcl 11584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
102101adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
103102ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  e. 
RR* )
104 pnfge 11455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A xe C )  e.  RR*  ->  ( A xe C )  <_ +oo )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ +oo )
106 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  = +oo  ->  ( B xe C )  =  ( +oo xe C ) )
107 xmulpnf2 11586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  ( +oo xe C )  = +oo )
108107ad2ant2lr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( +oo xe C )  = +oo )
109106, 108sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( B xe C )  = +oo )
110105, 109breqtrrd 4422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
111110adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
112 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  <_  B
)
113 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  B  = -oo )
11426adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
115 mnfle 11458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  -> -oo  <_  A )
117113, 116eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  B  <_  A
)
118 xrletri3 11474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
119118ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
120112, 117, 119mpbir2and 936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  =  B )
121120oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  =  ( B xe C ) )
122 xmulcl 11584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  e.  RR* )
123122adantll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  e.  RR* )
124123ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( B xe C )  e. 
RR* )
125 xrleid 11472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B xe C )  e.  RR*  ->  ( B xe C )  <_  ( B xe C ) )
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( B xe C )  <_ 
( B xe C ) )
127121, 126eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
128127adantlr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
129 elxr 11439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
13030, 129sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
131130adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
132100, 111, 128, 131mpjao3dan 1361 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
133 simplrr 779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  <_  B
)
13430adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
135 pnfge 11455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
136134, 135syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  <_ +oo )
137 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
138136, 137breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  <_  A
)
139118ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
140133, 138, 139mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  =  B )
141140oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe C )  =  ( B xe C ) )
142123, 125syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  <_  ( B xe C ) )
143142ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( B xe C )  <_ 
( B xe C ) )
144141, 143eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
145 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe C )  =  ( -oo xe C ) )
146 xmulmnf2 11588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  ( -oo xe C )  = -oo )
147146ad2ant2lr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( -oo xe C )  = -oo )
148145, 147sylan9eqr 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe C )  = -oo )
149123ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( B xe C )  e. 
RR* )
150 mnfle 11458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B xe C )  e.  RR*  -> -oo 
<_  ( B xe C ) )
151149, 150syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  ( B xe C ) )
152148, 151eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
153 elxr 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
15426, 153sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
155132, 144, 152, 154mpjao3dan 1361 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
156155exp32 616 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
157 xmul01 11578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
158157ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
159 xmul01 11578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B xe 0 )  =  0 )
160159ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe 0 )  =  0 )
161158, 160breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( A xe 0 )  <_ 
( B xe 0 )  <->  0  <_  0 ) )
16259, 161mpbiri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe 0 )  <_  ( B xe 0 ) )
163 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( A xe 0 )  =  ( A xe C ) )
164 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( B xe 0 )  =  ( B xe C ) )
165163, 164breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  C  ->  (
( A xe 0 )  <_  ( B xe 0 )  <-> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
166162, 165syl5ibcom 228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) ) )
167166a1dd 46 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) ) ) )
168156, 167jaod 387 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( 0  < 
C  \/  0  =  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
1694, 168sylbid 223 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
170169expimpd 614 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
1711703impia 1228 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
172171imp 436 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   -oocmnf 9691   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   xecxmu 11431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-xneg 11432  df-xmul 11434
This theorem is referenced by:  xlemul2a  11600  xlemul1  11601  nmoi2  21813  nmoi2OLD  21829  esumcst  28958
  Copyright terms: Public domain W3C validator