MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Unicode version

Theorem xlebnum 21195
Description: Generalize lebnum 21194 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xlebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
xlebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
xlebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
xlebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
xlebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    ph, u, x    U, d, u, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( d)    J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  =  ( MetOpen `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )
2 xlebnum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 1rp 11215 . . . 4  |-  1  e.  RR+
4 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )  =  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )
54stdbdmet 20749 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
62, 3, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
7 rpxr 11218 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
83, 7mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
9 0lt1 10066 . . . . . 6  |-  0  <  1
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
11 xlebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
124, 11stdbdmopn 20751 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
132, 8, 10, 12syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
14 xlebnum.c . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1513, 14eqeltrrd 2551 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  e.  Comp )
16 xlebnum.s . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1716, 13sseqtrd 3535 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
18 xlebnum.u . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 21194 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u )
20 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
21 ifcl 3976 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
2220, 3, 21sylancl 662 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  if (
r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR+ )
232ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
243, 7mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
259a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  0  <  1 )
26 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2722adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
28 rpxr 11218 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
30 rpre 11217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR )
32 1re 9586 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
33 min2 11381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  1
)
3431, 32, 33sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  1 )
354stdbdbl 20750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  1  e.  RR* 
/\  0  <  1
)  /\  ( x  e.  X  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR*  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  <_  1 ) )  ->  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
376ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
38 metxmet 20567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X
) )
40 rpxr 11218 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
42 min1 11380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  r
)
4331, 32, 42sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )
44 ssbl 20656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )  ->  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 ) )  C_  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4636, 45eqsstr3d 3534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
47 sstr2 3506 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  -> 
( ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  u
) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
4948reximdv 2932 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
5049ralimdva 2867 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
51 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( x ( ball `  D ) d )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
5251sseq1d 3526 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5352rexbidv 2968 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5453ralbidv 2898 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5554rspcev 3209 . . . 4  |-  ( ( if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
5622, 50, 55syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5756rexlimdva 2950 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5819, 57mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   ifcif 3934   U.cuni 4240   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   RR*cxr 9618    < clt 9619    <_ cle 9620   RR+crp 11211   *Metcxmt 18169   Metcme 18170   ballcbl 18171   MetOpencmopn 18174   Compccmp 19647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator