MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotop Structured version   Unicode version

Theorem xkotop 20381
Description: The compact-open topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkotop  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )

Proof of Theorem xkotop
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  U. R  =  U. R
2 eqid 2402 . . 3  |-  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
41, 2, 3xkoval 20380 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
5 fibas 19771 . . 3  |-  ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )  e.  TopBases
6 tgcl 19763 . . 3  |-  ( ( fi `  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )  e.  TopBases 
->  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  e. 
Top )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  e. 
Top
84, 7syl6eqel 2498 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   {crab 2758    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   ran crn 4824   "cima 4826   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   ficfi 7904   ↾t crest 15035   topGenctg 15052   Topctop 19686   TopBasesctb 19690    Cn ccn 20018   Compccmp 20179    ^ko cxko 20354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-fin 7558  df-fi 7905  df-topgen 15058  df-top 19691  df-bases 19693  df-xko 20356
This theorem is referenced by:  xkotopon  20393  xkohaus  20446  xkoptsub  20447  xkococnlem  20452  xkococn  20453  xkohmeo  20608
  Copyright terms: Public domain W3C validator