MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Unicode version

Theorem xlebnum 20378
Description: Generalize lebnum 20377 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
xlebnum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
xlebnum.c  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
xlebnum.s  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
xlebnum.u  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
Assertion
Ref Expression
xlebnum  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Distinct variable groups:    u, d, x, D    ph, u, x    U, d, u, x    X, d, u, x
Allowed substitution hints:    ph( d)    J( x, u, d)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . 3  |-  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  =  ( MetOpen `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )
2 xlebnum.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
3 1rp 10982 . . . 4  |-  1  e.  RR+
4 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )  =  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 , 
( y D z ) ,  1 ) )
54stdbdmet 19932 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR+ )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
62, 3, 5sylancl 655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X
) )
7 rpxr 10985 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
83, 7mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
9 0lt1 9849 . . . . . 6  |-  0  <  1
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
11 xlebnum.j . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
124, 11stdbdmopn 19934 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  J  =  (
MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
132, 8, 10, 12syl3anc 1211 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
14 xlebnum.c . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
1513, 14eqeltrrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) )  e.  Comp )
16 xlebnum.s . . . 4  |-  ( ph  ->  U  C_  J )
1716, 13sseqtrd 3380 . . 3  |-  ( ph  ->  U  C_  ( MetOpen `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) )
18 xlebnum.u . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. U
)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 20377 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u )
20 simpr 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
21 ifcl 3819 . . . . 5  |-  ( ( r  e.  RR+  /\  1  e.  RR+ )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
2220, 3, 21sylancl 655 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  if (
r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR+ )
232ad2antrr 718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
243, 7mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
259a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  0  <  1 )
26 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2722adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+ )
28 rpxr 10985 . . . . . . . . . 10  |-  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR* )
30 rpre 10984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e.  RR )
3130ad2antlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR )
32 1re 9372 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
33 min2 11148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  1
)
3431, 32, 33sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  1 )
354stdbdbl 19933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  1  e.  RR* 
/\  0  <  1
)  /\  ( x  e.  X  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  e.  RR*  /\  if ( r  <_  1 , 
r ,  1 )  <_  1 ) )  ->  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  =  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
376ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X ) )
38 metxmet 19750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( Met `  X )  ->  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X ) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X
) )
40 rpxr 10985 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
4140ad2antlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  r  e.  RR* )
42 min1 11147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  <_  r
)
4331, 32, 42sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )
44 ssbl 19839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) )  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X )  /\  ( if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  <_  r )  ->  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 ) )  C_  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
4636, 45eqsstr3d 3379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r ) )
47 sstr2 3351 . . . . . . 7  |-  ( ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  -> 
( ( x (
ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) )  C_  u
) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  (
( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
4948reximdv 2817 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  x  e.  X )  ->  ( E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )
)
5049ralimdva 2784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
51 oveq2 6088 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( x ( ball `  D ) d )  =  ( x (
ball `  D ) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) )
5251sseq1d 3371 . . . . . . 7  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5352rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5453ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( d  =  if ( r  <_  1 ,  r ,  1 )  -> 
( A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x (
ball `  D )
d )  C_  u  <->  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) if ( r  <_  1 ,  r ,  1 ) ) 
C_  u ) )
5554rspcev 3062 . . . 4  |-  ( ( if ( r  <_ 
1 ,  r ,  1 )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  D ) if ( r  <_  1 , 
r ,  1 ) )  C_  u )  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
5622, 50, 55syl6an 540 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  (
y  e.  X , 
z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_  1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x
( ball `  D )
d )  C_  u
) )
5756rexlimdva 2831 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  ( x ( ball `  ( y  e.  X ,  z  e.  X  |->  if ( ( y D z )  <_ 
1 ,  ( y D z ) ,  1 ) ) ) r )  C_  u  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u ) )
5819, 57mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. x  e.  X  E. u  e.  U  (
x ( ball `  D
) d )  C_  u )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3316   ifcif 3779   U.cuni 4079   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270   RR*cxr 9404    < clt 9405    <_ cle 9406   RR+crp 10978   *Metcxmt 17644   Metcme 17645   ballcbl 17646   MetOpencmopn 17649   Compccmp 18830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-ec 7091  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-sum 13147  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator