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Theorem xkoptsub 19068
Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoptsub.x  |-  X  = 
U. R
xkoptsub.j  |-  J  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
Assertion
Ref Expression
xkoptsub  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )

Proof of Theorem xkoptsub
Dummy variables  f 
g  k  n  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkoptsub.j . . . . 5  |-  J  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
2 xkoptsub.x . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. R
32topopn 18360 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
43adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  X  e.  R )
5 fconstg 5585 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Top  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> { S } )
65adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> { S } )
7 ffn 5547 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  X.  { S } ) : X --> { S }  ->  ( X  X.  { S }
)  Fn  X )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } )  Fn  X
)
9 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }
109ptval 18984 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } )  Fn  X
)  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } ) )
114, 8, 10syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } ) )
12 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  S  e.  Top )
1312snssd 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { S }  C_  Top )
14 fss 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  X.  { S } ) : X --> { S }  /\  { S }  C_  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )
156, 13, 14syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )
16 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  =  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)
179, 16ptbasfi 18995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( {
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
184, 15, 17syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }  =  ( fi `  ( { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
19 fvconst2g 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Top  /\  n  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  S )
2019adantll 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  n  e.  X
)  ->  ( ( X  X.  { S }
) `  n )  =  S )
2120unieqd 4089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  n  e.  X
)  ->  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  =  U. S
)
2221ixpeq2dva 7266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  X_ n  e.  X  U. S )
23 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. S  =  U. S
2423topopn 18360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
25 ixpconstg 7260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  R  /\  U. S  e.  S )  ->  X_ n  e.  X  U. S  =  ( U. S  ^m  X ) )
263, 24, 25syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. S  =  ( U. S  ^m  X ) )
2722, 26eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  ( U. S  ^m  X
) )
2827sneqd 3877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
) }  =  {
( U. S  ^m  X ) } )
29 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  X
30 fvconst2g 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Top  /\  k  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  =  S )
3130adantll 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( X  X.  { S }
) `  k )  =  S )
3227adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
)  =  ( U. S  ^m  X ) )
3332mpteq1d 4361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) ) )
3433cnveqd 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  `' (
w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) )  =  `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) ) )
3534imaeq1d 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
3635ralrimivw 2790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
3731, 36jca 529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( X  X.  { S } ) `  k
)  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k
) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
3837ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. k  e.  X  ( ( ( X  X.  { S }
) `  k )  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
39 mpt2eq123 6134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  X  /\  A. k  e.  X  ( ( ( X  X.  { S } ) `  k )  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
4029, 38, 39sylancr 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
4140rneqd 5054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
4228, 41uneq12d 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( { X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  =  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )
4342fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  =  ( fi
`  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
4418, 43eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }  =  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
4544fveq2d 5683 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
4611, 45eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
471, 46syl5eq 2477 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
4847oveq1d 6095 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
49 firest 14353 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) )  =  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5049fveq2i 5682 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )  =  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
51 fvex 5689 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  e.  _V
52 ovex 6105 . . . . 5  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
53 tgrest 18604 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  e.  _V  /\  ( R  Cn  S
)  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
5451, 52, 53mp2an 665 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5550, 54eqtri 2453 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5648, 55syl6eqr 2483 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) )
57 xkotop 19002 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
58 snex 4521 . . . . . 6  |-  { ( U. S  ^m  X
) }  e.  _V
59 mpt2exga 6638 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  R  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
603, 59sylan 468 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
61 rnexg 6499 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
6260, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u ) )  e.  _V )
63 unexg 6370 . . . . . 6  |-  ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  e.  _V  /\  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
6458, 62, 63sylancr 656 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  e.  _V )
65 restval 14347 . . . . 5  |-  ( ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  e.  _V  /\  ( R  Cn  S )  e. 
_V )  ->  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) )  =  ran  (
x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) )
6664, 52, 65sylancl 655 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  =  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) )
67 elun 3485 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  <->  ( x  e. 
{ ( U. S  ^m  X ) }  \/  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
682, 23cnf 18691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( R  Cn  S )  ->  x : X --> U. S )
69 elmapg 7215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  X  e.  R
)  ->  ( x  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  x : X
--> U. S ) )
7024, 3, 69syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( U. S  ^m  X
)  <->  x : X --> U. S ) )
7168, 70syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( R  Cn  S )  ->  x  e.  ( U. S  ^m  X
) ) )
7271ssrdv 3350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  C_  ( U. S  ^m  X ) )
7372adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  C_  ( U. S  ^m  X ) )
74 elsni 3890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { ( U. S  ^m  X ) }  ->  x  =  ( U. S  ^m  X
) )
7574adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  ->  x  =  ( U. S  ^m  X ) )
7673, 75sseqtr4d 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  C_  x )
77 dfss1 3543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Cn  S ) 
C_  x  <->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( R  Cn  S ) )
7876, 77sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  =  ( R  Cn  S ) )
79 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
8079xkouni 19013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
81 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( S  ^ko  R )
8281topopn 18360 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  ^ko  R )  e.  Top  ->  U. ( S  ^ko  R )  e.  ( S  ^ko  R ) )
8357, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ( S  ^ko  R )  e.  ( S  ^ko  R ) )
8480, 83eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
8584adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
8678, 85eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
87 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
8887rnmpt2 6189 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  { x  |  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) }
8988abeq2i 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  <->  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
90 cnvresima 5315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) ) " u
)  =  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )
9172adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( R  Cn  S )  C_  ( U. S  ^m  X
) )
92 resmpt 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Cn  S ) 
C_  ( U. S  ^m  X )  ->  (
( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9493cnveqd 5002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  `' ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9594imaeq1d 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) )
9690, 95syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
97 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w `
 k )  e. 
_V
9897rgenw 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. w  e.  ( R  Cn  S
) ( w `  k )  e.  _V
99 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) )
10099fnmpt 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  ( R  Cn  S ) ( w `
 k )  e. 
_V  ->  ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S
) )
10198, 100mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S ) )
102 elpreima 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S )  -> 
( f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u ) ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u ) ) )
104 fveq1 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
105 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
106104, 99, 105fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  (
( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) `  f
)  =  ( f `
 k ) )
107106adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) `  f
)  =  ( f `
 k ) )
108107eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u  <->  ( f `  k )  e.  u ) )
109105snss 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  k )  e.  u  <->  { (
f `  k ) }  C_  u )
11091sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  f  e.  ( U. S  ^m  X ) )
111 elmapi 7222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  ( U. S  ^m  X )  ->  f : X --> U. S )
112 ffn 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : X --> U. S  ->  f  Fn  X )
113110, 111, 1123syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  f  Fn  X )
114 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  k  e.  X )
115 fnsnfv 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  Fn  X  /\  k  e.  X )  ->  { ( f `  k ) }  =  ( f " {
k } ) )
116113, 114, 115syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  { ( f `  k ) }  =  ( f
" { k } ) )
117116sseq1d 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( { ( f `  k ) }  C_  u 
<->  ( f " {
k } )  C_  u ) )
118109, 117syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( f `  k
)  e.  u  <->  ( f " { k } ) 
C_  u ) )
119108, 118bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u  <->  ( f " { k } )  C_  u
) )
120119pm5.32da 634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `
 k ) ) `
 f )  e.  u )  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) ) )
121103, 120bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) ) )
122121abbi2dv 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  {
f  |  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
f " { k } )  C_  u
) } )
123 df-rab 2714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " { k } )  C_  u }  =  { f  |  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) }
124122, 123syl6eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " {
k } )  C_  u } )
12596, 124eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " {
k } )  C_  u } )
126 simpll 746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  R  e.  Top )
12712adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  S  e.  Top )
128 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  k  e.  X )
129128snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  { k }  C_  X )
1302toptopon 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
131126, 130sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
132 restsn2 18616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  X )  ->  ( Rt  { k } )  =  ~P { k } )
133131, 128, 132syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( Rt  { k } )  =  ~P { k } )
134 snfi 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { k }  e.  Fin
135 discmp 18842 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { k }  e.  Fin  <->  ~P { k }  e.  Comp )
136134, 135mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P {
k }  e.  Comp
137133, 136syl6eqel 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( Rt  { k } )  e.  Comp )
138 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  u  e.  S )
1392, 126, 127, 129, 137, 138xkoopn 19003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " { k } )  C_  u }  e.  ( S  ^ko  R ) )
140125, 139eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
141 ineq1 3533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) ) )
142141eleq1d 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( ( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R )  <->  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
143140, 142syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
144143rexlimdvva 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
145144imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14689, 145sylan2b 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14786, 146jaodan 776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( x  e.  {
( U. S  ^m  X ) }  \/  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14867, 147sylan2b 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
149 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )  =  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )
150148, 149fmptd 5855 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) : ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) --> ( S  ^ko  R ) )
151 frn 5553 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) : ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) --> ( S  ^ko  R )  ->  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
152150, 151syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) 
|->  ( x  i^i  ( R  Cn  S ) ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
15366, 152eqsstrd 3378 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
154 tgfiss 18437 . . 3  |-  ( ( ( S  ^ko  R )  e.  Top  /\  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) 
C_  ( S  ^ko  R ) )
15557, 153, 154syl2anc 654 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) 
C_  ( S  ^ko  R ) )
15656, 155eqsstrd 3378 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   {cab 2419   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    i^i cin 3315    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   `'ccnv 4826   ran crn 4828    |` cres 4829   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082    ^m cmap 7202   X_cixp 7251   Fincfn 7298   ficfi 7648   ↾t crest 14341   topGenctg 14358   Xt_cpt 14359   Topctop 18339  TopOnctopon 18340    Cn ccn 18669   Compccmp 18830    ^ko cxko 18975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14343  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-cn 18672  df-cmp 18831  df-xko 18977
This theorem is referenced by:  xkopt  19069  xkopjcn  19070
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