MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkouni Structured version   Unicode version

Theorem xkouni 20226
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
Assertion
Ref Expression
xkouni  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)

Proof of Theorem xkouni
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ima0 5362 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" (/) )  =  (/)
2 0ss 3823 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. S
31, 2eqsstri 3529 . . . . . . . 8  |-  ( f
" (/) )  C_  U. S
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  f  e.  ( R  Cn  S ) )  ->  ( f " (/) )  C_  U. S )
54ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
6 rabid2 3035 . . . . . 6  |-  ( ( R  Cn  S )  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" (/) )  C_  U. S } 
<-> 
A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
75, 6sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S } )
8 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
9 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  R  e.  Top )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  S  e.  Top )
11 0ss 3823 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  U. R
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
(/)  C_  U. R )
13 rest0 19797 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/) } )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/)
} )
15 0cmp 20021 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  Comp
1614, 15syl6eqel 2553 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  e.  Comp )
17 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
1817topopn 19542 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
1918adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. S  e.  S
)
208, 9, 10, 12, 16, 19xkoopn 20216 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S }  e.  ( S  ^ko  R ) )
217, 20eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
22 xkouni.1 . . . 4  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
2321, 22syl6eleqr 2556 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  J )
24 elssuni 4281 . . 3  |-  ( ( R  Cn  S )  e.  J  ->  ( R  Cn  S )  C_  U. J )
2523, 24syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  C_  U. J )
26 eqid 2457 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }
27 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
288, 26, 27xkoval 20214 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
2928unieqd 4261 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
3022unieqi 4260 . . . 4  |-  U. J  =  U. ( S  ^ko  R )
31 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
3231pwex 4639 . . . . . . 7  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
338, 26, 27xkotf 20212 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
34 frn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  S
)
3632, 35ssexi 4601 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V
37 fiuni 7906 . . . . . 6  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  e.  _V  ->  U.
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
39 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )  e.  _V
40 unitg 19595 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )  e. 
_V  ->  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )  =  U. ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  = 
U. ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4238, 41eqtr4i 2489 . . . 4  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4329, 30, 423eqtr4g 2523 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  =  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4435a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
45 sspwuni 4421 . . . 4  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S )  <->  U. ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4644, 45sylib 196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4743, 46eqsstrd 3533 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  C_  ( R  Cn  S ) )
4825, 47eqssd 3516 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251    X. cxp 5006   ran crn 5009   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   ficfi 7888   ↾t crest 14838   topGenctg 14855   Topctop 19521    Cn ccn 19852   Compccmp 20013    ^ko cxko 20188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-xko 20190
This theorem is referenced by:  xkotopon  20227  xkohaus  20280  xkoptsub  20281
  Copyright terms: Public domain W3C validator