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Theorem xkopt 20601
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 19942 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
21adantl 467 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ~P A  e.  Top )
3 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  e.  Top )
4 unipw 4672 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
54eqcomi 2442 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
6 eqid 2429 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }
7 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
85, 6, 7xkoval 20533 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
10 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
11 fconst6g 5789 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  ( A  X.  { R }
) : A --> Top )
1211adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )
13 pttop 20528 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e. 
Top )
1410, 12, 13syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top )
15 elpwi 3994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
16 restdis 20125 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  C_  A )  -> 
( ~P At  x )  =  ~P x )
1715, 16sylan2 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1817adantll 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1918eleq1d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  ~P x  e.  Comp ) )
20 discmp 20344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Comp )
2119, 20syl6bbr 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  x  e.  Fin ) )
2221rabbidva 3078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  x  e.  Fin } )
23 dfin5 3450 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  { x  e.  ~P A  |  x  e.  Fin }
2422, 23syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
25 eqidd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  =  R )
26 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  U. R  =  U. R
2726toptopon 19879 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
28 cndis 20238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  (TopOn `  U. R ) )  -> 
( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
2928ancoms 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A ) )
3027, 29sylanb 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
31 rabeq 3081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3324, 25, 32mpt2eq123dv 6367 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
3433rneqd 5082 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ran  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) )
35 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
3635rnmpt2 6420 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } }
3734, 36syl6eq 2486 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } } )
38 elmapi 7501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( U. R  ^m  A )  ->  f : A --> U. R )
39 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( f `
 x )  e.  v  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4039imbi2d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( x  e.  A  ->  (
f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e.  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R ) ) ) )
4140bibi1d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( ( x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  v )  <-> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
42 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
f `  x )  e.  U. R  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4342imbi2d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) ) )
4443bibi1d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
45 inss1 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
46 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
4745, 46sseldi 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ~P A
)
4847elpwid 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  C_  A )
4948adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  A )
5049sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  A )
51 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  k )
5250, 512thd 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  k ) )
5352imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
54 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A --> U. R  /\  x  e.  A
)  ->  ( f `  x )  e.  U. R )
5554ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A --> U. R  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5655adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e. 
U. R ) )
58 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  k  -> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )
5958adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) )
6057, 592thd 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
6141, 44, 53, 60ifbothda 3950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) )
6261ralbidv2 2867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
63 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  f  Fn  A )
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
f  Fn  A )
65 vex 3090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
6665elixp 7537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
6766baib 911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  e.  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) ) )
6864, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
69 ffun 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  Fun  f )
7069adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  Fun  f )
71 fdm 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A --> U. R  ->  dom  f  =  A )
7271adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  dom  f  =  A
)
7349, 72sseqtr4d 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  dom  f )
74 funimass4 5932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  f  /\  k  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7570, 73, 74syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7662, 68, 753bitr4d 288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7738, 76sylan2 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f  e.  ( U. R  ^m  A ) )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7877rabbi2dva 3676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
79 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  R  ->  v  C_ 
U. R )
8079ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
v  C_  U. R )
81 ssid 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. R  C_ 
U. R
82 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( v  C_  U. R  <->  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R )  C_  U. R ) )
83 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( U. R  C_  U. R  <->  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  C_  U. R ) )
8482, 83ifboth 3951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  C_  U. R  /\  U. R  C_  U. R )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) 
C_  U. R )
8580, 81, 84sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
8685ralrimivw 2847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
87 ss2ixp 7543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R  -> 
X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
89 simplr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A  e.  V )
90 uniexg 6602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  _V )
9190ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  U. R  e.  _V )
92 ixpconstg 7539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. R  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9389, 91, 92syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9488, 93sseqtrd 3506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A ) )
95 dfss1 3673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A )  <-> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9694, 95sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9778, 96eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )
9811ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( A  X.  { R } ) : A --> Top )
99 inss2 3689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
10099, 46sseldi 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  Fin )
101 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  v  e.  R )
10226topopn 19867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
103102ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  U. R  e.  R )
104101, 103ifcld 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  R
)
105 simpll 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  R  e.  Top )
106 fvconst2g 6133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { R } ) `  x )  =  R )
107105, 106sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
108104, 107eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  ( ( A  X.  { R } ) `  x
) )
109 eldifn 3594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  -.  x  e.  k )
110109iffalsed 3926 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
111110adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
112 eldifi 3593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  x  e.  A )
113112, 107sylan2 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
114113unieqd 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  U. (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  U. R
)
115111, 114eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. ( ( A  X.  { R } ) `  x ) )
11689, 98, 100, 108, 115ptopn 20529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
11797, 116eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
118 eleq1 2501 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  <->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
119117, 118syl5ibrcom 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
120119rexlimdvva 2931 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
121120abssdv 3541 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12237, 121eqsstrd 3504 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
123 tgfiss 19938 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top  /\ 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12414, 122, 123syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1259, 124eqsstrd 3504 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
126 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )
127126, 26ptuniconst 20544 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  Top )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
128127ancoms 454 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12930, 128eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
130129oveq2d 6321 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
131 eqid 2429 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )
132131restid 15291 . . . . 5  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e.  Top  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
13314, 132syl 17 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
134130, 133eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1355, 126xkoptsub 20600 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
1362, 3, 135syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
137134, 136eqsstr3d 3505 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
138125, 137eqssd 3487 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   {cab 2414   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ifcif 3915   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222    X. cxp 4852   dom cdm 4854   ran crn 4855   "cima 4857   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307    ^m cmap 7480   X_cixp 7530   Fincfn 7577   ficfi 7930   ↾t crest 15278   topGenctg 15295   Xt_cpt 15296   Topctop 19848  TopOnctopon 19849    Cn ccn 20171   Compccmp 20332    ^ko cxko 20507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cn 20174  df-cmp 20333  df-xko 20509
This theorem is referenced by:  tmdgsum  21041  tmdgsum2  21042  symgtgp  21047
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