Theorem xkopt 19187

Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkopt	|- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Proof of Theorem xkopt

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 18559	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantl 463	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ~P A e. Top )
3		simpl 454	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R e. Top )
4		unipw 4539	. . . . . 6 |- U. ~P A = A
5	4	eqcomi 2445	. . . . 5 |- A = U. ~P A
6		eqid 2441	. . . . 5 |- { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp }
7		eqid 2441	. . . . 5 |- ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkoval 19119	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
10		simpr 458	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> A e. V )
11		fconst6g 5596	. . . . . 6 |- ( R e. Top -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
12	11	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
13		pttop 19114	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( A X. { R } ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
14	10, 12, 13	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
15		elpwi 3866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
16		restdis 18741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ x C_ A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
17	15, 16	sylan2 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
18	17	adantll 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
19	18	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> ~P x e. Comp ) )
20		discmp 18960	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Comp )
21	19, 20	syl6bbr 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> x e. Fin ) )
22	21	rabbidva 2961	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | x e. Fin } )
23		dfin5 3333	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = { x e. ~P A | x e. Fin }
24	22, 23	syl6eqr 2491	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = ( ~P A i^i Fin ) )
25		eqidd 2442	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R = R )
26		eqid 2441	. . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
27	26	toptopon 18497	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
28		cndis 18854	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ R e. (TopOn ` U. R ) ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
29	28	ancoms 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
30	27, 29	sylanb 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
31		rabeq 2964	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
33	24, 25, 32	mpt2eq123dv 6147	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
34	33	rneqd 5063	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
35		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
36	35	rnmpt2 6199	. . . . . 6 |- ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } }
37	34, 36	syl6eq 2489	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } )
38		elmapi 7230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( U. R ^m A ) -> f : A --> U. R )
39		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. v <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
40	39	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
41	40	bibi1d 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
42		eleq2 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. U. R <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
43	42	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
44	43	bibi1d 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
45		inss1 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
46		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ( ~P A i^i Fin ) )
47	45, 46	sseldi 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ~P A )
48	47	elpwid 3867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k C_ A )
49	48	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ A )
50	49	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. A )
51		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. k )
52	50, 51	2thd 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( x e. A <-> x e. k ) )
53	52	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
54		ffvelrn 5838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A --> U. R /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. U. R )
55	54	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A --> U. R -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
56	55	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
57	56	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
58		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. k -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
59	58	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
60	57, 59	2thd 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
61	41, 44, 53, 60	ifbothda 3821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
62	61	ralbidv2 2735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
63		ffn 5556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> f Fn A )
64	63	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> f Fn A )
65		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
66	65	elixp 7266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
67	66	baib 891	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn A -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
68	64, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
69		ffun 5558	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> Fun f )
70	69	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> Fun f )
71		fdm 5560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A --> U. R -> dom f = A )
72	71	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> dom f = A )
73	49, 72	sseqtr4d 3390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ dom f )
74		funimass4 5739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun f /\ k C_ dom f ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
75	70, 73, 74	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
76	62, 68, 75	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
77	38, 76	sylan2 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f e. ( U. R ^m A ) ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
78	77	rabbi2dva 3555	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
79		elssuni 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. R -> v C_ U. R )
80	79	ad2antll 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> v C_ U. R )
81		ssid 3372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. R C_ U. R
82		sseq1 3374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( v C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
83		sseq1 3374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( U. R C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
84	82, 83	ifboth 3822	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v C_ U. R /\ U. R C_ U. R ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
85	80, 81, 84	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
86	85	ralrimivw 2798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
87		ss2ixp 7272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
89		simplr 749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A e. V )
90		uniexg 6376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Top -> U. R e. _V )
91	90	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> U. R e. _V )
92		ixpconstg 7268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ U. R e. _V ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
94	88, 93	sseqtrd 3389	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) )
95		dfss1 3552	. . . . . . . . . . 11 |- ( X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) <-> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
96	94, 95	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
97	78, 96	eqtr3d 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
98	11	ad2antrr 720	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
99		inss2 3568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
100	99, 46	sseldi 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. Fin )
101		simplrr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> v e. R )
102	26	topopn 18478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Top -> U. R e. R )
103	102	ad3antrrr 724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> U. R e. R )
104		ifcl 3828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. R /\ U. R e. R ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. R )
105	101, 103, 104	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. R )
106		simpll 748	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> R e. Top )
107		fvconst2g 5928	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
108	106, 107	sylan 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
109	105, 108	eleqtrrd 2518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
110		eldifn 3476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> -. x e. k )
111		iffalse 3796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. k -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
112	110, 111	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ k ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
113	112	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
114		eldifi 3475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> x e. A )
115	114, 108	sylan2 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
116	115	unieqd 4098	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> U. ( ( A X. { R } ) ` x ) = U. R )
117	113, 116	eqtr4d 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
118	89, 98, 100, 109, 117	ptopn 19115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
119	97, 118	eqeltrd 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
120		eleq1 2501	. . . . . . . 8 |- ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> ( x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) <-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
121	119, 120	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
122	121	rexlimdvva 2846	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
123	122	abssdv 3423	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
124	37, 123	eqsstrd 3387	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
125		tgfiss 18555	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top /\ ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
126	14, 124, 125	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
127	9, 126	eqsstrd 3387	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
128		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
129	128, 26	ptuniconst 19130	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ R e. Top ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
130	129	ancoms 450	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
131	30, 130	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
132	131	oveq2d 6106	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
133		eqid 2441	. . . . . 6 |- U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
134	133	restid 14368	. . . . 5 |- ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
135	14, 134	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
136	132, 135	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
137	5, 128	xkoptsub 19186	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
138	2, 3, 137	syl2anc 656	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
139	136, 138	eqsstr3d 3388	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
140	127, 139	eqssd 3370	1 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   i^i cin 3324   C_ wss 3325   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   X. cxp 4834   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839   Fun wfun 5409   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   ^m cmap 7210   X_cixp 7259   Fincfn 7306   ficfi 7656   ↾_t crest 14355   topGenctg 14372   Xt_cpt 14373   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   Cn ccn 18787   Compccmp 18948   ^ko cxko 19093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790  df-cmp 18949  df-xko 19095

This theorem is referenced by:  tmdgsum  19625  tmdgsum2  19626  symgtgp  19631