MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotopon Structured version   Unicode version

Theorem xkotopon 19928
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
Assertion
Ref Expression
xkotopon  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )

Proof of Theorem xkotopon
StepHypRef Expression
1 xkouni.1 . . 3  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
2 xkotop 19916 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
31, 2syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
41xkouni 19927 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)
5 istopon 19233 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S ) )  <-> 
( J  e.  Top  /\  ( R  Cn  S
)  =  U. J
) )
63, 4, 5sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   U.cuni 4245   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Topctop 19201  TopOnctopon 19202    Cn ccn 19531    ^ko cxko 19889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-fin 7521  df-fi 7872  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cmp 19693  df-xko 19891
This theorem is referenced by:  xkoccn  19947  xkopjcn  19984  xkoco1cn  19985  xkoco2cn  19986  xkococn  19988  cnmptkp  20008  cnmptk1  20009  cnmpt1k  20010  cnmptkk  20011  xkofvcn  20012  cnmptk1p  20013  cnmptk2  20014  xkoinjcn  20015  xkocnv  20142  xkohmeo  20143  symgtgp  20427
  Copyright terms: Public domain W3C validator