Theorem xkouni 19835

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	|- J = ( S ^ko R )

Assertion

Ref	Expression
xkouni	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Proof of Theorem xkouni

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ima0 5350	. . . . . . . . 9 |- ( f " (/) ) = (/)
2		0ss 3814	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. S
3	1, 2	eqsstri 3534	. . . . . . . 8 |- ( f " (/) ) C_ U. S
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( f " (/) ) C_ U. S )
5	4	ralrimiva 2878	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
6		rabid2 3039	. . . . . 6 |- ( ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } <-> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
7	5, 6	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } )
8		eqid 2467	. . . . . 6 |- U. R = U. R
9		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> R e. Top )
10		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
11		0ss 3814	. . . . . . 7 |- (/) C_ U. R
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> (/) C_ U. R )
13		rest0 19436	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
14	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
15		0cmp 19660	. . . . . . 7 |- { (/) } e. Comp
16	14, 15	syl6eqel 2563	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) e. Comp )
17		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
18	17	topopn 19182	. . . . . . 7 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
19	18	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. S e. S )
20	8, 9, 10, 12, 16, 19	xkoopn 19825	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } e. ( S ^ko R ) )
21	7, 20	eqeltrd 2555	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
22		xkouni.1	. . . 4 |- J = ( S ^ko R )
23	21, 22	syl6eleqr 2566	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. J )
24		elssuni 4275	. . 3 |- ( ( R Cn S ) e. J -> ( R Cn S ) C_ U. J )
25	23, 24	syl 16	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ U. J )
26		eqid 2467	. . . . . 6 |- { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp }
27		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
28	8, 26, 27	xkoval 19823	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
29	28	unieqd 4255	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
30	22	unieqi 4254	. . . 4 |- U. J = U. ( S ^ko R )
31		ovex 6307	. . . . . . . 8 |- ( R Cn S ) e. _V
32	31	pwex 4630	. . . . . . 7 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
33	8, 26, 27	xkotf 19821	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
34		frn 5735	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
36	32, 35	ssexi 4592	. . . . . 6 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
37		fiuni 7884	. . . . . 6 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
39		fvex 5874	. . . . . 6 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V
40		unitg 19235	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V -> U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
42	38, 41	eqtr4i 2499	. . . 4 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
43	29, 30, 42	3eqtr4g 2533	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J = U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
44	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
45		sspwuni 4411	. . . 4 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) <-> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
46	44, 45	sylib 196	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
47	43, 46	eqsstrd 3538	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J C_ ( R Cn S ) )
48	25, 47	eqssd 3521	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   X. cxp 4997   ran crn 5000   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   ficfi 7866   ↾_t crest 14672   topGenctg 14689   Topctop 19161   Cn ccn 19491   Compccmp 19652   ^ko cxko 19797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-xko 19799

This theorem is referenced by:  xkotopon  19836  xkohaus  19889  xkoptsub  19890