MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotopon Structured version   Unicode version

Theorem xkotopon 20539
Description: The base set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkouni.1  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
Assertion
Ref Expression
xkotopon  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )

Proof of Theorem xkotopon
StepHypRef Expression
1 xkouni.1 . . 3  |-  J  =  ( S  ^ko  R )
2 xkotop 20527 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
31, 2syl5eqel 2512 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  Top )
41xkouni 20538 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. J
)
5 istopon 19864 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S ) )  <-> 
( J  e.  Top  /\  ( R  Cn  S
)  =  U. J
) )
63, 4, 5sylanbrc 668 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   U.cuni 4213   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Topctop 19841  TopOnctopon 19842    Cn ccn 20164    ^ko cxko 20500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-fin 7572  df-fi 7922  df-rest 15273  df-topgen 15294  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cmp 20326  df-xko 20502
This theorem is referenced by:  xkoccn  20558  xkopjcn  20595  xkoco1cn  20596  xkoco2cn  20597  xkococn  20599  cnmptkp  20619  cnmptk1  20620  cnmpt1k  20621  cnmptkk  20622  xkofvcn  20623  cnmptk1p  20624  cnmptk2  20625  xkoinjcn  20626  xkocnv  20753  xkohmeo  20754  symgtgp  21040
  Copyright terms: Public domain W3C validator