MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Unicode version

Theorem xlebnum 20559
Description: Generalize lebnum 20558 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xlebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
xlebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
xlebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
xlebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
xlebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    ph, u, x    U, d, u, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( d)    J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  =  ( MetOpen `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )
2 xlebnum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 1rp 11016 . . . 4  |-  1  e.  RR+
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )  =  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )
54stdbdmet 20113 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
62, 3, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
7 rpxr 11019 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
83, 7mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
9 0lt1 9883 . . . . . 6  |-  0  <  1
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
11 xlebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
124, 11stdbdmopn 20115 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
132, 8, 10, 12syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
14 xlebnum.c . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1513, 14eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  e.  Comp )
16 xlebnum.s . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1716, 13sseqtrd 3413 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
18 xlebnum.u . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 20558 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u )
20 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
21 ifcl 3852 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
2220, 3, 21sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  if (
r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR+ )
232ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
243, 7mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
259a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  0  <  1 )
26 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2722adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
28 rpxr 11019 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
30 rpre 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR )
32 1re 9406 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
33 min2 11182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  1
)
3431, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  1 )
354stdbdbl 20114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  1  e.  RR* 
/\  0  <  1
)  /\  ( x  e.  X  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR*  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  <_  1 ) )  ->  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
376ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
38 metxmet 19931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X
) )
40 rpxr 11019 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
42 min1 11181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  r
)
4331, 32, 42sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )
44 ssbl 20020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )  ->  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 ) )  C_  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4636, 45eqsstr3d 3412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
47 sstr2 3384 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  -> 
( ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  u
) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
4948reximdv 2848 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
5049ralimdva 2815 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
51 oveq2 6120 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( x ( ball `  D ) d )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
5251sseq1d 3404 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5352rexbidv 2757 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5453ralbidv 2756 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5554rspcev 3094 . . . 4  |-  ( ( if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
5622, 50, 55syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5756rexlimdva 2862 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5819, 57mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   ifcif 3812   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   RR+crp 11012   *Metcxmt 17823   Metcme 17824   ballcbl 17825   MetOpencmopn 17828   Compccmp 19011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-ec 7124  df-map 7237  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator