Theorem xkoptsub 20717

Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoptsub.x	|- X = U. R
xkoptsub.j	|- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )

Assertion

Ref	Expression
xkoptsub	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Proof of Theorem xkoptsub

Dummy variables f g k n u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkoptsub.j	. . . . 5 |- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )
2		xkoptsub.x	. . . . . . . . 9 |- X = U. R
3	2	topopn 19984	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
4	3	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X e. R )
5		fconstg 5792	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Top -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
6	5	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
7		ffn 5750	. . . . . . . 8 |- ( ( X X. { S } ) : X --> { S } -> ( X X. { S } ) Fn X )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) Fn X )
9		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) }
10	9	ptval 20633	. . . . . . 7 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) Fn X ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
11	4, 8, 10	syl2anc 671	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
12		simpr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
13	12	snssd 4129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { S } C_ Top )
14	6, 13	fssd 5760	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
15		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n )
16	9, 15	ptbasfi 20644	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) : X --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
17	4, 14, 16	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
18		fvconst2g 6141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
19	18	adantll 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
20	19	unieqd 4221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = U. S )
21	20	ixpeq2dva 7562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. S )
22		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. S = U. S
23	22	topopn 19984	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
24		ixpconstg 7556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. R /\ U. S e. S ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
25	3, 23, 24	syl2an 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
26	21, 25	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
27	26	sneqd 3991	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } = { ( U. S ^m X ) } )
28		eqid 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- X = X
29		fvconst2g 6141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
30	29	adantll 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
31	26	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
32	31	mpteq1d 4497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
33	32	cnveqd 5028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
34	33	imaeq1d 5185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
35	34	ralrimivw 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
36	30, 35	jca 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
37	36	ralrimiva 2813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
38		mpt2eq123 6376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X = X /\ A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
39	28, 37, 38	sylancr 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
40	39	rneqd 5080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
41	27, 40	uneq12d 3600	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
42	41	fveq2d 5891	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
43	17, 42	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
44	43	fveq2d 5891	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
45	11, 44	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
46	1, 45	syl5eq 2507	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> J = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
47	46	oveq1d 6329	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
48		firest 15379	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
49	48	fveq2i 5890	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
50		fvex 5897	. . . . 5 |- ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V
51		ovex 6342	. . . . 5 |- ( R Cn S ) e. _V
52		tgrest 20223	. . . . 5 |- ( ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
53	50, 51, 52	mp2an 683	. . . 4 |- ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
54	49, 53	eqtri 2483	. . 3 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
55	47, 54	syl6eqr 2513	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) )
56		xkotop 20651	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
57		snex 4654	. . . . . 6 |- { ( U. S ^m X ) } e. _V
58		mpt2exga 6895	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. R /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
59	3, 58	sylan 478	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
60		rnexg 6751	. . . . . . 7 |- ( ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
62		unexg 6618	. . . . . 6 |- ( ( { ( U. S ^m X ) } e. _V /\ ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
63	57, 61, 62	sylancr 674	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
64		restval 15373	. . . . 5 |- ( ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
65	63, 51, 64	sylancl 673	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
66		elun 3585	. . . . . . 7 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) <-> ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
67	2, 22	cnf 20310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( R Cn S ) -> x : X --> U. S )
68		elmapg 7510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U. S e. S /\ X e. R ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
69	23, 3, 68	syl2anr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
70	67, 69	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( R Cn S ) -> x e. ( U. S ^m X ) ) )
71	70	ssrdv 3449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
72	71	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
73		elsni 4004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { ( U. S ^m X ) } -> x = ( U. S ^m X ) )
74	73	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> x = ( U. S ^m X ) )
75	72, 74	sseqtr4d 3480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ x )
76		dfss1 3648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Cn S ) C_ x <-> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
77	75, 76	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
78		eqid 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
79	78	xkouni 20662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
80		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
81	80	topopn 19984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ^ko R ) e. Top -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
82	56, 81	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
83	79, 82	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
84	83	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
85	77, 84	eqeltrd 2539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
86		eqid 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
87	86	rnmpt2 6432	. . . . . . . . . 10 |- ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = { x | E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) }
88	87	abeq2i 2573	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) <-> E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
89		cnvresima 5342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) )
90	71	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
91	90	resmptd 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
92	91	cnveqd 5028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
93	92	imaeq1d 5185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
94	89, 93	syl5eqr 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
95		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w ` k ) e. _V
96	95	rgenw 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V
97		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) )
98	97	fnmpt 5725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
99	96, 98	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
100		elpreima 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
102		fveq1 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
103		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` k ) e. _V
104	102, 97, 103	fvmpt 5970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( R Cn S ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
105	104	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
106	105	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
107	103	snss 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f ` k ) e. u <-> { ( f ` k ) } C_ u )
108	90	sselda 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f e. ( U. S ^m X ) )
109		elmapi 7518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. ( U. S ^m X ) -> f : X --> U. S )
110		ffn 5750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : X --> U. S -> f Fn X )
111	108, 109, 110	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f Fn X )
112		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> k e. X )
113		fnsnfv 5947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f Fn X /\ k e. X ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
114	111, 112, 113	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
115	114	sseq1d 3470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( { ( f ` k ) } C_ u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
116	107, 115	syl5bb 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( f ` k ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
117	106, 116	bitrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
118	117	pm5.32da 651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
119	101, 118	bitrd 261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
120	119	abbi2dv 2580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) } )
121		df-rab 2757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) }
122	120, 121	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
123	94, 122	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
124		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. Top )
125	12	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> S e. Top )
126		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> k e. X )
127	126	snssd 4129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { k } C_ X )
128	2	toptopon 19996	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
129	124, 128	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. (TopOn ` X ) )
130		restsn2 20235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ k e. X ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
131	129, 126, 130	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
132		snfi 7675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { k } e. Fin
133		discmp 20461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { k } e. Fin <-> ~P { k } e. Comp )
134	132, 133	mpbi 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~P { k } e. Comp
135	131, 134	syl6eqel 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) e. Comp )
136		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> u e. S )
137	2, 124, 125, 127, 135, 136	xkoopn 20652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } e. ( S ^ko R ) )
138	123, 137	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
139		ineq1 3638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) )
140	139	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) <-> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
141	138, 140	syl5ibrcom 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
142	141	rexlimdvva 2897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
143	142	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
144	88, 143	sylan2b 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
145	85, 144	jaodan 799	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
146	66, 145	sylan2b 482	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
147		eqid 2461	. . . . . 6 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) = ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) )
148	146, 147	fmptd 6068	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) )
149		frn 5757	. . . . 5 |- ( ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
150	148, 149	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
151	65, 150	eqsstrd 3477	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )
152		tgfiss 20055	. . 3 |- ( ( ( S ^ko R ) e. Top /\ ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
153	56, 151, 152	syl2anc 671	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
154	55, 153	eqsstrd 3477	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   E.wex 1673   e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056   \ cdif 3412   u. cun 3413   i^i cin 3414   C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   {csn 3979   U.cuni 4211   |-> cmpt 4474   X. cxp 4850   `'ccnv 4851   ran crn 4853   |` cres 4854   "cima 4855   Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   |-> cmpt2 6316   ^m cmap 7497   X_cixp 7547   Fincfn 7594   ficfi 7949   ↾_t crest 15367   topGenctg 15384   Xt_cpt 15385   Topctop 19965  TopOnctopon 19966   Cn ccn 20288   Compccmp 20449   ^ko cxko 20624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cn 20291  df-cmp 20450  df-xko 20626

This theorem is referenced by:  xkopt  20718  xkopjcn  20719