Theorem xkopt 20282

Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkopt	|- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Proof of Theorem xkopt

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 19624	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantl 466	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ~P A e. Top )
3		simpl 457	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R e. Top )
4		unipw 4706	. . . . . 6 |- U. ~P A = A
5	4	eqcomi 2470	. . . . 5 |- A = U. ~P A
6		eqid 2457	. . . . 5 |- { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp }
7		eqid 2457	. . . . 5 |- ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkoval 20214	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
10		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> A e. V )
11		fconst6g 5780	. . . . . 6 |- ( R e. Top -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
12	11	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
13		pttop 20209	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( A X. { R } ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
14	10, 12, 13	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
15		elpwi 4024	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
16		restdis 19806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ x C_ A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
17	15, 16	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
18	17	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
19	18	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> ~P x e. Comp ) )
20		discmp 20025	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Comp )
21	19, 20	syl6bbr 263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> x e. Fin ) )
22	21	rabbidva 3100	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | x e. Fin } )
23		dfin5 3479	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = { x e. ~P A | x e. Fin }
24	22, 23	syl6eqr 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = ( ~P A i^i Fin ) )
25		eqidd 2458	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R = R )
26		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
27	26	toptopon 19561	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
28		cndis 19919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ R e. (TopOn ` U. R ) ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
29	28	ancoms 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
30	27, 29	sylanb 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
31		rabeq 3103	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
33	24, 25, 32	mpt2eq123dv 6358	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
34	33	rneqd 5240	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
35		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
36	35	rnmpt2 6411	. . . . . 6 |- ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } }
37	34, 36	syl6eq 2514	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } )
38		elmapi 7459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( U. R ^m A ) -> f : A --> U. R )
39		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. v <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
40	39	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
41	40	bibi1d 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
42		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. U. R <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
43	42	imbi2d 316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
44	43	bibi1d 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
45		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
46		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ( ~P A i^i Fin ) )
47	45, 46	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ~P A )
48	47	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k C_ A )
49	48	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ A )
50	49	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. A )
51		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. k )
52	50, 51	2thd 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( x e. A <-> x e. k ) )
53	52	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
54		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A --> U. R /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. U. R )
55	54	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A --> U. R -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
56	55	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
58		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. k -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
59	58	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
60	57, 59	2thd 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
61	41, 44, 53, 60	ifbothda 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
62	61	ralbidv2 2892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
63		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> f Fn A )
64	63	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> f Fn A )
65		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
66	65	elixp 7495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
67	66	baib 903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn A -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
68	64, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
69		ffun 5739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> Fun f )
70	69	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> Fun f )
71		fdm 5741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A --> U. R -> dom f = A )
72	71	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> dom f = A )
73	49, 72	sseqtr4d 3536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ dom f )
74		funimass4 5924	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun f /\ k C_ dom f ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
75	70, 73, 74	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
76	62, 68, 75	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
77	38, 76	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f e. ( U. R ^m A ) ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
78	77	rabbi2dva 3702	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
79		elssuni 4281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. R -> v C_ U. R )
80	79	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> v C_ U. R )
81		ssid 3518	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. R C_ U. R
82		sseq1 3520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( v C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
83		sseq1 3520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( U. R C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
84	82, 83	ifboth 3980	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v C_ U. R /\ U. R C_ U. R ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
85	80, 81, 84	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
86	85	ralrimivw 2872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
87		ss2ixp 7501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
88	86, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
89		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A e. V )
90		uniexg 6596	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Top -> U. R e. _V )
91	90	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> U. R e. _V )
92		ixpconstg 7497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ U. R e. _V ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
94	88, 93	sseqtrd 3535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) )
95		dfss1 3699	. . . . . . . . . . 11 |- ( X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) <-> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
96	94, 95	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
97	78, 96	eqtr3d 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
98	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
99		inss2 3715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
100	99, 46	sseldi 3497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. Fin )
101		simplrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> v e. R )
102	26	topopn 19542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Top -> U. R e. R )
103	102	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> U. R e. R )
104	101, 103	ifcld 3987	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. R )
105		simpll 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> R e. Top )
106		fvconst2g 6126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
107	105, 106	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
108	104, 107	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
109		eldifn 3623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> -. x e. k )
110	109	iffalsed 3955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ k ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
111	110	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
112		eldifi 3622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> x e. A )
113	112, 107	sylan2 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
114	113	unieqd 4261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> U. ( ( A X. { R } ) ` x ) = U. R )
115	111, 114	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
116	89, 98, 100, 108, 115	ptopn 20210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
117	97, 116	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
118		eleq1 2529	. . . . . . . 8 |- ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> ( x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) <-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
119	117, 118	syl5ibrcom 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
120	119	rexlimdvva 2956	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
121	120	abssdv 3570	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
122	37, 121	eqsstrd 3533	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
123		tgfiss 19620	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top /\ ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
124	14, 122, 123	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
125	9, 124	eqsstrd 3533	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
126		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
127	126, 26	ptuniconst 20225	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ R e. Top ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
128	127	ancoms 453	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
129	30, 128	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
130	129	oveq2d 6312	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
131		eqid 2457	. . . . . 6 |- U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
132	131	restid 14851	. . . . 5 |- ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
133	14, 132	syl 16	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
134	130, 133	eqtrd 2498	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
135	5, 126	xkoptsub 20281	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
136	2, 3, 135	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
137	134, 136	eqsstr3d 3534	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
138	125, 137	eqssd 3516	1 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   ^m cmap 7438   X_cixp 7488   Fincfn 7535   ficfi 7888   ↾_t crest 14838   topGenctg 14855   Xt_cpt 14856   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   Cn ccn 19852   Compccmp 20013   ^ko cxko 20188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cn 19855  df-cmp 20014  df-xko 20190

This theorem is referenced by:  tmdgsum  20720  tmdgsum2  20721  symgtgp  20726