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Theorem xkopt 19919
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 19291 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ~P A  e.  Top )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  e.  Top )
4 unipw 4697 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
54eqcomi 2480 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
6 eqid 2467 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }
7 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
85, 6, 7xkoval 19851 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
10 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
11 fconst6g 5774 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  ( A  X.  { R }
) : A --> Top )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )
13 pttop 19846 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e. 
Top )
1410, 12, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top )
15 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
16 restdis 19473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  C_  A )  -> 
( ~P At  x )  =  ~P x )
1715, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1817adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1918eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  ~P x  e.  Comp ) )
20 discmp 19692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Comp )
2119, 20syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  x  e.  Fin ) )
2221rabbidva 3104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  x  e.  Fin } )
23 dfin5 3484 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  { x  e.  ~P A  |  x  e.  Fin }
2422, 23syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
25 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  =  R )
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  U. R  =  U. R
2726toptopon 19229 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
28 cndis 19586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  (TopOn `  U. R ) )  -> 
( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A ) )
3027, 29sylanb 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
31 rabeq 3107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3324, 25, 32mpt2eq123dv 6343 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
3433rneqd 5230 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ran  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) )
35 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
3635rnmpt2 6396 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } }
3734, 36syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } } )
38 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( U. R  ^m  A )  ->  f : A --> U. R )
39 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( f `
 x )  e.  v  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( x  e.  A  ->  (
f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e.  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R ) ) ) )
4140bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( ( x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  v )  <-> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
42 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
f `  x )  e.  U. R  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4342imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) ) )
4443bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
45 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
4745, 46sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ~P A
)
4847elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  C_  A )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  A )
5049sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  A )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  k )
5250, 512thd 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  k ) )
5352imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
54 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A --> U. R  /\  x  e.  A
)  ->  ( f `  x )  e.  U. R )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A --> U. R  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e. 
U. R ) )
58 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  k  -> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) )
6057, 592thd 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
6141, 44, 53, 60ifbothda 3974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) )
6261ralbidv2 2899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
63 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  f  Fn  A )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
f  Fn  A )
65 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
6665elixp 7476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
6766baib 901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  e.  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) ) )
6864, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
69 ffun 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  Fun  f )
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  Fun  f )
71 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A --> U. R  ->  dom  f  =  A )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  dom  f  =  A
)
7349, 72sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  dom  f )
74 funimass4 5918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  f  /\  k  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7570, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7662, 68, 753bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7738, 76sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f  e.  ( U. R  ^m  A ) )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7877rabbi2dva 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
79 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  R  ->  v  C_ 
U. R )
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
v  C_  U. R )
81 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. R  C_ 
U. R
82 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( v  C_  U. R  <->  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R )  C_  U. R ) )
83 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( U. R  C_  U. R  <->  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  C_  U. R ) )
8482, 83ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  C_  U. R  /\  U. R  C_  U. R )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) 
C_  U. R )
8580, 81, 84sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
8685ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
87 ss2ixp 7482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R  -> 
X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A  e.  V )
90 uniexg 6581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  _V )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  U. R  e.  _V )
92 ixpconstg 7478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. R  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9488, 93sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A ) )
95 dfss1 3703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A )  <-> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9778, 96eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )
9811ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( A  X.  { R } ) : A --> Top )
99 inss2 3719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
10099, 46sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  Fin )
101 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  v  e.  R )
10226topopn 19210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  U. R  e.  R )
104 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  R  /\  U. R  e.  R )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  R )
105101, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  R
)
106 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  R  e.  Top )
107 fvconst2g 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { R } ) `  x )  =  R )
108106, 107sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
109105, 108eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  ( ( A  X.  { R } ) `  x
) )
110 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  -.  x  e.  k )
111 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  k  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
114 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  x  e.  A )
115114, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
116115unieqd 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  U. (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  U. R
)
117113, 116eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. ( ( A  X.  { R } ) `  x ) )
11889, 98, 100, 109, 117ptopn 19847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
11997, 118eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
120 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  <->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
121119, 120syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
122121rexlimdvva 2962 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
123122abssdv 3574 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12437, 123eqsstrd 3538 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
125 tgfiss 19287 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top  /\ 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12614, 124, 125syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1279, 126eqsstrd 3538 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
128 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )
129128, 26ptuniconst 19862 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  Top )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
130129ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
13130, 130eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
132131oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
133 eqid 2467 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )
134133restid 14689 . . . . 5  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e.  Top  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
13514, 134syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
136132, 135eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1375, 128xkoptsub 19918 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
1382, 3, 137syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
139136, 138eqsstr3d 3539 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
140127, 139eqssd 3521 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286    ^m cmap 7420   X_cixp 7469   Fincfn 7516   ficfi 7870   ↾t crest 14676   topGenctg 14693   Xt_cpt 14694   Topctop 19189  TopOnctopon 19190    Cn ccn 19519   Compccmp 19680    ^ko cxko 19825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cn 19522  df-cmp 19681  df-xko 19827
This theorem is referenced by:  tmdgsum  20357  tmdgsum2  20358  symgtgp  20363
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