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Theorem xkouni 20691
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
Assertion
Ref Expression
xkouni  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)

Proof of Theorem xkouni
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ima0 5189 . . . . . . . . 9  |-  ( f
" (/) )  =  (/)
2 0ss 3766 . . . . . . . . 9  |-  (/)  C_  U. S
31, 2eqsstri 3448 . . . . . . . 8  |-  ( f
" (/) )  C_  U. S
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  f  e.  ( R  Cn  S ) )  ->  ( f " (/) )  C_  U. S )
54ralrimiva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
6 rabid2 2954 . . . . . 6  |-  ( ( R  Cn  S )  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" (/) )  C_  U. S } 
<-> 
A. f  e.  ( R  Cn  S ) ( f " (/) )  C_  U. S )
75, 6sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S } )
8 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
9 simpl 464 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  R  e.  Top )
10 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  S  e.  Top )
11 0ss 3766 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  U. R
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
(/)  C_  U. R )
13 rest0 20262 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/) } )
1413adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  =  { (/)
} )
15 0cmp 20486 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  Comp
1614, 15syl6eqel 2557 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Rt  (/) )  e.  Comp )
17 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
1817topopn 20013 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
1918adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. S  e.  S
)
208, 9, 10, 12, 16, 19xkoopn 20681 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " (/) )  C_  U. S }  e.  ( S  ^ko  R ) )
217, 20eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
22 xkouni.1 . . . 4  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
2321, 22syl6eleqr 2560 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  J )
24 elssuni 4219 . . 3  |-  ( ( R  Cn  S )  e.  J  ->  ( R  Cn  S )  C_  U. J )
2523, 24syl 17 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  C_  U. J )
26 eqid 2471 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }
27 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
288, 26, 27xkoval 20679 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
2928unieqd 4200 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
3022unieqi 4199 . . . 4  |-  U. J  =  U. ( S  ^ko  R )
31 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
3231pwex 4584 . . . . . . 7  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
338, 26, 27xkotf 20677 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
34 frn 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  S
)
3632, 35ssexi 4541 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V
37 fiuni 7960 . . . . . 6  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  e.  _V  ->  U.
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . 5  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
39 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )  e.  _V
40 unitg 20059 . . . . . 6  |-  ( ( fi `  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )  e. 
_V  ->  U. ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) )  =  U. ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4139, 40ax-mp 5 . . . . 5  |-  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  = 
U. ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4238, 41eqtr4i 2496 . . . 4  |-  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  =  U. ( topGen `
 ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )
4329, 30, 423eqtr4g 2530 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  =  U. ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
4435a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
45 sspwuni 4360 . . . 4  |-  ( ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S )  <->  U. ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4644, 45sylib 201 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ran  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ( R  Cn  S ) )
4743, 46eqsstrd 3452 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. J  C_  ( R  Cn  S ) )
4825, 47eqssd 3435 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190    X. cxp 4837   ran crn 4840   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   ficfi 7942   ↾t crest 15397   topGenctg 15414   Topctop 19994    Cn ccn 20317   Compccmp 20478    ^ko cxko 20653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-xko 20655
This theorem is referenced by:  xkotopon  20692  xkohaus  20745  xkoptsub  20746
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