MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Unicode version

Theorem xlebnum 21649
Description: Generalize lebnum 21648 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xlebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
xlebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
xlebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
xlebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
xlebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    ph, u, x    U, d, u, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( d)    J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  =  ( MetOpen `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )
2 xlebnum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 1rp 11187 . . . 4  |-  1  e.  RR+
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )  =  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )
54stdbdmet 21203 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
62, 3, 5sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
7 rpxr 11190 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
83, 7mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
9 0lt1 10035 . . . . . 6  |-  0  <  1
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
11 xlebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
124, 11stdbdmopn 21205 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
132, 8, 10, 12syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
14 xlebnum.c . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1513, 14eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  e.  Comp )
16 xlebnum.s . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1716, 13sseqtrd 3477 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
18 xlebnum.u . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 21648 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u )
20 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
21 ifcl 3926 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
2220, 3, 21sylancl 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  if (
r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR+ )
232ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
259a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  0  <  1 )
26 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2722adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
28 rpxr 11190 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
30 rpre 11189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3130ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR )
32 1re 9545 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
33 min2 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  1
)
3431, 32, 33sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  1 )
354stdbdbl 21204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  1  e.  RR* 
/\  0  <  1
)  /\  ( x  e.  X  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR*  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  <_  1 ) )  ->  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1245 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
376ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
38 metxmet 21021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X
) )
40 rpxr 11190 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4140ad2antlr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
42 min1 11360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  r
)
4331, 32, 42sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )
44 ssbl 21110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )  ->  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 ) )  C_  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4636, 45eqsstr3d 3476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
47 sstr2 3448 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  -> 
( ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  u
) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
4948reximdv 2877 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
5049ralimdva 2811 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
51 oveq2 6242 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( x ( ball `  D ) d )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
5251sseq1d 3468 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5352rexbidv 2917 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5453ralbidv 2842 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5554rspcev 3159 . . . 4  |-  ( ( if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
5622, 50, 55syl6an 543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5756rexlimdva 2895 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5819, 57mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   ifcif 3884   U.cuni 4190   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234    |-> cmpt2 6236   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443   RR*cxr 9577    < clt 9578    <_ cle 9579   RR+crp 11183   *Metcxmt 18615   Metcme 18616   ballcbl 18617   MetOpencmopn 18620   Compccmp 20071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-ec 7270  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-fi 7825  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-xneg 11289  df-xadd 11290  df-xmul 11291  df-ioo 11504  df-ico 11506  df-icc 11507  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-hom 14825  df-cco 14826  df-rest 14929  df-topn 14930  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-topgen 14950  df-pt 14951  df-prds 14954  df-xrs 15008  df-qtop 15013  df-imas 15014  df-xps 15016  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-psmet 18623  df-xmet 18624  df-met 18625  df-bl 18626  df-mopn 18627  df-cnfld 18633  df-top 19583  df-bases 19585  df-topon 19586  df-topsp 19587  df-cld 19704  df-ntr 19705  df-cls 19706  df-cn 19913  df-cnp 19914  df-cmp 20072  df-tx 20247  df-hmeo 20440  df-xms 21007  df-ms 21008  df-tms 21009
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator