MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkotop Structured version   Unicode version

Theorem xkotop 19002
Description: The compact-open topology is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkotop  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )

Proof of Theorem xkotop
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . 3  |-  U. R  =  U. R
2 eqid 2433 . . 3  |-  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp }
3 eqid 2433 . . 3  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
41, 2, 3xkoval 19001 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
5 fibas 18423 . . 3  |-  ( fi
`  ran  ( k  e.  { x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )  e.  TopBases
6 tgcl 18415 . . 3  |-  ( ( fi `  ran  (
k  e.  { x  e.  ~P U. R  | 
( Rt  x )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )  e.  TopBases 
->  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  e. 
Top )
75, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P U. R  |  ( Rt  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) )  e. 
Top
84, 7syl6eqel 2521 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   {crab 2709    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   U.cuni 4079   ran crn 4828   "cima 4830   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   ficfi 7648   ↾t crest 14341   topGenctg 14358   Topctop 18339   TopBasesctb 18343    Cn ccn 18669   Compccmp 18830    ^ko cxko 18975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-fin 7302  df-fi 7649  df-topgen 14364  df-top 18344  df-bases 18346  df-xko 18977
This theorem is referenced by:  xkotopon  19014  xkohaus  19067  xkoptsub  19068  xkococnlem  19073  xkococn  19074  xkohmeo  19229
  Copyright terms: Public domain W3C validator