Theorem xkouni 19013

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	|- J = ( S ^ko R )

Assertion

Ref	Expression
xkouni	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Proof of Theorem xkouni

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ima0 5172	. . . . . . . . 9 |- ( f " (/) ) = (/)
2		0ss 3654	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. S
3	1, 2	eqsstri 3374	. . . . . . . 8 |- ( f " (/) ) C_ U. S
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( f " (/) ) C_ U. S )
5	4	ralrimiva 2789	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
6		rabid2 2888	. . . . . 6 |- ( ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } <-> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
7	5, 6	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } )
8		eqid 2433	. . . . . 6 |- U. R = U. R
9		simpl 454	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> R e. Top )
10		simpr 458	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
11		0ss 3654	. . . . . . 7 |- (/) C_ U. R
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> (/) C_ U. R )
13		rest0 18614	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
14	13	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
15		0cmp 18838	. . . . . . 7 |- { (/) } e. Comp
16	14, 15	syl6eqel 2521	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) e. Comp )
17		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
18	17	topopn 18360	. . . . . . 7 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
19	18	adantl 463	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. S e. S )
20	8, 9, 10, 12, 16, 19	xkoopn 19003	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } e. ( S ^ko R ) )
21	7, 20	eqeltrd 2507	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
22		xkouni.1	. . . 4 |- J = ( S ^ko R )
23	21, 22	syl6eleqr 2524	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. J )
24		elssuni 4109	. . 3 |- ( ( R Cn S ) e. J -> ( R Cn S ) C_ U. J )
25	23, 24	syl 16	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ U. J )
26		eqid 2433	. . . . . 6 |- { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp }
27		eqid 2433	. . . . . 6 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
28	8, 26, 27	xkoval 19001	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
29	28	unieqd 4089	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
30	22	unieqi 4088	. . . 4 |- U. J = U. ( S ^ko R )
31		ovex 6105	. . . . . . . 8 |- ( R Cn S ) e. _V
32	31	pwex 4463	. . . . . . 7 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
33	8, 26, 27	xkotf 18999	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
34		frn 5553	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
36	32, 35	ssexi 4425	. . . . . 6 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
37		fiuni 7666	. . . . . 6 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
39		fvex 5689	. . . . . 6 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V
40		unitg 18413	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V -> U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
42	38, 41	eqtr4i 2456	. . . 4 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
43	29, 30, 42	3eqtr4g 2490	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J = U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
44	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
45		sspwuni 4244	. . . 4 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) <-> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
46	44, 45	sylib 196	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
47	43, 46	eqsstrd 3378	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J C_ ( R Cn S ) )
48	25, 47	eqssd 3361	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   {crab 2709   _Vcvv 2962   C_ wss 3316   (/)c0 3625   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079   X. cxp 4825   ran crn 4828   "cima 4830   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   e. cmpt2 6082   ficfi 7648   ↾_t crest 14341   topGenctg 14358   Topctop 18339   Cn ccn 18669   Compccmp 18830   ^ko cxko 18975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14343  df-topgen 14364  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-cmp 18831  df-xko 18977

This theorem is referenced by:  xkotopon  19014  xkohaus  19067  xkoptsub  19068