MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotopon Structured version   Unicode version

Theorem xkotopon 19185
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
Assertion
Ref Expression
xkotopon  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )

Proof of Theorem xkotopon
StepHypRef Expression
1 xkouni.1 . . 3  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
2 xkotop 19173 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
31, 2syl5eqel 2527 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
41xkouni 19184 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)
5 istopon 18542 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S ) )  <-> 
( J  e.  Top  /\  ( R  Cn  S
)  =  U. J
) )
63, 4, 5sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   U.cuni 4103   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Topctop 18510  TopOnctopon 18511    Cn ccn 18840    ^ko cxko 19146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-fin 7326  df-fi 7673  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cmp 19002  df-xko 19148
This theorem is referenced by:  xkoccn  19204  xkopjcn  19241  xkoco1cn  19242  xkoco2cn  19243  xkococn  19245  cnmptkp  19265  cnmptk1  19266  cnmpt1k  19267  cnmptkk  19268  xkofvcn  19269  cnmptk1p  19270  cnmptk2  19271  xkoinjcn  19272  xkocnv  19399  xkohmeo  19400  symgtgp  19684
  Copyright terms: Public domain W3C validator