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Theorem xkouni 19835
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
Assertion
Ref Expression
xkouni  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)

Proof of Theorem xkouni
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ima0 5350 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" (/) )  =  (/)
2 0ss 3814 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. S
31, 2eqsstri 3534 . . . . . . . 8  |-  ( f
" (/) )  C_  U. S
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  f  e.  ( R  Cn  S ) )  ->  ( f " (/) )  C_  U. S )
54ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
6 rabid2 3039 . . . . . 6  |-  ( ( R  Cn  S )  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" (/) )  C_  U. S } 
<-> 
A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
75, 6sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S } )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
9 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  R  e.  Top )
10 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  S  e.  Top )
11 0ss 3814 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  U. R
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
(/)  C_  U. R )
13 rest0 19436 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/) } )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/)
} )
15 0cmp 19660 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  Comp
1614, 15syl6eqel 2563 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  e.  Comp )
17 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
1817topopn 19182 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
1918adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. S  e.  S
)
208, 9, 10, 12, 16, 19xkoopn 19825 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S }  e.  ( S  ^ko  R ) )
217, 20eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
22 xkouni.1 . . . 4  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
2321, 22syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  J )
24 elssuni 4275 . . 3  |-  ( ( R  Cn  S )  e.  J  ->  ( R  Cn  S )  C_  U. J )
2523, 24syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  C_  U. J )
26 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }
27 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
288, 26, 27xkoval 19823 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
2928unieqd 4255 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
3022unieqi 4254 . . . 4  |-  U. J  =  U. ( S  ^ko  R )
31 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
3231pwex 4630 . . . . . . 7  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
338, 26, 27xkotf 19821 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
34 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  S
)
3632, 35ssexi 4592 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V
37 fiuni 7884 . . . . . 6  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  e.  _V  ->  U.
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
39 fvex 5874 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )  e.  _V
40 unitg 19235 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )  e. 
_V  ->  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )  =  U. ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  = 
U. ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4238, 41eqtr4i 2499 . . . 4  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4329, 30, 423eqtr4g 2533 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  =  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4435a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
45 sspwuni 4411 . . . 4  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S )  <->  U. ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4644, 45sylib 196 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4743, 46eqsstrd 3538 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  C_  ( R  Cn  S ) )
4825, 47eqssd 3521 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245    X. cxp 4997   ran crn 5000   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   ficfi 7866   ↾t crest 14672   topGenctg 14689   Topctop 19161    Cn ccn 19491   Compccmp 19652    ^ko cxko 19797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-xko 19799
This theorem is referenced by:  xkotopon  19836  xkohaus  19889  xkoptsub  19890
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