Theorem xlebnum 22008

Description: Generalize lebnum 22007 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
xlebnum.d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
xlebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
xlebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
xlebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )

Assertion

Ref	Expression
xlebnum	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   u, d, x, D   ph, u, x   U, d, u, x   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( d)   J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2453	. . 3 |- ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) )
2		xlebnum.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		1rp 11313	. . . 4 |- 1 e. RR+
4		eqid 2453	. . . . 5 |- ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) = ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) )
5	4	stdbdmet 21543	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
6	2, 3, 5	sylancl 669	. . 3 |- ( ph -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
7		rpxr 11316	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
8	3, 7	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR* )
9		0lt1 10143	. . . . . 6 |- 0 < 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < 1 )
11		xlebnum.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
12	4, 11	stdbdmopn 21545	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1269	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
14		xlebnum.c	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
15	13, 14	eqeltrrd 2532	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) e. Comp )
16		xlebnum.s	. . . 4 |- ( ph -> U C_ J )
17	16, 13	sseqtrd 3470	. . 3 |- ( ph -> U C_ ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
18		xlebnum.u	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
19	1, 6, 15, 17, 18	lebnum 22007	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u )
20		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
21		ifcl 3925	. . . . 5 |- ( ( r e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
22	20, 3, 21	sylancl 669	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
23	2	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
24	3, 7	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR* )
25	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 0 < 1 )
26		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> x e. X )
27	22	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
28		rpxr 11316	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
30		rpre 11315	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
31	30	ad2antlr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR )
32		1re 9647	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
33		min2 11491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
34	31, 32, 33	sylancl 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
35	4	stdbdbl 21544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) /\ ( x e. X /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 ) ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
36	23, 24, 25, 26, 29, 34, 35	syl33anc 1284	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
37	6	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
38		metxmet 21361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
40		rpxr 11316	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
41	40	ad2antlr 734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR* )
42		min1 11490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
43	31, 32, 42	sylancl 669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
44		ssbl 21450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ r e. RR* ) /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
45	39, 26, 29, 41, 43, 44	syl221anc 1280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
46	36, 45	eqsstr3d 3469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
47		sstr2 3441	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
49	48	reximdv 2863	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
50	49	ralimdva 2798	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
51		oveq2 6303	. . . . . . . 8 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
52	51	sseq1d 3461	. . . . . . 7 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
53	52	rexbidv 2903	. . . . . 6 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
54	53	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
55	54	rspcev 3152	. . . 4 |- ( ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
56	22, 50, 55	syl6an 548	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
57	56	rexlimdva 2881	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
58	19, 57	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   C_ wss 3406   ifcif 3883   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   RR*cxr 9679   < clt 9680   <_ cle 9681   RR+crp 11309   *Metcxmt 18967   Metcme 18968   ballcbl 18969   MetOpencmopn 18972   Compccmp 20413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349

This theorem is referenced by: (None)