Theorem xlebnum 21195

Description: Generalize lebnum 21194 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlebnum.j	|- J = ( MetOpen ` D )
xlebnum.d	|- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
xlebnum.c	|- ( ph -> J e. Comp )
xlebnum.s	|- ( ph -> U C_ J )
xlebnum.u	|- ( ph -> X = U. U )

Assertion

Ref	Expression
xlebnum	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Distinct variable groups:   u, d, x, D   ph, u, x   U, d, u, x   X, d, u, x

Allowed substitution hints:   ph( d)   J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum

Dummy variables r y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2462	. . 3 |- ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) )
2		xlebnum.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
3		1rp 11215	. . . 4 |- 1 e. RR+
4		eqid 2462	. . . . 5 |- ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) = ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) )
5	4	stdbdmet 20749	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
6	2, 3, 5	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
7		rpxr 11218	. . . . . 6 |- ( 1 e. RR+ -> 1 e. RR* )
8	3, 7	mp1i 12	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR* )
9		0lt1 10066	. . . . . 6 |- 0 < 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < 1 )
11		xlebnum.j	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
12	4, 11	stdbdmopn 20751	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ph -> J = ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
14		xlebnum.c	. . . 4 |- ( ph -> J e. Comp )
15	13, 14	eqeltrrd 2551	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) e. Comp )
16		xlebnum.s	. . . 4 |- ( ph -> U C_ J )
17	16, 13	sseqtrd 3535	. . 3 |- ( ph -> U C_ ( MetOpen ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) )
18		xlebnum.u	. . 3 |- ( ph -> X = U. U )
19	1, 6, 15, 17, 18	lebnum 21194	. 2 |- ( ph -> E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u )
20		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
21		ifcl 3976	. . . . 5 |- ( ( r e. RR+ /\ 1 e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
22	20, 3, 21	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
23	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
24	3, 7	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 1 e. RR* )
25	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> 0 < 1 )
26		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> x e. X )
27	22	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ )
28		rpxr 11218	. . . . . . . . . 10 |- ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
29	27, 28	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* )
30		rpre 11217	. . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
31	30	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR )
32		1re 9586	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
33		min2 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
34	31, 32, 33	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 )
35	4	stdbdbl 20750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) /\ ( x e. X /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ 1 ) ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
36	23, 24, 25, 26, 29, 34, 35	syl33anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
37	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
38		metxmet 20567	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
39	37, 38	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) )
40		rpxr 11218	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
41	40	ad2antlr 726	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> r e. RR* )
42		min1 11380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. RR /\ 1 e. RR ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
43	31, 32, 42	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r )
44		ssbl 20656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) e. ( *Met ` X ) /\ x e. X ) /\ ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR* /\ r e. RR* ) /\ if ( r <_ 1 , r , 1 ) <_ r ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
45	39, 26, 29, 41, 43, 44	syl221anc 1234	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
46	36, 45	eqsstr3d 3534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) )
47		sstr2 3506	. . . . . . 7 |- ( ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
49	48	reximdv 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ x e. X ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
50	49	ralimdva 2867	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
51		oveq2 6285	. . . . . . . 8 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( x ( ball ` D ) d ) = ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) )
52	51	sseq1d 3526	. . . . . . 7 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
53	52	rexbidv 2968	. . . . . 6 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
54	53	ralbidv 2898	. . . . 5 |- ( d = if ( r <_ 1 , r , 1 ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u <-> A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) )
55	54	rspcev 3209	. . . 4 |- ( ( if ( r <_ 1 , r , 1 ) e. RR+ /\ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) if ( r <_ 1 , r , 1 ) ) C_ u ) -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )
56	22, 50, 55	syl6an 545	. . 3 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
57	56	rexlimdva 2950	. 2 |- ( ph -> ( E. r e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` ( y e. X , z e. X |-> if ( ( y D z ) <_ 1 , ( y D z ) , 1 ) ) ) r ) C_ u -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u ) )
58	19, 57	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. x e. X E. u e. U ( x ( ball ` D ) d ) C_ u )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2809   E.wrex 2810   C_ wss 3471   ifcif 3934   U.cuni 4240   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   |-> cmpt2 6279   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   RR*cxr 9618   < clt 9619   <_ cle 9620   RR+crp 11211   *Metcxmt 18169   Metcme 18170   ballcbl 18171   MetOpencmopn 18174   Compccmp 19647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555

This theorem is referenced by: (None)