MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xlebnum 22008
Description: Generalize lebnum 22007 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xlebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
xlebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
xlebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
xlebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
xlebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    ph, u, x    U, d, u, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( d)    J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2453 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  =  ( MetOpen `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )
2 xlebnum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 1rp 11313 . . . 4  |-  1  e.  RR+
4 eqid 2453 . . . . 5  |-  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )  =  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )
54stdbdmet 21543 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
62, 3, 5sylancl 669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
7 rpxr 11316 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
83, 7mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
9 0lt1 10143 . . . . . 6  |-  0  <  1
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
11 xlebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
124, 11stdbdmopn 21545 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
132, 8, 10, 12syl3anc 1269 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
14 xlebnum.c . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1513, 14eqeltrrd 2532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  e.  Comp )
16 xlebnum.s . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1716, 13sseqtrd 3470 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
18 xlebnum.u . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 22007 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u )
20 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
21 ifcl 3925 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
2220, 3, 21sylancl 669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  if (
r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR+ )
232ad2antrr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
259a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  0  <  1 )
26 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2722adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
28 rpxr 11316 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
30 rpre 11315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3130ad2antlr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR )
32 1re 9647 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
33 min2 11491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  1
)
3431, 32, 33sylancl 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  1 )
354stdbdbl 21544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  1  e.  RR* 
/\  0  <  1
)  /\  ( x  e.  X  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR*  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  <_  1 ) )  ->  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
376ad2antrr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
38 metxmet 21361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X
) )
40 rpxr 11316 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4140ad2antlr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
42 min1 11490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  r
)
4331, 32, 42sylancl 669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )
44 ssbl 21450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )  ->  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 ) )  C_  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4636, 45eqsstr3d 3469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
47 sstr2 3441 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  -> 
( ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  u
) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
4948reximdv 2863 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
5049ralimdva 2798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
51 oveq2 6303 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( x ( ball `  D ) d )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
5251sseq1d 3461 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5352rexbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5453ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5554rspcev 3152 . . . 4  |-  ( ( if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
5622, 50, 55syl6an 548 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5756rexlimdva 2881 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5819, 57mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740    C_ wss 3406   ifcif 3883   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   RR*cxr 9679    < clt 9680    <_ cle 9681   RR+crp 11309   *Metcxmt 18967   Metcme 18968   ballcbl 18969   MetOpencmopn 18972   Compccmp 20413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-rest 15333  df-topn 15334  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-topgen 15354  df-pt 15355  df-prds 15358  df-xrs 15412  df-qtop 15418  df-imas 15419  df-xps 15422  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-cnfld 18983  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-topsp 19936  df-cld 20046  df-ntr 20047  df-cls 20048  df-cn 20255  df-cnp 20256  df-cmp 20414  df-tx 20589  df-hmeo 20782  df-xms 21347  df-ms 21348  df-tms 21349
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator