Theorem xkouni 20226

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	|- J = ( S ^ko R )

Assertion

Ref	Expression
xkouni	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Proof of Theorem xkouni

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ima0 5362	. . . . . . . . 9 |- ( f " (/) ) = (/)
2		0ss 3823	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. S
3	1, 2	eqsstri 3529	. . . . . . . 8 |- ( f " (/) ) C_ U. S
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( f " (/) ) C_ U. S )
5	4	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
6		rabid2 3035	. . . . . 6 |- ( ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } <-> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
7	5, 6	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } )
8		eqid 2457	. . . . . 6 |- U. R = U. R
9		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> R e. Top )
10		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
11		0ss 3823	. . . . . . 7 |- (/) C_ U. R
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> (/) C_ U. R )
13		rest0 19797	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
14	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
15		0cmp 20021	. . . . . . 7 |- { (/) } e. Comp
16	14, 15	syl6eqel 2553	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) e. Comp )
17		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
18	17	topopn 19542	. . . . . . 7 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
19	18	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. S e. S )
20	8, 9, 10, 12, 16, 19	xkoopn 20216	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } e. ( S ^ko R ) )
21	7, 20	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
22		xkouni.1	. . . 4 |- J = ( S ^ko R )
23	21, 22	syl6eleqr 2556	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. J )
24		elssuni 4281	. . 3 |- ( ( R Cn S ) e. J -> ( R Cn S ) C_ U. J )
25	23, 24	syl 16	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ U. J )
26		eqid 2457	. . . . . 6 |- { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp }
27		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
28	8, 26, 27	xkoval 20214	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
29	28	unieqd 4261	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
30	22	unieqi 4260	. . . 4 |- U. J = U. ( S ^ko R )
31		ovex 6324	. . . . . . . 8 |- ( R Cn S ) e. _V
32	31	pwex 4639	. . . . . . 7 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
33	8, 26, 27	xkotf 20212	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
34		frn 5743	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
36	32, 35	ssexi 4601	. . . . . 6 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
37		fiuni 7906	. . . . . 6 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
39		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V
40		unitg 19595	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V -> U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
42	38, 41	eqtr4i 2489	. . . 4 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
43	29, 30, 42	3eqtr4g 2523	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J = U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
44	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
45		sspwuni 4421	. . . 4 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) <-> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
46	44, 45	sylib 196	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
47	43, 46	eqsstrd 3533	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J C_ ( R Cn S ) )
48	25, 47	eqssd 3516	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   X. cxp 5006   ran crn 5009   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   ficfi 7888   ↾_t crest 14838   topGenctg 14855   Topctop 19521   Cn ccn 19852   Compccmp 20013   ^ko cxko 20188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-xko 20190

This theorem is referenced by:  xkotopon  20227  xkohaus  20280  xkoptsub  20281