Theorem xkoptsub 20604

Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoptsub.x	|- X = U. R
xkoptsub.j	|- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )

Assertion

Ref	Expression
xkoptsub	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Proof of Theorem xkoptsub

Dummy variables f g k n u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkoptsub.j	. . . . 5 |- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )
2		xkoptsub.x	. . . . . . . . 9 |- X = U. R
3	2	topopn 19871	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
4	3	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X e. R )
5		fconstg 5723	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Top -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
6	5	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
7		ffn 5682	. . . . . . . 8 |- ( ( X X. { S } ) : X --> { S } -> ( X X. { S } ) Fn X )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) Fn X )
9		eqid 2422	. . . . . . . 8 |- { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) }
10	9	ptval 20520	. . . . . . 7 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) Fn X ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
11	4, 8, 10	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
12		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
13	12	snssd 4081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { S } C_ Top )
14	6, 13	fssd 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
15		eqid 2422	. . . . . . . . . 10 |- X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n )
16	9, 15	ptbasfi 20531	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) : X --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
17	4, 14, 16	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
18		fvconst2g 6070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
19	18	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
20	19	unieqd 4165	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = U. S )
21	20	ixpeq2dva 7485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. S )
22		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. S = U. S
23	22	topopn 19871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
24		ixpconstg 7479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. R /\ U. S e. S ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
25	3, 23, 24	syl2an 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
26	21, 25	eqtrd 2456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
27	26	sneqd 3946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } = { ( U. S ^m X ) } )
28		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- X = X
29		fvconst2g 6070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
30	29	adantll 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
31	26	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
32	31	mpteq1d 4441	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
33	32	cnveqd 4965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
34	33	imaeq1d 5122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
35	34	ralrimivw 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
36	30, 35	jca 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
37	36	ralrimiva 2773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
38		mpt2eq123 6301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X = X /\ A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
39	28, 37, 38	sylancr 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
40	39	rneqd 5017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
41	27, 40	uneq12d 3557	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
42	41	fveq2d 5822	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
43	17, 42	eqtrd 2456	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
44	43	fveq2d 5822	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
45	11, 44	eqtrd 2456	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
46	1, 45	syl5eq 2468	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> J = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
47	46	oveq1d 6257	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
48		firest 15267	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
49	48	fveq2i 5821	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
50		fvex 5828	. . . . 5 |- ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V
51		ovex 6270	. . . . 5 |- ( R Cn S ) e. _V
52		tgrest 20110	. . . . 5 |- ( ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
53	50, 51, 52	mp2an 676	. . . 4 |- ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
54	49, 53	eqtri 2444	. . 3 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
55	47, 54	syl6eqr 2474	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) )
56		xkotop 20538	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
57		snex 4598	. . . . . 6 |- { ( U. S ^m X ) } e. _V
58		mpt2exga 6820	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. R /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
59	3, 58	sylan 473	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
60		rnexg 6676	. . . . . . 7 |- ( ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
62		unexg 6543	. . . . . 6 |- ( ( { ( U. S ^m X ) } e. _V /\ ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
63	57, 61, 62	sylancr 667	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
64		restval 15261	. . . . 5 |- ( ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
65	63, 51, 64	sylancl 666	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
66		elun 3542	. . . . . . 7 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) <-> ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
67	2, 22	cnf 20197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( R Cn S ) -> x : X --> U. S )
68		elmapg 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U. S e. S /\ X e. R ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
69	23, 3, 68	syl2anr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
70	67, 69	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( R Cn S ) -> x e. ( U. S ^m X ) ) )
71	70	ssrdv 3406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
72	71	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
73		elsni 3959	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { ( U. S ^m X ) } -> x = ( U. S ^m X ) )
74	73	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> x = ( U. S ^m X ) )
75	72, 74	sseqtr4d 3437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ x )
76		dfss1 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Cn S ) C_ x <-> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
77	75, 76	sylib 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
78		eqid 2422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
79	78	xkouni 20549	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
80		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
81	80	topopn 19871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ^ko R ) e. Top -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
82	56, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
83	79, 82	eqeltrd 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
84	83	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
85	77, 84	eqeltrd 2500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
86		eqid 2422	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
87	86	rnmpt2 6357	. . . . . . . . . 10 |- ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = { x | E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) }
88	87	abeq2i 2534	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) <-> E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
89		cnvresima 5279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) )
90	71	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
91	90	resmptd 5111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
92	91	cnveqd 4965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
93	92	imaeq1d 5122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
94	89, 93	syl5eqr 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
95		fvex 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w ` k ) e. _V
96	95	rgenw 2720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V
97		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) )
98	97	fnmpt 5658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
99	96, 98	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
100		elpreima 5954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
102		fveq1 5817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
103		fvex 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` k ) e. _V
104	102, 97, 103	fvmpt 5901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( R Cn S ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
105	104	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
106	105	eleq1d 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
107	103	snss 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f ` k ) e. u <-> { ( f ` k ) } C_ u )
108	90	sselda 3400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f e. ( U. S ^m X ) )
109		elmapi 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. ( U. S ^m X ) -> f : X --> U. S )
110		ffn 5682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : X --> U. S -> f Fn X )
111	108, 109, 110	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f Fn X )
112		simplrl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> k e. X )
113		fnsnfv 5878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f Fn X /\ k e. X ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
114	111, 112, 113	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
115	114	sseq1d 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( { ( f ` k ) } C_ u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
116	107, 115	syl5bb 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( f ` k ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
117	106, 116	bitrd 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
118	117	pm5.32da 645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
119	101, 118	bitrd 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
120	119	abbi2dv 2541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) } )
121		df-rab 2717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) }
122	120, 121	syl6eqr 2474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
123	94, 122	eqtrd 2456	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
124		simpll 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. Top )
125	12	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> S e. Top )
126		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> k e. X )
127	126	snssd 4081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { k } C_ X )
128	2	toptopon 19883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
129	124, 128	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. (TopOn ` X ) )
130		restsn2 20122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ k e. X ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
131	129, 126, 130	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
132		snfi 7597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { k } e. Fin
133		discmp 20348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { k } e. Fin <-> ~P { k } e. Comp )
134	132, 133	mpbi 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~P { k } e. Comp
135	131, 134	syl6eqel 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) e. Comp )
136		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> u e. S )
137	2, 124, 125, 127, 135, 136	xkoopn 20539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } e. ( S ^ko R ) )
138	123, 137	eqeltrd 2500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
139		ineq1 3593	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) )
140	139	eleq1d 2484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) <-> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
141	138, 140	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
142	141	rexlimdvva 2857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
143	142	imp 430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
144	88, 143	sylan2b 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
145	85, 144	jaodan 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
146	66, 145	sylan2b 477	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
147		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) = ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) )
148	146, 147	fmptd 5998	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) )
149		frn 5688	. . . . 5 |- ( ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
150	148, 149	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
151	65, 150	eqsstrd 3434	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )
152		tgfiss 19942	. . 3 |- ( ( ( S ^ko R ) e. Top /\ ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
153	56, 151, 152	syl2anc 665	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
154	55, 153	eqsstrd 3434	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1657   e. wcel 1872   {cab 2408   A.wral 2708   E.wrex 2709   {crab 2712   _Vcvv 3016   \ cdif 3369   u. cun 3370   i^i cin 3371   C_ wss 3372   ~Pcpw 3917   {csn 3934   U.cuni 4155   |-> cmpt 4418   X. cxp 4787   `'ccnv 4788   ran crn 4790   |` cres 4791   "cima 4792   Fn wfn 5532   -->wf 5533   ` cfv 5537  (class class class)co 6242   |-> cmpt2 6244   ^m cmap 7420   X_cixp 7470   Fincfn 7517   ficfi 7870   ↾_t crest 15255   topGenctg 15272   Xt_cpt 15273   Topctop 19852  TopOnctopon 19853   Cn ccn 20175   Compccmp 20336   ^ko cxko 20511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7871  df-rest 15257  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-cn 20178  df-cmp 20337  df-xko 20513

This theorem is referenced by:  xkopt  20605  xkopjcn  20606