Theorem xlebnum 21649

Description: Generalize lebnum 21648 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
xlebnum.d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
xlebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
xlebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
xlebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )

Assertion

Ref	Expression
xlebnum	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   u, d, x, D   ph, u, x   U, d, u, x   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( d)   J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2402	. . 3 |- ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) )
2		xlebnum.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		1rp 11187	. . . 4 |- 1 e. RR+
4		eqid 2402	. . . . 5 |- ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) = ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) )
5	4	stdbdmet 21203	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
6	2, 3, 5	sylancl 660	. . 3 |- ( ph -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
7		rpxr 11190	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
8	3, 7	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR* )
9		0lt1 10035	. . . . . 6 |- 0 < 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < 1 )
11		xlebnum.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
12	4, 11	stdbdmopn 21205	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1230	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
14		xlebnum.c	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
15	13, 14	eqeltrrd 2491	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) e. Comp )
16		xlebnum.s	. . . 4 |- ( ph -> U C_ J )
17	16, 13	sseqtrd 3477	. . 3 |- ( ph -> U C_ ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
18		xlebnum.u	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
19	1, 6, 15, 17, 18	lebnum 21648	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u )
20		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
21		ifcl 3926	. . . . 5 |- ( ( r e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
22	20, 3, 21	sylancl 660	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
23	2	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
24	3, 7	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR* )
25	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 0 < 1 )
26		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> x e. X )
27	22	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
28		rpxr 11190	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
30		rpre 11189	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
31	30	ad2antlr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR )
32		1re 9545	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
33		min2 11361	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
34	31, 32, 33	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
35	4	stdbdbl 21204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) /\ ( x e. X /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 ) ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
36	23, 24, 25, 26, 29, 34, 35	syl33anc 1245	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
37	6	ad2antrr 724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
38		metxmet 21021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
40		rpxr 11190	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
41	40	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR* )
42		min1 11360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
43	31, 32, 42	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
44		ssbl 21110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ r e. RR* ) /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
45	39, 26, 29, 41, 43, 44	syl221anc 1241	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
46	36, 45	eqsstr3d 3476	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
47		sstr2 3448	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
49	48	reximdv 2877	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
50	49	ralimdva 2811	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
51		oveq2 6242	. . . . . . . 8 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
52	51	sseq1d 3468	. . . . . . 7 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
53	52	rexbidv 2917	. . . . . 6 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
54	53	ralbidv 2842	. . . . 5 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
55	54	rspcev 3159	. . . 4 |- ( ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
56	22, 50, 55	syl6an 543	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
57	56	rexlimdva 2895	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
58	19, 57	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   C_ wss 3413   ifcif 3884   U.cuni 4190   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   |-> cmpt2 6236   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443   RR*cxr 9577   < clt 9578   <_ cle 9579   RR+crp 11183   *Metcxmt 18615   Metcme 18616   ballcbl 18617   MetOpencmopn 18620   Compccmp 20071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-ec 7270  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-cmp 20072  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009

This theorem is referenced by: (None)