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Theorem xkopt 20282
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 19624 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ~P A  e.  Top )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  e.  Top )
4 unipw 4706 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
54eqcomi 2470 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
6 eqid 2457 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }
7 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
85, 6, 7xkoval 20214 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
10 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
11 fconst6g 5780 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  ( A  X.  { R }
) : A --> Top )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )
13 pttop 20209 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e. 
Top )
1410, 12, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top )
15 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
16 restdis 19806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  C_  A )  -> 
( ~P At  x )  =  ~P x )
1715, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1817adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1918eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  ~P x  e.  Comp ) )
20 discmp 20025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Comp )
2119, 20syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  x  e.  Fin ) )
2221rabbidva 3100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  x  e.  Fin } )
23 dfin5 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  { x  e.  ~P A  |  x  e.  Fin }
2422, 23syl6eqr 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
25 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  =  R )
26 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  U. R  =  U. R
2726toptopon 19561 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
28 cndis 19919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  (TopOn `  U. R ) )  -> 
( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A ) )
3027, 29sylanb 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
31 rabeq 3103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3324, 25, 32mpt2eq123dv 6358 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
3433rneqd 5240 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ran  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) )
35 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
3635rnmpt2 6411 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } }
3734, 36syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } } )
38 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( U. R  ^m  A )  ->  f : A --> U. R )
39 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( f `
 x )  e.  v  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( x  e.  A  ->  (
f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e.  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R ) ) ) )
4140bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( ( x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  v )  <-> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
42 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
f `  x )  e.  U. R  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4342imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) ) )
4443bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
45 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
46 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
4745, 46sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ~P A
)
4847elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  C_  A )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  A )
5049sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  A )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  k )
5250, 512thd 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  k ) )
5352imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
54 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A --> U. R  /\  x  e.  A
)  ->  ( f `  x )  e.  U. R )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A --> U. R  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e. 
U. R ) )
58 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  k  -> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) )
6057, 592thd 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
6141, 44, 53, 60ifbothda 3979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) )
6261ralbidv2 2892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
63 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  f  Fn  A )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
f  Fn  A )
65 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
6665elixp 7495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
6766baib 903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  e.  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) ) )
6864, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
69 ffun 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  Fun  f )
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  Fun  f )
71 fdm 5741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A --> U. R  ->  dom  f  =  A )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  dom  f  =  A
)
7349, 72sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  dom  f )
74 funimass4 5924 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  f  /\  k  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7570, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7662, 68, 753bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7738, 76sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f  e.  ( U. R  ^m  A ) )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7877rabbi2dva 3702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
79 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  R  ->  v  C_ 
U. R )
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
v  C_  U. R )
81 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. R  C_ 
U. R
82 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( v  C_  U. R  <->  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R )  C_  U. R ) )
83 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( U. R  C_  U. R  <->  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  C_  U. R ) )
8482, 83ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  C_  U. R  /\  U. R  C_  U. R )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) 
C_  U. R )
8580, 81, 84sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
8685ralrimivw 2872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
87 ss2ixp 7501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R  -> 
X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
89 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A  e.  V )
90 uniexg 6596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  _V )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  U. R  e.  _V )
92 ixpconstg 7497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. R  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9488, 93sseqtrd 3535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A ) )
95 dfss1 3699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A )  <-> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9778, 96eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )
9811ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( A  X.  { R } ) : A --> Top )
99 inss2 3715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
10099, 46sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  Fin )
101 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  v  e.  R )
10226topopn 19542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  U. R  e.  R )
104101, 103ifcld 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  R
)
105 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  R  e.  Top )
106 fvconst2g 6126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { R } ) `  x )  =  R )
107105, 106sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
108104, 107eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  ( ( A  X.  { R } ) `  x
) )
109 eldifn 3623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  -.  x  e.  k )
110109iffalsed 3955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
112 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  x  e.  A )
113112, 107sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
114113unieqd 4261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  U. (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  U. R
)
115111, 114eqtr4d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. ( ( A  X.  { R } ) `  x ) )
11689, 98, 100, 108, 115ptopn 20210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
11797, 116eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
118 eleq1 2529 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  <->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
119117, 118syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
120119rexlimdvva 2956 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
121120abssdv 3570 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12237, 121eqsstrd 3533 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
123 tgfiss 19620 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top  /\ 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12414, 122, 123syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1259, 124eqsstrd 3533 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
126 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )
127126, 26ptuniconst 20225 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  Top )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
128127ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12930, 128eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
130129oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
131 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )
132131restid 14851 . . . . 5  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e.  Top  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
13314, 132syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
134130, 133eqtrd 2498 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1355, 126xkoptsub 20281 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
1362, 3, 135syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
137134, 136eqsstr3d 3534 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
138125, 137eqssd 3516 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ^m cmap 7438   X_cixp 7488   Fincfn 7535   ficfi 7888   ↾t crest 14838   topGenctg 14855   Xt_cpt 14856   Topctop 19521  TopOnctopon 19522    Cn ccn 19852   Compccmp 20013    ^ko cxko 20188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-cmp 20014  df-xko 20190
This theorem is referenced by:  tmdgsum  20720  tmdgsum2  20721  symgtgp  20726
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