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Theorem xkouni 17584
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1  |-  J  =  ( S  ^ k o  R )
Assertion
Ref Expression
xkouni  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)

Proof of Theorem xkouni
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ima0 5180 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" (/) )  =  (/)
2 0ss 3616 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. S
31, 2eqsstri 3338 . . . . . . . 8  |-  ( f
" (/) )  C_  U. S
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  f  e.  ( R  Cn  S ) )  ->  ( f " (/) )  C_  U. S )
54ralrimiva 2749 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
6 rabid2 2845 . . . . . 6  |-  ( ( R  Cn  S )  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" (/) )  C_  U. S } 
<-> 
A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
75, 6sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S } )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
9 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  R  e.  Top )
10 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  S  e.  Top )
11 0ss 3616 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  U. R
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
(/)  C_  U. R )
13 rest0 17187 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/) } )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/)
} )
15 0cmp 17411 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  Comp
1614, 15syl6eqel 2492 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  e.  Comp )
17 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
1817topopn 16934 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
1918adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. S  e.  S
)
208, 9, 10, 12, 16, 19xkoopn 17574 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S }  e.  ( S  ^ k o  R ) )
217, 20eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ k o  R
) )
22 xkouni.1 . . . 4  |-  J  =  ( S  ^ k o  R )
2321, 22syl6eleqr 2495 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  J )
24 elssuni 4003 . . 3  |-  ( ( R  Cn  S )  e.  J  ->  ( R  Cn  S )  C_  U. J )
2523, 24syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  C_  U. J )
26 eqid 2404 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }
27 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
288, 26, 27xkoval 17572 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ k o  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
2928unieqd 3986 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ( S  ^ k o  R )  =  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) )
3022unieqi 3985 . . . 4  |-  U. J  =  U. ( S  ^ k o  R )
31 ovex 6065 . . . . . . . 8  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
3231pwex 4342 . . . . . . 7  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
338, 26, 27xkotf 17570 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
34 frn 5556 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
3533, 34ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  S
)
3632, 35ssexi 4308 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V
37 fiuni 7391 . . . . . 6  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  e.  _V  ->  U.
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )
3836, 37ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
39 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )  e.  _V
40 unitg 16987 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )  e. 
_V  ->  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )  =  U. ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  = 
U. ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4238, 41eqtr4i 2427 . . . 4  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4329, 30, 423eqtr4g 2461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  =  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4435a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
45 sspwuni 4136 . . . 4  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S )  <->  U. ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4644, 45sylib 189 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4743, 46eqsstrd 3342 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  C_  ( R  Cn  S ) )
4825, 47eqssd 3325 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975    X. cxp 4835   ran crn 4838   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   ficfi 7373   ↾t crest 13603   topGenctg 13620   Topctop 16913    Cn ccn 17242   Compccmp 17403    ^ k o cxko 17546
This theorem is referenced by:  xkotopon  17585  xkohaus  17638  xkoptsub  17639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-xko 17548
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