MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xleadd1a Structured version   Unicode version

Theorem xleadd1a 11319
Description: Extended real version of leadd1 9910; note that the converse implication is not true, unlike the real version (for example  0  <  1 but  ( 1 +e +oo )  <_  ( 0 +e +oo )). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1a  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )

Proof of Theorem xleadd1a
StepHypRef Expression
1 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  C  e.  RR* )
2 elxr 11199 . . 3  |-  ( C  e.  RR*  <->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
31, 2sylib 196 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
4 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR* )
5 elxr 11199 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
64, 5sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8 simpl2 992 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR* )
9 elxr 11199 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
12 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
13 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
14 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
15 simpllr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  A  <_  B )
1612, 13, 14, 15leadd1dd 10056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  C
)  <_  ( B  +  C ) )
17 rexadd 11305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A +e
C )  =  ( A  +  C ) )
1812, 14, 17syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
C )  =  ( A  +  C ) )
19 rexadd 11305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B +e
C )  =  ( B  +  C ) )
2013, 14, 19syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( B +e
C )  =  ( B  +  C ) )
2116, 18, 203brtr4d 4422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
22 xaddcl 11310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
234, 1, 22syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e
C )  e.  RR* )
25 pnfge 11213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A +e C )  e.  RR*  ->  ( A +e C )  <_ +oo )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e
C )  <_ +oo )
27 oveq1 6199 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  = +oo  ->  ( B +e C )  =  ( +oo +e C ) )
28 rexr 9532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
29 renemnf 9535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  RR  ->  C  =/= -oo )
30 xaddpnf2 11300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= -oo )  ->  ( +oo +e C )  = +oo )
3128, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  RR  ->  ( +oo +e C )  = +oo )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( +oo +e C )  = +oo )
3327, 32sylan9eqr 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( B +e
C )  = +oo )
3426, 33breqtrrd 4418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
3523adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
36 xrleid 11230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A +e C )  e.  RR*  ->  ( A +e C )  <_  ( A +e C ) )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( A +e C ) )
38 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  A  <_  B )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  B  = -oo )
404adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  A  e. 
RR* )
41 mnfle 11216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR*  -> -oo  <_  A )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  -> -oo  <_  A )
4339, 42eqbrtrd 4412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  B  <_  A )
44 xrletri3 11232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
454, 8, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
4738, 43, 46mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  A  =  B )
4847oveq1d 6207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  =  ( B +e C ) )
4937, 48breqtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
5049adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
5121, 34, 503jaodan 1285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  /\  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
5211, 51mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
5352anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
5423adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
5554, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( A +e C ) )
56 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  A  <_  B )
57 pnfge 11213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
588, 57syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  B  <_ +oo )
5958adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  B  <_ +oo )
60 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
6159, 60breqtrrd 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  B  <_  A )
6245adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
6356, 61, 62mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  A  =  B )
6463oveq1d 6207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  =  ( B +e C ) )
6555, 64breqtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
6665adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
67 oveq1 6199 . . . . . . 7  |-  ( A  = -oo  ->  ( A +e C )  =  ( -oo +e C ) )
68 renepnf 9534 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  RR  ->  C  =/= +oo )
69 xaddmnf2 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  C  =/= +oo )  ->  ( -oo +e C )  = -oo )
7028, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR  ->  ( -oo +e C )  = -oo )
7170adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  e.  RR )  ->  ( -oo +e C )  = -oo )
7267, 71sylan9eqr 2514 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e C )  = -oo )
73 xaddcl 11310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
748, 1, 73syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
7574ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
76 mnfle 11216 . . . . . . 7  |-  ( ( B +e C )  e.  RR*  -> -oo 
<_  ( B +e
C ) )
7775, 76syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  -> -oo  <_  ( B +e C ) )
7872, 77eqbrtrd 4412 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
7953, 66, 783jaodan 1285 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  e.  RR )  /\  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )  -> 
( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
807, 79mpdan 668 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  e.  RR )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
8149adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
8223ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
8382, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( A +e C )  <_ +oo )
84 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  C  = +oo )
8584oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e C )  =  ( B +e +oo ) )
868adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = +oo )  ->  B  e. 
RR* )
87 xaddpnf1 11299 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
8886, 87sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e +oo )  = +oo )
8985, 88eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( B +e C )  = +oo )
9083, 89breqtrrd 4418 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = +oo )  /\  B  =/= -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
9181, 90pm2.61dane 2766 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
9265adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
93 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  C  = -oo )
9493oveq2d 6208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e C )  =  ( A +e -oo ) )
954adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = -oo )  ->  A  e. 
RR* )
96 xaddmnf1 11301 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
9795, 96sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e -oo )  = -oo )
9894, 97eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e C )  = -oo )
9974ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
10099, 76syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  -> -oo  <_  ( B +e C ) )
10198, 100eqbrtrd 4412 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  /\  C  = -oo )  /\  A  =/= +oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
10292, 101pm2.61dane 2766 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  C  = -oo )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
10380, 91, 1023jaodan 1285 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B
)  /\  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )  -> 
( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )
1043, 103mpdan 668 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   class class class wbr 4392  (class class class)co 6192   RRcr 9384    + caddc 9388   +oocpnf 9518   -oocmnf 9519   RR*cxr 9520    <_ cle 9522   +ecxad 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-xadd 11193
This theorem is referenced by:  xleadd2a  11320  xleadd1  11321  xaddge0  11324  xle2add  11325  imasdsf1olem  20066  xblss2ps  20094  xblss2  20095  stdbdxmet  20208  xrge0omnd  26310  measunl  26766
  Copyright terms: Public domain W3C validator