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Theorem xkopt 19919
 Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 19291 . . . . 5
21adantl 466 . . . 4
3 simpl 457 . . . 4
4 unipw 4697 . . . . . 6
54eqcomi 2480 . . . . 5
6 eqid 2467 . . . . 5 t t
7 eqid 2467 . . . . 5 t t
85, 6, 7xkoval 19851 . . . 4 t
92, 3, 8syl2anc 661 . . 3 t
10 simpr 461 . . . . 5
11 fconst6g 5774 . . . . . 6
1211adantr 465 . . . . 5
13 pttop 19846 . . . . 5
1410, 12, 13syl2anc 661 . . . 4
15 elpwi 4019 . . . . . . . . . . . . . 14
16 restdis 19473 . . . . . . . . . . . . . 14 t
1715, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13 t
1817adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 t
1918eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11 t
20 discmp 19692 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10 t
2221rabbidva 3104 . . . . . . . . 9 t
23 dfin5 3484 . . . . . . . . 9
2422, 23syl6eqr 2526 . . . . . . . 8 t
25 eqidd 2468 . . . . . . . 8
26 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
2726toptopon 19229 . . . . . . . . . 10 TopOn
28 cndis 19586 . . . . . . . . . . 11 TopOn
2928ancoms 453 . . . . . . . . . 10 TopOn
3027, 29sylanb 472 . . . . . . . . 9
31 rabeq 3107 . . . . . . . . 9
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8
3324, 25, 32mpt2eq123dv 6343 . . . . . . 7 t
3433rneqd 5230 . . . . . 6 t
35 eqid 2467 . . . . . . 7
3635rnmpt2 6396 . . . . . 6
3734, 36syl6eq 2524 . . . . 5 t
38 elmapi 7440 . . . . . . . . . . . 12
39 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4140bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4342imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4745, 46sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4847elpwid 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5250, 512thd 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6057, 592thd 240 . . . . . . . . . . . . . . 15
6141, 44, 53, 60ifbothda 3974 . . . . . . . . . . . . . 14
6261ralbidv2 2899 . . . . . . . . . . . . 13
63 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . 15
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
65 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6665elixp 7476 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766baib 901 . . . . . . . . . . . . . 14
6864, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
69 ffun 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
71 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
7349, 72sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . 14
74 funimass4 5918 . . . . . . . . . . . . . 14
7570, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
7662, 68, 753bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12
7738, 76sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
7877rabbi2dva 3706 . . . . . . . . . 10
79 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
83 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8482, 83ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15
8580, 81, 84sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
8685ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . 13
87 ss2ixp 7482 . . . . . . . . . . . . 13
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13
90 uniexg 6581 . . . . . . . . . . . . . 14
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
92 ixpconstg 7478 . . . . . . . . . . . . 13
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
9488, 93sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . 11
95 dfss1 3703 . . . . . . . . . . 11
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . 10
9778, 96eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9
9811ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
99 inss2 3719 . . . . . . . . . . 11
10099, 46sseldi 3502 . . . . . . . . . 10
101 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12
10226topopn 19210 . . . . . . . . . . . . 13
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12
104 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . 12
105101, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
106 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
107 fvconst2g 6114 . . . . . . . . . . . 12
108106, 107sylan 471 . . . . . . . . . . 11
109105, 108eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . 10
110 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . 13
111 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . 13
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12
113112adantl 466 . . . . . . . . . . 11
114 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13
115114, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12
116115unieqd 4255 . . . . . . . . . . 11
117113, 116eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10
11889, 98, 100, 109, 117ptopn 19847 . . . . . . . . 9
11997, 118eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
120 eleq1 2539 . . . . . . . 8
121119, 120syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
122121rexlimdvva 2962 . . . . . 6
123122abssdv 3574 . . . . 5
12437, 123eqsstrd 3538 . . . 4 t
125 tgfiss 19287 . . . 4 t t
12614, 124, 125syl2anc 661 . . 3 t
1279, 126eqsstrd 3538 . 2
128 eqid 2467 . . . . . . . 8
129128, 26ptuniconst 19862 . . . . . . 7
130129ancoms 453 . . . . . 6
13130, 130eqtrd 2508 . . . . 5
132131oveq2d 6300 . . . 4 t t
133 eqid 2467 . . . . . 6
134133restid 14689 . . . . 5 t
13514, 134syl 16 . . . 4 t
136132, 135eqtrd 2508 . . 3 t
1375, 128xkoptsub 19918 . . . 4 t
1382, 3, 137syl2anc 661 . . 3 t
139136, 138eqsstr3d 3539 . 2
140127, 139eqssd 3521 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wral 2814  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   cin 3475   wss 3476  cif 3939  cpw 4010  csn 4027  cuni 4245   cxp 4997   cdm 4999   crn 5000  cima 5002   wfun 5582   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286   cmap 7420  cixp 7469  cfn 7516  cfi 7870   ↾t crest 14676  ctg 14693  cpt 14694  ctop 19189  TopOnctopon 19190   ccn 19519  ccmp 19680   cxko 19825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cn 19522  df-cmp 19681  df-xko 19827 This theorem is referenced by:  tmdgsum  20357  tmdgsum2  20358  symgtgp  20363
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