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Theorem xkoptsub 19890
Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoptsub.x  |-  X  = 
U. R
xkoptsub.j  |-  J  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
Assertion
Ref Expression
xkoptsub  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )

Proof of Theorem xkoptsub
Dummy variables  f 
g  k  n  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkoptsub.j . . . . 5  |-  J  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
2 xkoptsub.x . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. R
32topopn 19182 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  X  e.  R )
5 fconstg 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Top  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> { S } )
65adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> { S } )
7 ffn 5729 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  X.  { S } ) : X --> { S }  ->  ( X  X.  { S }
)  Fn  X )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } )  Fn  X
)
9 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }
109ptval 19806 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } )  Fn  X
)  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } ) )
114, 8, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } ) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  S  e.  Top )
1312snssd 4172 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { S }  C_  Top )
14 fss 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  X.  { S } ) : X --> { S }  /\  { S }  C_  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )
156, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )
16 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  =  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)
179, 16ptbasfi 19817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( {
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
184, 15, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }  =  ( fi `  ( { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
19 fvconst2g 6112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Top  /\  n  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  S )
2019adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  n  e.  X
)  ->  ( ( X  X.  { S }
) `  n )  =  S )
2120unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  n  e.  X
)  ->  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  =  U. S
)
2221ixpeq2dva 7481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  X_ n  e.  X  U. S )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. S  =  U. S
2423topopn 19182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
25 ixpconstg 7475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  R  /\  U. S  e.  S )  ->  X_ n  e.  X  U. S  =  ( U. S  ^m  X ) )
263, 24, 25syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. S  =  ( U. S  ^m  X ) )
2722, 26eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  ( U. S  ^m  X
) )
2827sneqd 4039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
) }  =  {
( U. S  ^m  X ) } )
29 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  X
30 fvconst2g 6112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Top  /\  k  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  =  S )
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( X  X.  { S }
) `  k )  =  S )
3227adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
)  =  ( U. S  ^m  X ) )
3332mpteq1d 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) ) )
3433cnveqd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  `' (
w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) )  =  `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) ) )
3534imaeq1d 5334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
3635ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
3731, 36jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( X  X.  { S } ) `  k
)  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k
) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
3837ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. k  e.  X  ( ( ( X  X.  { S }
) `  k )  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
39 mpt2eq123 6338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  X  /\  A. k  e.  X  ( ( ( X  X.  { S } ) `  k )  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
4029, 38, 39sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
4140rneqd 5228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
4228, 41uneq12d 3659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( { X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  =  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )
4342fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  =  ( fi
`  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
4418, 43eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }  =  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
4544fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
4611, 45eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
471, 46syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
4847oveq1d 6297 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
49 firest 14684 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) )  =  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5049fveq2i 5867 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )  =  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
51 fvex 5874 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  e.  _V
52 ovex 6307 . . . . 5  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
53 tgrest 19426 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  e.  _V  /\  ( R  Cn  S
)  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
5451, 52, 53mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5550, 54eqtri 2496 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5648, 55syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) )
57 xkotop 19824 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
58 snex 4688 . . . . . 6  |-  { ( U. S  ^m  X
) }  e.  _V
59 mpt2exga 6856 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  R  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
603, 59sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
61 rnexg 6713 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
6260, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u ) )  e.  _V )
63 unexg 6583 . . . . . 6  |-  ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  e.  _V  /\  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
6458, 62, 63sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  e.  _V )
65 restval 14678 . . . . 5  |-  ( ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  e.  _V  /\  ( R  Cn  S )  e. 
_V )  ->  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) )  =  ran  (
x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) )
6664, 52, 65sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  =  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) )
67 elun 3645 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  <->  ( x  e. 
{ ( U. S  ^m  X ) }  \/  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
682, 23cnf 19513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( R  Cn  S )  ->  x : X --> U. S )
69 elmapg 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  X  e.  R
)  ->  ( x  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  x : X
--> U. S ) )
7024, 3, 69syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( U. S  ^m  X
)  <->  x : X --> U. S ) )
7168, 70syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( R  Cn  S )  ->  x  e.  ( U. S  ^m  X
) ) )
7271ssrdv 3510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  C_  ( U. S  ^m  X ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  C_  ( U. S  ^m  X ) )
74 elsni 4052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { ( U. S  ^m  X ) }  ->  x  =  ( U. S  ^m  X
) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  ->  x  =  ( U. S  ^m  X ) )
7673, 75sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  C_  x )
77 dfss1 3703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Cn  S ) 
C_  x  <->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( R  Cn  S ) )
7876, 77sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  =  ( R  Cn  S ) )
79 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
8079xkouni 19835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
81 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( S  ^ko  R )
8281topopn 19182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  ^ko  R )  e.  Top  ->  U. ( S  ^ko  R )  e.  ( S  ^ko  R ) )
8357, 82syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ( S  ^ko  R )  e.  ( S  ^ko  R ) )
8480, 83eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
8584adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
8678, 85eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
87 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
8887rnmpt2 6394 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  { x  |  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) }
8988abeq2i 2594 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  <->  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
90 cnvresima 5494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) ) " u
)  =  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )
9172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( R  Cn  S )  C_  ( U. S  ^m  X
) )
92 resmpt 5321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  Cn  S ) 
C_  ( U. S  ^m  X )  ->  (
( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9493cnveqd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  `' ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9594imaeq1d 5334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) )
9690, 95syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
97 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w `
 k )  e. 
_V
9897rgenw 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. w  e.  ( R  Cn  S
) ( w `  k )  e.  _V
99 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) )
10099fnmpt 5705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  ( R  Cn  S ) ( w `
 k )  e. 
_V  ->  ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S
) )
10198, 100mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S ) )
102 elpreima 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S )  -> 
( f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u ) ) )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u ) ) )
104 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
105 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
106104, 99, 105fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  (
( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) `  f
)  =  ( f `
 k ) )
107106adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) `  f
)  =  ( f `
 k ) )
108107eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u  <->  ( f `  k )  e.  u ) )
109105snss 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  k )  e.  u  <->  { (
f `  k ) }  C_  u )
11091sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  f  e.  ( U. S  ^m  X ) )
111 elmapi 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  ( U. S  ^m  X )  ->  f : X --> U. S )
112 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : X --> U. S  ->  f  Fn  X )
113110, 111, 1123syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  f  Fn  X )
114 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  k  e.  X )
115 fnsnfv 5925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  Fn  X  /\  k  e.  X )  ->  { ( f `  k ) }  =  ( f " {
k } ) )
116113, 114, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  { ( f `  k ) }  =  ( f
" { k } ) )
117116sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( { ( f `  k ) }  C_  u 
<->  ( f " {
k } )  C_  u ) )
118109, 117syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( f `  k
)  e.  u  <->  ( f " { k } ) 
C_  u ) )
119108, 118bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u  <->  ( f " { k } )  C_  u
) )
120119pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `
 k ) ) `
 f )  e.  u )  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) ) )
121103, 120bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) ) )
122121abbi2dv 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  {
f  |  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
f " { k } )  C_  u
) } )
123 df-rab 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " { k } )  C_  u }  =  { f  |  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) }
124122, 123syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " {
k } )  C_  u } )
12596, 124eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " {
k } )  C_  u } )
126 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  R  e.  Top )
12712adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  S  e.  Top )
128 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  k  e.  X )
129128snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  { k }  C_  X )
1302toptopon 19201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
131126, 130sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
132 restsn2 19438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  X )  ->  ( Rt  { k } )  =  ~P { k } )
133131, 128, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( Rt  { k } )  =  ~P { k } )
134 snfi 7593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { k }  e.  Fin
135 discmp 19664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { k }  e.  Fin  <->  ~P { k }  e.  Comp )
136134, 135mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P {
k }  e.  Comp
137133, 136syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( Rt  { k } )  e.  Comp )
138 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  u  e.  S )
1392, 126, 127, 129, 137, 138xkoopn 19825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " { k } )  C_  u }  e.  ( S  ^ko  R ) )
140125, 139eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
141 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) ) )
142141eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( ( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R )  <->  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
143140, 142syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
144143rexlimdvva 2962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
145144imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14689, 145sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14786, 146jaodan 783 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( x  e.  {
( U. S  ^m  X ) }  \/  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14867, 147sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
149 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )  =  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )
150148, 149fmptd 6043 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) : ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) --> ( S  ^ko  R ) )
151 frn 5735 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) : ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) --> ( S  ^ko  R )  ->  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
152150, 151syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) 
|->  ( x  i^i  ( R  Cn  S ) ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
15366, 152eqsstrd 3538 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
154 tgfiss 19259 . . 3  |-  ( ( ( S  ^ko  R )  e.  Top  /\  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) 
C_  ( S  ^ko  R ) )
15557, 153, 154syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) 
C_  ( S  ^ko  R ) )
15656, 155eqsstrd 3538 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284    ^m cmap 7417   X_cixp 7466   Fincfn 7513   ficfi 7866   ↾t crest 14672   topGenctg 14689   Xt_cpt 14690   Topctop 19161  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491   Compccmp 19652    ^ko cxko 19797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494  df-cmp 19653  df-xko 19799
This theorem is referenced by:  xkopt  19891  xkopjcn  19892
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