Theorem xlebnum 20559

Description: Generalize lebnum 20558 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
xlebnum.d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
xlebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
xlebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
xlebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )

Assertion

Ref	Expression
xlebnum	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   u, d, x, D   ph, u, x   U, d, u, x   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( d)   J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. . 3 |- ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) )
2		xlebnum.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		1rp 11016	. . . 4 |- 1 e. RR+
4		eqid 2443	. . . . 5 |- ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) = ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) )
5	4	stdbdmet 20113	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
6	2, 3, 5	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
7		rpxr 11019	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
8	3, 7	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR* )
9		0lt1 9883	. . . . . 6 |- 0 < 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < 1 )
11		xlebnum.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
12	4, 11	stdbdmopn 20115	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
14		xlebnum.c	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
15	13, 14	eqeltrrd 2518	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) e. Comp )
16		xlebnum.s	. . . 4 |- ( ph -> U C_ J )
17	16, 13	sseqtrd 3413	. . 3 |- ( ph -> U C_ ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
18		xlebnum.u	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
19	1, 6, 15, 17, 18	lebnum 20558	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u )
20		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
21		ifcl 3852	. . . . 5 |- ( ( r e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
22	20, 3, 21	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
23	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
24	3, 7	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR* )
25	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 0 < 1 )
26		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> x e. X )
27	22	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
28		rpxr 11019	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
30		rpre 11018	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
31	30	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR )
32		1re 9406	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
33		min2 11182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
34	31, 32, 33	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
35	4	stdbdbl 20114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) /\ ( x e. X /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 ) ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
36	23, 24, 25, 26, 29, 34, 35	syl33anc 1233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
37	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
38		metxmet 19931	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
40		rpxr 11019	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR* )
42		min1 11181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
43	31, 32, 42	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
44		ssbl 20020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ r e. RR* ) /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
45	39, 26, 29, 41, 43, 44	syl221anc 1229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
46	36, 45	eqsstr3d 3412	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
47		sstr2 3384	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
49	48	reximdv 2848	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
50	49	ralimdva 2815	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
51		oveq2 6120	. . . . . . . 8 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
52	51	sseq1d 3404	. . . . . . 7 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
53	52	rexbidv 2757	. . . . . 6 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
54	53	ralbidv 2756	. . . . 5 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
55	54	rspcev 3094	. . . 4 |- ( ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
56	22, 50, 55	syl6an 545	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
57	56	rexlimdva 2862	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
58	19, 57	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3349   ifcif 3812   U.cuni 4112   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   e. cmpt2 6114   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   RR*cxr 9438   < clt 9439   <_ cle 9440   RR+crp 11012   *Metcxmt 17823   Metcme 17824   ballcbl 17825   MetOpencmopn 17828   Compccmp 19011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-ec 7124  df-map 7237  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-cmp 19012  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919

This theorem is referenced by: (None)