Theorem xkouni 19299

Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xkouni.1	|- J = ( S ^ko R )

Assertion

Ref	Expression
xkouni	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Proof of Theorem xkouni

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ima0 5287	. . . . . . . . 9 |- ( f " (/) ) = (/)
2		0ss 3769	. . . . . . . . 9 |- (/) C_ U. S
3	1, 2	eqsstri 3489	. . . . . . . 8 |- ( f " (/) ) C_ U. S
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( f " (/) ) C_ U. S )
5	4	ralrimiva 2827	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
6		rabid2 2998	. . . . . 6 |- ( ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } <-> A. f e. ( R Cn S ) ( f " (/) ) C_ U. S )
7	5, 6	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } )
8		eqid 2452	. . . . . 6 |- U. R = U. R
9		simpl 457	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> R e. Top )
10		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
11		0ss 3769	. . . . . . 7 |- (/) C_ U. R
12	11	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> (/) C_ U. R )
13		rest0 18900	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
14	13	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) = { (/) } )
15		0cmp 19124	. . . . . . 7 |- { (/) } e. Comp
16	14, 15	syl6eqel 2548	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R ↾t (/) ) e. Comp )
17		eqid 2452	. . . . . . . 8 |- U. S = U. S
18	17	topopn 18646	. . . . . . 7 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
19	18	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. S e. S )
20	8, 9, 10, 12, 16, 19	xkoopn 19289	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " (/) ) C_ U. S } e. ( S ^ko R ) )
21	7, 20	eqeltrd 2540	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
22		xkouni.1	. . . 4 |- J = ( S ^ko R )
23	21, 22	syl6eleqr 2551	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. J )
24		elssuni 4224	. . 3 |- ( ( R Cn S ) e. J -> ( R Cn S ) C_ U. J )
25	23, 24	syl 16	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ U. J )
26		eqid 2452	. . . . . 6 |- { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp }
27		eqid 2452	. . . . . 6 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
28	8, 26, 27	xkoval 19287	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
29	28	unieqd 4204	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
30	22	unieqi 4203	. . . 4 |- U. J = U. ( S ^ko R )
31		ovex 6220	. . . . . . . 8 |- ( R Cn S ) e. _V
32	31	pwex 4578	. . . . . . 7 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
33	8, 26, 27	xkotf 19285	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
34		frn 5668	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
36	32, 35	ssexi 4540	. . . . . 6 |- ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
37		fiuni 7784	. . . . . 6 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
39		fvex 5804	. . . . . 6 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V
40		unitg 18699	. . . . . 6 |- ( ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V -> U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 |- U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) = U. ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
42	38, 41	eqtr4i 2484	. . . 4 |- U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = U. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
43	29, 30, 42	3eqtr4g 2518	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J = U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
44	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
45		sspwuni 4359	. . . 4 |- ( ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) <-> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
46	44, 45	sylib 196	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ran ( k e. { x e. ~P U. R | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( R Cn S ) )
47	43, 46	eqsstrd 3493	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. J C_ ( R Cn S ) )
48	25, 47	eqssd 3476	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2796   {crab 2800   _Vcvv 3072   C_ wss 3431   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4194   X. cxp 4941   ran crn 4944   "cima 4946   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   |-> cmpt2 6197   ficfi 7766   ↾_t crest 14473   topGenctg 14490   Topctop 18625   Cn ccn 18955   Compccmp 19116   ^ko cxko 19261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-fin 7419  df-fi 7767  df-rest 14475  df-topgen 14496  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-cmp 19117  df-xko 19263

This theorem is referenced by:  xkotopon  19300  xkohaus  19353  xkoptsub  19354