Theorem xkoptsub 19890

Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoptsub.x	|- X = U. R
xkoptsub.j	|- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )

Assertion

Ref	Expression
xkoptsub	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Proof of Theorem xkoptsub

Dummy variables f g k n u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xkoptsub.j	. . . . 5 |- J = ( Xt_ ` ( X X. { S } ) )
2		xkoptsub.x	. . . . . . . . 9 |- X = U. R
3	2	topopn 19182	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
4	3	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X e. R )
5		fconstg 5770	. . . . . . . . 9 |- ( S e. Top -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
6	5	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> { S } )
7		ffn 5729	. . . . . . . 8 |- ( ( X X. { S } ) : X --> { S } -> ( X X. { S } ) Fn X )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) Fn X )
9		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) }
10	9	ptval 19806	. . . . . . 7 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) Fn X ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
11	4, 8, 10	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) )
12		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> S e. Top )
13	12	snssd 4172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { S } C_ Top )
14		fss 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X X. { S } ) : X --> { S } /\ { S } C_ Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
15	6, 13, 14	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. { S } ) : X --> Top )
16		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n )
17	9, 16	ptbasfi 19817	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. R /\ ( X X. { S } ) : X --> Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
18	4, 15, 17	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
19		fvconst2g 6112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
20	19	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` n ) = S )
21	20	unieqd 4255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ n e. X ) -> U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = U. S )
22	21	ixpeq2dva 7481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = X_ n e. X U. S )
23		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. S = U. S
24	23	topopn 19182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. Top -> U. S e. S )
25		ixpconstg 7475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. R /\ U. S e. S ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
26	3, 24, 25	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. S = ( U. S ^m X ) )
27	22, 26	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
28	27	sneqd 4039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } = { ( U. S ^m X ) } )
29		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- X = X
30		fvconst2g 6112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Top /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
31	30	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( X X. { S } ) ` k ) = S )
32	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) = ( U. S ^m X ) )
33	32	mpteq1d 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
34	33	cnveqd 5176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) = `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) )
35	34	imaeq1d 5334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
36	35	ralrimivw 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
37	31, 36	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ k e. X ) -> ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
38	37	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
39		mpt2eq123 6338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X = X /\ A. k e. X ( ( ( X X. { S } ) ` k ) = S /\ A. u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
40	29, 38, 39	sylancr 663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
41	40	rneqd 5228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) )
42	28, 41	uneq12d 3659	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) = ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
43	42	fveq2d 5868	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( fi ` ( { X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) } u. ran ( k e. X , u e. ( ( X X. { S } ) ` k ) |-> ( `' ( w e. X_ n e. X U. ( ( X X. { S } ) ` n ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
44	18, 43	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } = ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) )
45	44	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn X /\ A. y e. X ( g ` y ) e. ( ( X X. { S } ) ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( X \ z ) ( g ` y ) = U. ( ( X X. { S } ) ` y ) ) /\ x = X_ y e. X ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
46	11, 45	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( Xt_ ` ( X X. { S } ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
47	1, 46	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> J = ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
48	47	oveq1d 6297	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
49		firest 14684	. . . . 5 |- ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
50	49	fveq2i 5867	. . . 4 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
51		fvex 5874	. . . . 5 |- ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V
52		ovex 6307	. . . . 5 |- ( R Cn S ) e. _V
53		tgrest 19426	. . . . 5 |- ( ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) )
54	51, 52, 53	mp2an 672	. . . 4 |- ( topGen ` ( ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
55	50, 54	eqtri 2496	. . 3 |- ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) = ( ( topGen ` ( fi ` ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) ) ↾t ( R Cn S ) )
56	48, 55	syl6eqr 2526	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) = ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) )
57		xkotop 19824	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
58		snex 4688	. . . . . 6 |- { ( U. S ^m X ) } e. _V
59		mpt2exga 6856	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. R /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
60	3, 59	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
61		rnexg 6713	. . . . . . 7 |- ( ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
62	60, 61	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V )
63		unexg 6583	. . . . . 6 |- ( ( { ( U. S ^m X ) } e. _V /\ ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) e. _V ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
64	58, 62, 63	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
65		restval 14678	. . . . 5 |- ( ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) e. _V /\ ( R Cn S ) e. _V ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
66	64, 52, 65	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) = ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) )
67		elun 3645	. . . . . . 7 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) <-> ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) )
68	2, 23	cnf 19513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( R Cn S ) -> x : X --> U. S )
69		elmapg 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U. S e. S /\ X e. R ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
70	24, 3, 69	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( U. S ^m X ) <-> x : X --> U. S ) )
71	68, 70	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( R Cn S ) -> x e. ( U. S ^m X ) ) )
72	71	ssrdv 3510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
74		elsni 4052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. { ( U. S ^m X ) } -> x = ( U. S ^m X ) )
75	74	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> x = ( U. S ^m X ) )
76	73, 75	sseqtr4d 3541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) C_ x )
77		dfss1 3703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Cn S ) C_ x <-> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
78	76, 77	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( R Cn S ) )
79		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
80	79	xkouni 19835	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
81		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
82	81	topopn 19182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S ^ko R ) e. Top -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
83	57, 82	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. ( S ^ko R ) e. ( S ^ko R ) )
84	80, 83	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
85	84	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( R Cn S ) e. ( S ^ko R ) )
86	78, 85	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. { ( U. S ^m X ) } ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
87		eqid 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
88	87	rnmpt2 6394	. . . . . . . . . 10 |- ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) = { x | E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) }
89	88	abeq2i 2594	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) <-> E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
90		cnvresima 5494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) )
91	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) )
92		resmpt 5321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R Cn S ) C_ ( U. S ^m X ) -> ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
94	93	cnveqd 5176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) = `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) )
95	94	imaeq1d 5334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) |` ( R Cn S ) ) " u ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
96	90, 95	syl5eqr 2522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) )
97		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w ` k ) e. _V
98	97	rgenw 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V
99		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) = ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) )
100	99	fnmpt 5705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. w e. ( R Cn S ) ( w ` k ) e. _V -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
101	98, 100	mp1i 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) )
102		elpreima 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) Fn ( R Cn S ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
103	101, 102	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) ) )
104		fveq1 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = f -> ( w ` k ) = ( f ` k ) )
105		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f ` k ) e. _V
106	104, 99, 105	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( f e. ( R Cn S ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
107	106	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) = ( f ` k ) )
108	107	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f ` k ) e. u ) )
109	105	snss 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f ` k ) e. u <-> { ( f ` k ) } C_ u )
110	91	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f e. ( U. S ^m X ) )
111		elmapi 7437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. ( U. S ^m X ) -> f : X --> U. S )
112		ffn 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f : X --> U. S -> f Fn X )
113	110, 111, 112	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> f Fn X )
114		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> k e. X )
115		fnsnfv 5925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( f Fn X /\ k e. X ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
116	113, 114, 115	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> { ( f ` k ) } = ( f " { k } ) )
117	116	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( { ( f ` k ) } C_ u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
118	109, 117	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( f ` k ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
119	108, 118	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) /\ f e. ( R Cn S ) ) -> ( ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u <-> ( f " { k } ) C_ u ) )
120	119	pm5.32da 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ ( ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) ` f ) e. u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
121	103, 120	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( f e. ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) ) )
122	121	abbi2dv 2604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) } )
123		df-rab 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } = { f | ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { k } ) C_ u ) }
124	122, 123	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( `' ( w e. ( R Cn S ) |-> ( w ` k ) ) " u ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
125	96, 124	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) = { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } )
126		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. Top )
127	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> S e. Top )
128		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> k e. X )
129	128	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { k } C_ X )
130	2	toptopon 19201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` X ) )
131	126, 130	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> R e. (TopOn ` X ) )
132		restsn2 19438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ k e. X ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
133	131, 128, 132	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) = ~P { k } )
134		snfi 7593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { k } e. Fin
135		discmp 19664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { k } e. Fin <-> ~P { k } e. Comp )
136	134, 135	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ~P { k } e. Comp
137	133, 136	syl6eqel 2563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( R ↾t { k } ) e. Comp )
138		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> u e. S )
139	2, 126, 127, 129, 137, 138	xkoopn 19825	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " { k } ) C_ u } e. ( S ^ko R ) )
140	125, 139	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
141		ineq1 3693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) = ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) )
142	141	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) <-> ( ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
143	140, 142	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( k e. X /\ u e. S ) ) -> ( x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
144	143	rexlimdvva 2962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) ) )
145	144	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ E. k e. X E. u e. S x = ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
146	89, 145	sylan2b 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
147	86, 146	jaodan 783	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ ( x e. { ( U. S ^m X ) } \/ x e. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
148	67, 147	sylan2b 475	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Top ) /\ x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ) -> ( x i^i ( R Cn S ) ) e. ( S ^ko R ) )
149		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) = ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) )
150	148, 149	fmptd 6043	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) )
151		frn 5735	. . . . 5 |- ( ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) : ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) --> ( S ^ko R ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
152	150, 151	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( x e. ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) |-> ( x i^i ( R Cn S ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
153	66, 152	eqsstrd 3538	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )
154		tgfiss 19259	. . 3 |- ( ( ( S ^ko R ) e. Top /\ ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
155	57, 153, 154	syl2anc 661	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ( fi ` ( ( { ( U. S ^m X ) } u. ran ( k e. X , u e. S |-> ( `' ( w e. ( U. S ^m X ) |-> ( w ` k ) ) " u ) ) ) ↾t ( R Cn S ) ) ) ) C_ ( S ^ko R ) )
156	56, 155	eqsstrd 3538	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( J ↾t ( R Cn S ) ) C_ ( S ^ko R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   `'ccnv 4998   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   ^m cmap 7417   X_cixp 7466   Fincfn 7513   ficfi 7866   ↾_t crest 14672   topGenctg 14689   Xt_cpt 14690   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   Cn ccn 19491   Compccmp 19652   ^ko cxko 19797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494  df-cmp 19653  df-xko 19799

This theorem is referenced by:  xkopt  19891  xkopjcn  19892