MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlemul1a Structured version   Unicode version

Theorem xlemul1a 11272
Description: Extended real version of lemul1a 10204. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xlemul1a  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )

Proof of Theorem xlemul1a
StepHypRef Expression
1 0xr 9451 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
2 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  C  e.  RR* )
3 xrleloe 11142 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  (
0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C )
) )
5 simplll 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  A  e.  RR* )
6 elxr 11117 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
75, 6sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
9 elxr 11117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
12 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR* )
13 elxr 11117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  RR*  <->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
1412, 13sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
15 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
16 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
17 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
18 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  ->  C  e.  RR )
19 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
0  <  C )
20 lemul1 10202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2116, 17, 18, 19, 20syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C ) ) )
2215, 21mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  <_  ( B  x.  C ) )
23 rexmul 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A xe C )  =  ( A  x.  C ) )
2416, 18, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  =  ( A  x.  C ) )
25 rexmul 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B xe C )  =  ( B  x.  C ) )
2617, 18, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( B xe C )  =  ( B  x.  C ) )
2722, 24, 263brtr4d 4343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  C  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
2827expr 615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  e.  RR  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR )
30 0re 9407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
31 lttri4 9480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  <  A ) )
335adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  e.  RR* )
34 xmulpnf1n 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <  0 )  ->  ( A xe +oo )  = -oo )
3533, 34sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A xe +oo )  = -oo )
368adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR* )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  ->  B  e.  RR* )
38 pnfxr 11113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |- +oo  e.  RR*
39 xmulcl 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( B xe +oo )  e.  RR* )
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( B xe +oo )  e.  RR* )
41 mnfle 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B xe +oo )  e.  RR*  -> -oo  <_  ( B xe +oo ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> -oo  <_  ( B xe +oo ) )
4335, 42eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  <  0 )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  <  0  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
45 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  =  ( 0 xe +oo ) )
46 xmul02 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +oo  e.  RR*  ->  ( 0 xe +oo )  =  0 )
4738, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 xe +oo )  =  0
4845, 47syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  =  0 )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A xe +oo )  =  0 )
50 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  A  <_  B )
51 breq1 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  =  0  ->  ( A  <_  B  <->  0  <_  B ) )
5250, 51syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  0  <_  B
) )
53 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  B  e.  RR )
54 leloe 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5530, 53, 54sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <_  B  <->  ( 0  <  B  \/  0  =  B )
) )
5652, 55sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) ) )
5756imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( 0  < 
B  \/  0  =  B ) )
58 pnfge 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ +oo )
591, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <_ +oo
60 xmulpnf1 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <  B )  ->  ( B xe +oo )  = +oo )
6136, 60sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
( B xe +oo )  = +oo )
6259, 61syl5breqr 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  <  B )  -> 
0  <_  ( B xe +oo )
)
63 xrleid 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  RR*  ->  0  <_ 
0 )
641, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  <_  0
6564, 47breqtrri 4338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  <_  ( 0 xe +oo )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  =  B )
6766oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  ( 0 xe +oo )  =  ( B xe +oo ) )
6865, 67syl5breq 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  0  =  B )  ->  0  <_  ( B xe +oo )
)
6962, 68jaodan 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  ( 0  <  B  \/  0  =  B
) )  ->  0  <_  ( B xe +oo ) )
7057, 69syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  0  <_  ( B xe +oo )
)
7149, 70eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  /\  A  =  0 )  ->  ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A  =  0  ->  ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo ) ) )
73 pnfge 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +oo  e.  RR*  -> +oo  <_ +oo )
7438, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |- +oo  <_ +oo
755adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  A  e.  RR* )
76 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  A )
77 xmulpnf1 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <  A )  ->  ( A xe +oo )  = +oo )
7875, 76, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A xe +oo )  = +oo )
798adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  ->  B  e.  RR* )
80 ltletr 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <  A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B
) )
8130, 80mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( 0  < 
A  /\  A  <_  B )  ->  0  <  B ) )
8350, 82mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  0  <  B ) )
8483impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
0  <  B )
8579, 84, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( B xe +oo )  = +oo )
8678, 85breq12d 4326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( ( A xe +oo )  <_ 
( B xe +oo )  <-> +oo  <_ +oo )
)
8774, 86mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  0  <  A ) )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
8887expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( 0  <  A  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
8944, 72, 883jaod 1282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( A  <  0  \/  A  =  0  \/  0  < 
A )  ->  ( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo ) ) )
9032, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
)
91 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  = +oo  ->  ( A xe C )  =  ( A xe +oo ) )
92 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  = +oo  ->  ( B xe C )  =  ( B xe +oo ) )
9391, 92breq12d 4326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  = +oo  ->  (
( A xe C )  <_  ( B xe C )  <-> 
( A xe +oo )  <_  ( B xe +oo )
) )
9490, 93syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  = +oo  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
95 nltmnf 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  e.  RR*  ->  -.  0  < -oo )
961, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  < -oo
97 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  = -oo  ->  (
0  <  C  <->  0  < -oo ) )
9896, 97mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  = -oo  ->  -.  0  <  C )
9998con2i 120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  <  C  ->  -.  C  = -oo )
10099ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  -.  C  = -oo )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  -.  C  = -oo )
102101pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( C  = -oo  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
10328, 94, 1023jaod 1282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
10414, 103mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
105104anassrs 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
106 xmulcl 11257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
107106adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe C )  e.  RR* )
108107ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  e. 
RR* )
109 pnfge 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A xe C )  e.  RR*  ->  ( A xe C )  <_ +oo )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ +oo )
111 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  = +oo  ->  ( B xe C )  =  ( +oo xe C ) )
112 xmulpnf2 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  ( +oo xe C )  = +oo )
113112ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( +oo xe C )  = +oo )
114111, 113sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( B xe C )  = +oo )
115110, 114breqtrrd 4339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
116115adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
117 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  <_  B
)
118 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  B  = -oo )
1195adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  e.  RR* )
120 mnfle 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  -> -oo  <_  A )
122118, 121eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  B  <_  A
)
123 xrletri3 11150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
124123ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
125117, 122, 124mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  A  =  B )
126125oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  =  ( B xe C ) )
127 xmulcl 11257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  e.  RR* )
128127adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  e.  RR* )
129128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( B xe C )  e. 
RR* )
130 xrleid 11148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B xe C )  e.  RR*  ->  ( B xe C )  <_  ( B xe C ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( B xe C )  <_ 
( B xe C ) )
132126, 131eqbrtrd 4333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
133132adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  B  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
134105, 116, 1333jaodan 1284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
13511, 134mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
136 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  <_  B
)
1378adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
138 pnfge 11131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  <_ +oo )
140 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
141139, 140breqtrrd 4339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  B  <_  A
)
142123ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
143136, 141, 142mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  A  =  B )
144143oveq1d 6127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe C )  =  ( B xe C ) )
145128, 130syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe C )  <_  ( B xe C ) )
146145ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( B xe C )  <_ 
( B xe C ) )
147144, 146eqbrtrd 4333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = +oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
148 oveq1 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  = -oo  ->  ( A xe C )  =  ( -oo xe C ) )
149 xmulmnf2 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  0  <  C )  ->  ( -oo xe C )  = -oo )
150149ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( -oo xe C )  = -oo )
151148, 150sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe C )  = -oo )
152128ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( B xe C )  e. 
RR* )
153 mnfle 11134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B xe C )  e.  RR*  -> -oo 
<_  ( B xe C ) )
154152, 153syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  ( B xe C ) )
155151, 154eqbrtrd 4333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  A  = -oo )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
156135, 147, 1553jaodan 1284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  /\  C  e.  RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  /\  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
1577, 156mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e. 
RR* )  /\  (
0  <  C  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) )
158157exp32 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
159 xmul01 11251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
160159ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe 0 )  =  0 )
161 xmul01 11251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR*  ->  ( B xe 0 )  =  0 )
162161ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B xe 0 )  =  0 )
163160, 162breq12d 4326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( A xe 0 )  <_ 
( B xe 0 )  <->  0  <_  0 ) )
16464, 163mpbiri 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A xe 0 )  <_  ( B xe 0 ) )
165 oveq2 6120 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( A xe 0 )  =  ( A xe C ) )
166 oveq2 6120 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  C  ->  ( B xe 0 )  =  ( B xe C ) )
167165, 166breq12d 4326 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =  C  ->  (
( A xe 0 )  <_  ( B xe 0 )  <-> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
168164, 167syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) ) )
169168a1dd 46 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  =  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_ 
( B xe C ) ) ) )
170158, 169jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( ( 0  < 
C  \/  0  =  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
1714, 170sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  C  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  C  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
172171expimpd 603 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( C  e.  RR*  /\  0  <_  C )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) ) )
1731723impia 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  -> 
( A  <_  B  ->  ( A xe C )  <_  ( B xe C ) ) )
174173imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <_  C ) )  /\  A  <_  B )  -> 
( A xe C )  <_  ( B xe C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308   +oocpnf 9436   -oocmnf 9437   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   xecxmu 11109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-xneg 11110  df-xmul 11112
This theorem is referenced by:  xlemul2a  11273  xlemul1  11274  nmoi2  20331  esumcst  26536
  Copyright terms: Public domain W3C validator