Theorem xkoptsub 19345

Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoptsub.x	|- X = U. R
xkoptsub.j	|- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )

Assertion

Ref	Expression
xkoptsub	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Proof of Theorem xkoptsub

Dummy variables f g k n u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkoptsub.j	. . . . 5 |- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )
2		xkoptsub.x	. . . . . . . . 9 |- X = U. R
3	2	topopn 18637	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
4	3	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X e. R )
5		fconstg 5697	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Top -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
6	5	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
7		ffn 5659	. . . . . . . 8 |- ( ( X X. { S } ) : X --> { S } -> ( X X. { S } ) Fn X )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) Fn X )
9		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) }
10	9	ptval 19261	. . . . . . 7 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) Fn X ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
11	4, 8, 10	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
12		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
13	12	snssd 4118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { S } C_ Top )
14		fss 5667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X X. { S } ) : X --> { S } /\ { S } C_ Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
15	6, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
16		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n )
17	9, 16	ptbasfi 19272	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) : X --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
18	4, 15, 17	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
19		fvconst2g 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
20	19	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
21	20	unieqd 4201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = U. S )
22	21	ixpeq2dva 7380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. S )
23		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. S = U. S
24	23	topopn 18637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
25		ixpconstg 7374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. R /\ U. S e. S ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
26	3, 24, 25	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
27	22, 26	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
28	27	sneqd 3989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } = { ( U. S ^m X ) } )
29		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- X = X
30		fvconst2g 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
31	30	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
32	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
33	32	mpteq1d 4473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
34	33	cnveqd 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
35	34	imaeq1d 5268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
36	35	ralrimivw 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
37	31, 36	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
38	37	ralrimiva 2822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
39		mpt2eq123 6246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X = X /\ A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
40	29, 38, 39	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
41	40	rneqd 5167	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
42	28, 41	uneq12d 3611	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
43	42	fveq2d 5795	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
44	18, 43	eqtrd 2492	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
45	44	fveq2d 5795	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
46	11, 45	eqtrd 2492	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
47	1, 46	syl5eq 2504	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> J = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
48	47	oveq1d 6207	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
49		firest 14475	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
50	49	fveq2i 5794	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
51		fvex 5801	. . . . 5 |- ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V
52		ovex 6217	. . . . 5 |- ( R Cn S ) e. _V
53		tgrest 18881	. . . . 5 |- ( ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
54	51, 52, 53	mp2an 672	. . . 4 |- ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
55	50, 54	eqtri 2480	. . 3 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
56	48, 55	syl6eqr 2510	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) )
57		xkotop 19279	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
58		snex 4633	. . . . . 6 |- { ( U. S ^m X ) } e. _V
59		mpt2exga 6751	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. R /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
60	3, 59	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
61		rnexg 6612	. . . . . . 7 |- ( ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
62	60, 61	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
63		unexg 6483	. . . . . 6 |- ( ( { ( U. S ^m X ) } e. _V /\ ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
64	58, 62, 63	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
65		restval 14469	. . . . 5 |- ( ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
66	64, 52, 65	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
67		elun 3597	. . . . . . 7 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) <-> ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
68	2, 23	cnf 18968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( R Cn S ) -> x : X --> U. S )
69		elmapg 7329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U. S e. S /\ X e. R ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
70	24, 3, 69	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
71	68, 70	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( R Cn S ) -> x e. ( U. S ^m X ) ) )
72	71	ssrdv 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
74		elsni 4002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { ( U. S ^m X ) } -> x = ( U. S ^m X ) )
75	74	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> x = ( U. S ^m X ) )
76	73, 75	sseqtr4d 3493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ x )
77		dfss1 3655	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Cn S ) C_ x <-> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
78	76, 77	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
79		eqid 2451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
80	79	xkouni 19290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
81		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
82	81	topopn 18637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ^ko R ) e. Top -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
83	57, 82	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
84	80, 83	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
85	84	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
86	78, 85	eqeltrd 2539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
87		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
88	87	rnmpt2 6302	. . . . . . . . . 10 |- ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = { x | E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) }
89	88	abeq2i 2578	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) <-> E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
90		cnvresima 5427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) )
91	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
92		resmpt 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) -> ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
94	93	cnveqd 5115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
95	94	imaeq1d 5268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
96	90, 95	syl5eqr 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
97		fvex 5801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w ` k ) e. _V
98	97	rgenw 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V
99		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) )
100	99	fnmpt 5637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
101	98, 100	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
102		elpreima 5924	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
103	101, 102	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
104		fveq1 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
105		fvex 5801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` k ) e. _V
106	104, 99, 105	fvmpt 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( R Cn S ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
107	106	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
108	107	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
109	105	snss 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f ` k ) e. u <-> { ( f ` k ) } C_ u )
110	91	sselda 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f e. ( U. S ^m X ) )
111		elmapi 7336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. ( U. S ^m X ) -> f : X --> U. S )
112		ffn 5659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : X --> U. S -> f Fn X )
113	110, 111, 112	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f Fn X )
114		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> k e. X )
115		fnsnfv 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f Fn X /\ k e. X ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
116	113, 114, 115	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
117	116	sseq1d 3483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( { ( f ` k ) } C_ u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
118	109, 117	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( f ` k ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
119	108, 118	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
120	119	pm5.32da 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
121	103, 120	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
122	121	abbi2dv 2588	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) } )
123		df-rab 2804	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) }
124	122, 123	syl6eqr 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
125	96, 124	eqtrd 2492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
126		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. Top )
127	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> S e. Top )
128		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> k e. X )
129	128	snssd 4118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { k } C_ X )
130	2	toptopon 18656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
131	126, 130	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. (TopOn ` X ) )
132		restsn2 18893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ k e. X ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
133	131, 128, 132	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
134		snfi 7492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { k } e. Fin
135		discmp 19119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { k } e. Fin <-> ~P { k } e. Comp )
136	134, 135	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~P { k } e. Comp
137	133, 136	syl6eqel 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) e. Comp )
138		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> u e. S )
139	2, 126, 127, 129, 137, 138	xkoopn 19280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } e. ( S ^ko R ) )
140	125, 139	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
141		ineq1 3645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) )
142	141	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) <-> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
143	140, 142	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
144	143	rexlimdvva 2946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
145	144	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
146	89, 145	sylan2b 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
147	86, 146	jaodan 783	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
148	67, 147	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
149		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) = ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) )
150	148, 149	fmptd 5968	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) )
151		frn 5665	. . . . 5 |- ( ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
152	150, 151	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
153	66, 152	eqsstrd 3490	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )
154		tgfiss 18714	. . 3 |- ( ( ( S ^ko R ) e. Top /\ ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
155	57, 153, 154	syl2anc 661	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
156	56, 155	eqsstrd 3490	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   {cab 2436   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3070   \ cdif 3425   u. cun 3426   i^i cin 3427   C_ wss 3428   ~Pcpw 3960   {csn 3977   U.cuni 4191   |-> cmpt 4450   X. cxp 4938   `'ccnv 4939   ran crn 4941   |` cres 4942   "cima 4943   Fn wfn 5513   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   |-> cmpt2 6194   ^m cmap 7316   X_cixp 7365   Fincfn 7412   ficfi 7763   ↾_t crest 14463   topGenctg 14480   Xt_cpt 14481   Topctop 18616  TopOnctopon 18617   Cn ccn 18946   Compccmp 19107   ^ko cxko 19252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fi 7764  df-rest 14465  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-cn 18949  df-cmp 19108  df-xko 19254

This theorem is referenced by:  xkopt  19346  xkopjcn  19347