MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xleadd1 Structured version   Unicode version

Theorem xleadd1 11459
Description: Weakened version of xleadd1a 11457 under which the reverse implication is true. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )

Proof of Theorem xleadd1
StepHypRef Expression
1 rexr 9651 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  RR* )
2 xleadd1a 11457 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  A  <_  B )  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) )
32ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )
41, 3syl3an3 1263 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )
5 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR* )
613ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR* )
7 xaddcl 11448 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
9 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
10 xaddcl 11448 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
119, 6, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( B +e C )  e.  RR* )
12 xnegcl 11424 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR*  ->  -e
C  e.  RR* )
136, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  -e
C  e.  RR* )
14 xleadd1a 11457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A +e C )  e. 
RR*  /\  ( B +e C )  e.  RR*  /\  -e
C  e.  RR* )  /\  ( A +e
C )  <_  ( B +e C ) )  ->  ( ( A +e C ) +e  -e
C )  <_  (
( B +e
C ) +e  -e C ) )
1514ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( A +e
C )  e.  RR*  /\  ( B +e
C )  e.  RR*  /\  -e C  e. 
RR* )  ->  (
( A +e
C )  <_  ( B +e C )  ->  ( ( A +e C ) +e  -e
C )  <_  (
( B +e
C ) +e  -e C ) ) )
168, 11, 13, 15syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C )  <_  ( B +e C )  ->  ( ( A +e C ) +e  -e
C )  <_  (
( B +e
C ) +e  -e C ) ) )
17 xpncan 11455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C ) +e  -e C )  =  A )
18173adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C ) +e  -e C )  =  A )
19 xpncan 11455 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B +e
C ) +e  -e C )  =  B )
20193adant1 1014 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B +e
C ) +e  -e C )  =  B )
2118, 20breq12d 4466 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( ( A +e C ) +e  -e C )  <_  ( ( B +e C ) +e  -e
C )  <->  A  <_  B ) )
2216, 21sylibd 214 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A +e
C )  <_  ( B +e C )  ->  A  <_  B
) )
234, 22impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A +e C )  <_  ( B +e C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453  (class class class)co 6295   RRcr 9503   RR*cxr 9639    <_ cle 9641    -ecxne 11327   +ecxad 11328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-xneg 11330  df-xadd 11331
This theorem is referenced by:  xltadd1  11460  xsubge0  11465  xlesubadd  11467
  Copyright terms: Public domain W3C validator