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Theorem xkoptsub 20280
Description: The compact-open topology is finer than the product topology restricted to continuous functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoptsub.x  |-  X  = 
U. R
xkoptsub.j  |-  J  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
Assertion
Ref Expression
xkoptsub  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )

Proof of Theorem xkoptsub
Dummy variables  f 
g  k  n  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkoptsub.j . . . . 5  |-  J  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
2 xkoptsub.x . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. R
32topopn 19541 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  X  e.  R )
5 fconstg 5778 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  Top  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> { S } )
65adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> { S } )
7 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  X.  { S } ) : X --> { S }  ->  ( X  X.  { S }
)  Fn  X )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } )  Fn  X
)
9 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) }  =  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }
109ptval 20196 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } )  Fn  X
)  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } ) )
114, 8, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  =  (
topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } ) )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  S  e.  Top )
1312snssd 4177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { S }  C_  Top )
146, 13fssd 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )
15 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  =  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)
169, 15ptbasfi 20207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) }  =  ( fi `  ( {
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
174, 14, 16syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }  =  ( fi `  ( { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) ) )
18 fvconst2g 6126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Top  /\  n  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  S )
1918adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  n  e.  X
)  ->  ( ( X  X.  { S }
) `  n )  =  S )
2019unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  n  e.  X
)  ->  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  =  U. S
)
2120ixpeq2dva 7503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  X_ n  e.  X  U. S )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. S  =  U. S
2322topopn 19541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  S )
24 ixpconstg 7497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  R  /\  U. S  e.  S )  ->  X_ n  e.  X  U. S  =  ( U. S  ^m  X ) )
253, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. S  =  ( U. S  ^m  X ) )
2621, 25eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  -> 
X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  =  ( U. S  ^m  X
) )
2726sneqd 4044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
) }  =  {
( U. S  ^m  X ) } )
28 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  X
29 fvconst2g 6126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Top  /\  k  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  =  S )
3029adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( ( X  X.  { S }
) `  k )  =  S )
3126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n
)  =  ( U. S  ^m  X ) )
3231mpteq1d 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) ) )
3332cnveqd 5188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  `' (
w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) )  =  `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) ) )
3433imaeq1d 5346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
3534ralrimivw 2872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
3630, 35jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
( X  X.  { S } ) `  k
)  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k
) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
3736ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  A. k  e.  X  ( ( ( X  X.  { S }
) `  k )  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
38 mpt2eq123 6355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  X  /\  A. k  e.  X  ( ( ( X  X.  { S } ) `  k )  =  S  /\  A. u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k ) ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u ) ) )
3928, 37, 38sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )
4039rneqd 5240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  k )  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )
4127, 40uneq12d 3655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( { X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  =  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )
4241fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( fi `  ( { X_ n  e.  X  U. ( ( X  X.  { S } ) `  n ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  (
( X  X.  { S } ) `  k
)  |->  ( `' ( w  e.  X_ n  e.  X  U. (
( X  X.  { S } ) `  n
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  =  ( fi
`  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
4317, 42eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  (
g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S } ) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X  \  z
) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y ) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y ) ) }  =  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )
4443fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  { x  |  E. g ( ( g  Fn  X  /\  A. y  e.  X  ( g `  y )  e.  ( ( X  X.  { S }
) `  y )  /\  E. z  e.  Fin  A. y  e.  ( X 
\  z ) ( g `  y )  =  U. ( ( X  X.  { S } ) `  y
) )  /\  x  =  X_ y  e.  X  ( g `  y
) ) } )  =  ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
4511, 44eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  =  (
topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
461, 45syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  J  =  ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) ) )
4746oveq1d 6311 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
48 firest 14849 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) )  =  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
4948fveq2i 5875 . . . 4  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )  =  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
50 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( fi
`  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  e.  _V
51 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
52 tgrest 19786 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  e.  _V  /\  ( R  Cn  S
)  e.  _V )  ->  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
5350, 51, 52mp2an 672 . . . 4  |-  ( topGen `  ( ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5449, 53eqtri 2486 . . 3  |-  ( topGen `  ( fi `  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )  =  ( ( topGen `  ( fi `  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) ) )t  ( R  Cn  S ) )
5547, 54syl6eqr 2516 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  =  ( topGen `  ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) )
56 xkotop 20214 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
57 snex 4697 . . . . . 6  |-  { ( U. S  ^m  X
) }  e.  _V
58 mpt2exga 6875 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  R  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
593, 58sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
60 rnexg 6731 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  e.  _V )
6159, 60syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u ) )  e.  _V )
62 unexg 6600 . . . . . 6  |-  ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  e.  _V  /\  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  e. 
_V )  ->  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  e.  _V )
6357, 61, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  e.  _V )
64 restval 14843 . . . . 5  |-  ( ( ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )  e.  _V  /\  ( R  Cn  S )  e. 
_V )  ->  (
( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) )t  ( R  Cn  S ) )  =  ran  (
x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) )
6563, 51, 64sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  =  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) )
66 elun 3641 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  <->  ( x  e. 
{ ( U. S  ^m  X ) }  \/  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )
672, 22cnf 19873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( R  Cn  S )  ->  x : X --> U. S )
68 elmapg 7451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  X  e.  R
)  ->  ( x  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  x : X
--> U. S ) )
6923, 3, 68syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( U. S  ^m  X
)  <->  x : X --> U. S ) )
7067, 69syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( R  Cn  S )  ->  x  e.  ( U. S  ^m  X
) ) )
7170ssrdv 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  C_  ( U. S  ^m  X ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  C_  ( U. S  ^m  X ) )
73 elsni 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { ( U. S  ^m  X ) }  ->  x  =  ( U. S  ^m  X
) )
7473adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  ->  x  =  ( U. S  ^m  X ) )
7572, 74sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  C_  x )
76 dfss1 3699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  Cn  S ) 
C_  x  <->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( R  Cn  S ) )
7775, 76sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  =  ( R  Cn  S ) )
78 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
7978xkouni 20225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
80 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( S  ^ko  R )
8180topopn 19541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  ^ko  R )  e.  Top  ->  U. ( S  ^ko  R )  e.  ( S  ^ko  R ) )
8256, 81syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. ( S  ^ko  R )  e.  ( S  ^ko  R ) )
8379, 82eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
8483adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( R  Cn  S
)  e.  ( S  ^ko  R ) )
8577, 84eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  { ( U. S  ^m  X
) } )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
86 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  =  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
8786rnmpt2 6411 . . . . . . . . . 10  |-  ran  (
k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )  =  { x  |  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) }
8887abeq2i 2584 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )  <->  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) )
89 cnvresima 5502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) ) " u
)  =  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )
9071adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( R  Cn  S )  C_  ( U. S  ^m  X
) )
9190resmptd 5335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9291cnveqd 5188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  `' ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) )
9392imaeq1d 5346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )  |`  ( R  Cn  S
) ) " u
)  =  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) )
9489, 93syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) )
95 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w `
 k )  e. 
_V
9695rgenw 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A. w  e.  ( R  Cn  S
) ( w `  k )  e.  _V
97 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `
 k ) )  =  ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) )
9897fnmpt 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. w  e.  ( R  Cn  S ) ( w `
 k )  e. 
_V  ->  ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S
) )
9996, 98mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S ) )
100 elpreima 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) )  Fn  ( R  Cn  S )  -> 
( f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u ) ) )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( (
w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u ) ) )
102 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  f  ->  (
w `  k )  =  ( f `  k ) )
103 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f `
 k )  e. 
_V
104102, 97, 103fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  (
( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) `  f
)  =  ( f `
 k ) )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) `  f
)  =  ( f `
 k ) )
106105eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u  <->  ( f `  k )  e.  u ) )
107103snss 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f `  k )  e.  u  <->  { (
f `  k ) }  C_  u )
10890sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  f  e.  ( U. S  ^m  X ) )
109 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  ( U. S  ^m  X )  ->  f : X --> U. S )
110 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f : X --> U. S  ->  f  Fn  X )
111108, 109, 1103syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  f  Fn  X )
112 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  k  e.  X )
113 fnsnfv 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  Fn  X  /\  k  e.  X )  ->  { ( f `  k ) }  =  ( f " {
k } ) )
114111, 112, 113syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  { ( f `  k ) }  =  ( f
" { k } ) )
115114sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( { ( f `  k ) }  C_  u 
<->  ( f " {
k } )  C_  u ) )
116107, 115syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( f `  k
)  e.  u  <->  ( f " { k } ) 
C_  u ) )
117106, 116bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Top )  /\  (
k  e.  X  /\  u  e.  S )
)  /\  f  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) `  f )  e.  u  <->  ( f " { k } )  C_  u
) )
118117pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( ( w  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( w `
 k ) ) `
 f )  e.  u )  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) ) )
119101, 118bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
f  e.  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
)  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) ) )
120119abbi2dv 2594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  {
f  |  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
f " { k } )  C_  u
) } )
121 df-rab 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " { k } )  C_  u }  =  { f  |  ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( f " { k } ) 
C_  u ) }
122120, 121syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( `' ( w  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " {
k } )  C_  u } )
12394, 122eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " {
k } )  C_  u } )
124 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  R  e.  Top )
12512adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  S  e.  Top )
126 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  k  e.  X )
127126snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  { k }  C_  X )
1282toptopon 19560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  X ) )
129124, 128sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
130 restsn2 19798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  k  e.  X )  ->  ( Rt  { k } )  =  ~P { k } )
131129, 126, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( Rt  { k } )  =  ~P { k } )
132 snfi 7615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { k }  e.  Fin
133 discmp 20024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { k }  e.  Fin  <->  ~P { k }  e.  Comp )
134132, 133mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ~P {
k }  e.  Comp
135131, 134syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  ( Rt  { k } )  e.  Comp )
136 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  u  e.  S )
1372, 124, 125, 127, 135, 136xkoopn 20215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " { k } )  C_  u }  e.  ( S  ^ko  R ) )
138123, 137eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
139 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  =  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) ) )
140139eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `  k ) ) " u )  ->  ( ( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R )  <->  ( ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
141138, 140syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( k  e.  X  /\  u  e.  S
) )  ->  (
x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
142141rexlimdvva 2956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u )  -> 
( x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
143142imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  E. k  e.  X  E. u  e.  S  x  =  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X ) 
|->  ( w `  k
) ) " u
) )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14488, 143sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14585, 144jaodan 785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  ( x  e.  {
( U. S  ^m  X ) }  \/  x  e.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) )  ->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
14666, 145sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  /\  x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) ) )  ->  (
x  i^i  ( R  Cn  S ) )  e.  ( S  ^ko  R ) )
147 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )  =  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )
148146, 147fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) : ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) --> ( S  ^ko  R ) )
149 frn 5743 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) ) : ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) --> ( S  ^ko  R )  ->  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )  |->  ( x  i^i  ( R  Cn  S
) ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
150148, 149syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ran  ( x  e.  ( { ( U. S  ^m  X ) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X
)  |->  ( w `  k ) ) "
u ) ) ) 
|->  ( x  i^i  ( R  Cn  S ) ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
15165, 150eqsstrd 3533 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
152 tgfiss 19619 . . 3  |-  ( ( ( S  ^ko  R )  e.  Top  /\  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )  ->  ( topGen `
 ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) 
C_  ( S  ^ko  R ) )
15356, 151, 152syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( topGen `  ( fi `  ( ( { ( U. S  ^m  X
) }  u.  ran  ( k  e.  X ,  u  e.  S  |->  ( `' ( w  e.  ( U. S  ^m  X )  |->  ( w `
 k ) )
" u ) ) )t  ( R  Cn  S
) ) ) ) 
C_  ( S  ^ko  R ) )
15455, 153eqsstrd 3533 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( Jt  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ^m cmap 7438   X_cixp 7488   Fincfn 7535   ficfi 7888   ↾t crest 14837   topGenctg 14854   Xt_cpt 14855   Topctop 19520  TopOnctopon 19521    Cn ccn 19851   Compccmp 20012    ^ko cxko 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cn 19854  df-cmp 20013  df-xko 20189
This theorem is referenced by:  xkopt  20281  xkopjcn  20282
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