MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xle2add Structured version   Unicode version

Theorem xle2add 11227
Description: Extended real version of le2add 9826. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xle2add  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D )  ->  ( A +e B )  <_  ( C +e D ) ) )

Proof of Theorem xle2add
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  A  e.  RR* )
2 simprl 755 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  C  e.  RR* )
3 simplr 754 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  B  e.  RR* )
4 xleadd1a 11221 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  A  <_  C )  ->  ( A +e B )  <_  ( C +e B ) )
54ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  ( A  <_  C  ->  ( A +e B )  <_  ( C +e B ) ) )
61, 2, 3, 5syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( A  <_  C  ->  ( A +e B )  <_  ( C +e B ) ) )
7 simprr 756 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  D  e.  RR* )
8 xleadd2a 11222 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  B  <_  D )  ->  ( C +e B )  <_  ( C +e D ) )
98ex 434 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( B  <_  D  ->  ( C +e B )  <_  ( C +e D ) ) )
103, 7, 2, 9syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( B  <_  D  ->  ( C +e B )  <_  ( C +e D ) ) )
11 xaddcl 11212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
13 xaddcl 11212 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C +e B )  e.  RR* )
142, 3, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( C +e B )  e.  RR* )
15 xaddcl 11212 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( C +e D )  e.  RR* )
1615adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( C +e D )  e.  RR* )
17 xrletr 11137 . . 3  |-  ( ( ( A +e
B )  e.  RR*  /\  ( C +e
B )  e.  RR*  /\  ( C +e
D )  e.  RR* )  ->  ( ( ( A +e B )  <_  ( C +e B )  /\  ( C +e B )  <_ 
( C +e
D ) )  -> 
( A +e
B )  <_  ( C +e D ) ) )
1812, 14, 16, 17syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( (
( A +e
B )  <_  ( C +e B )  /\  ( C +e B )  <_ 
( C +e
D ) )  -> 
( A +e
B )  <_  ( C +e D ) ) )
196, 10, 18syl2and 483 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A  <_  C  /\  B  <_  D )  ->  ( A +e B )  <_  ( C +e D ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4297  (class class class)co 6096   RR*cxr 9422    <_ cle 9424   +ecxad 11092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-xadd 11095
This theorem is referenced by:  metnrmlem3  20442  xraddge02  26055  xrofsup  26060  esumpmono  26533
  Copyright terms: Public domain W3C validator