Theorem xkopt 20670

Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkopt	|- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Proof of Theorem xkopt

Dummy variables f k v x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 20011	. . . . 5 |- ( A e. V -> ~P A e. Top )
2	1	adantl 468	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ~P A e. Top )
3		simpl 459	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R e. Top )
4		unipw 4650	. . . . . 6 |- U. ~P A = A
5	4	eqcomi 2460	. . . . 5 |- A = U. ~P A
6		eqid 2451	. . . . 5 |- { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp }
7		eqid 2451	. . . . 5 |- ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkoval 20602	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
9	2, 3, 8	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
10		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> A e. V )
11		fconst6g 5772	. . . . . 6 |- ( R e. Top -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
12	11	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
13		pttop 20597	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( A X. { R } ) : A --> Top ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
14	10, 12, 13	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top )
15		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P A -> x C_ A )
16		restdis 20194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ x C_ A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
17	15, 16	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
18	17	adantll 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ~P A ↾t x ) = ~P x )
19	18	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> ~P x e. Comp ) )
20		discmp 20413	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Comp )
21	19, 20	syl6bbr 267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ x e. ~P A ) -> ( ( ~P A ↾t x ) e. Comp <-> x e. Fin ) )
22	21	rabbidva 3035	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P A | x e. Fin } )
23		dfin5 3412	. . . . . . . . 9 |- ( ~P A i^i Fin ) = { x e. ~P A | x e. Fin }
24	22, 23	syl6eqr 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } = ( ~P A i^i Fin ) )
25		eqidd 2452	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> R = R )
26		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
27	26	toptopon 19948	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
28		cndis 20307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ R e. (TopOn ` U. R ) ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
29	28	ancoms 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
30	27, 29	sylanb 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) )
31		rabeq 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ~P A Cn R ) = ( U. R ^m A ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
33	24, 25, 32	mpt2eq123dv 6353	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
34	33	rneqd 5062	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) )
35		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
36	35	rnmpt2 6406	. . . . . 6 |- ran ( k e. ( ~P A i^i Fin ) , v e. R |-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } }
37	34, 36	syl6eq 2501	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } )
38		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( U. R ^m A ) -> f : A --> U. R )
39		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. v <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
40	39	imbi2d 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
41	40	bibi1d 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
42		eleq2 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( f ` x ) e. U. R <-> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
43	42	imbi2d 318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) ) )
44	43	bibi1d 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) <-> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) ) )
45		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
46		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ( ~P A i^i Fin ) )
47	45, 46	sseldi 3430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. ~P A )
48	47	elpwid 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k C_ A )
49	48	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ A )
50	49	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. A )
51		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> x e. k )
52	50, 51	2thd 244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( x e. A <-> x e. k ) )
53	52	imbi1d 319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. v ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
54		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f : A --> U. R /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. U. R )
55	54	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : A --> U. R -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
56	55	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) )
58		pm2.21 112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. x e. k -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
59	58	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) )
60	57, 59	2thd 244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) /\ -. x e. k ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. U. R ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
61	41, 44, 53, 60	ifbothda 3916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( x e. A -> ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) <-> ( x e. k -> ( f ` x ) e. v ) ) )
62	61	ralbidv2 2823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
63		ffn 5728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> f Fn A )
64	63	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> f Fn A )
65		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
66	65	elixp 7529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
67	66	baib 914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn A -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
68	64, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> A. x e. A ( f ` x ) e. if ( x e. k , v , U. R ) ) )
69		ffun 5731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : A --> U. R -> Fun f )
70	69	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> Fun f )
71		fdm 5733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : A --> U. R -> dom f = A )
72	71	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> dom f = A )
73	49, 72	sseqtr4d 3469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> k C_ dom f )
74		funimass4 5916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun f /\ k C_ dom f ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
75	70, 73, 74	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> A. x e. k ( f ` x ) e. v ) )
76	62, 68, 75	3bitr4d 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f : A --> U. R ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
77	38, 76	sylan2 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ f e. ( U. R ^m A ) ) -> ( f e. X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) <-> ( f " k ) C_ v ) )
78	77	rabbi2dva 3640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } )
79		elssuni 4227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v e. R -> v C_ U. R )
80	79	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> v C_ U. R )
81		ssid 3451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. R C_ U. R
82		sseq1 3453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( v C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
83		sseq1 3453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. R = if ( x e. k , v , U. R ) -> ( U. R C_ U. R <-> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R ) )
84	82, 83	ifboth 3917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v C_ U. R /\ U. R C_ U. R ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
85	80, 81, 84	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
86	85	ralrimivw 2803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R )
87		ss2ixp 7535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ U. R -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ X_ x e. A U. R )
89		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> A e. V )
90		uniexg 6588	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Top -> U. R e. _V )
91	90	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> U. R e. _V )
92		ixpconstg 7531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ U. R e. _V ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
93	89, 91, 92	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A U. R = ( U. R ^m A ) )
94	88, 93	sseqtrd 3468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) )
95		dfss1 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) C_ ( U. R ^m A ) <-> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
96	94, 95	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( ( U. R ^m A ) i^i X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) ) = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
97	78, 96	eqtr3d 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } = X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) )
98	11	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( A X. { R } ) : A --> Top )
99		inss2 3653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ Fin
100	99, 46	sseldi 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> k e. Fin )
101		simplrr 771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> v e. R )
102	26	topopn 19936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Top -> U. R e. R )
103	102	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> U. R e. R )
104	101, 103	ifcld 3924	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. R )
105		simpll 760	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> R e. Top )
106		fvconst2g 6118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Top /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
107	105, 106	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
108	104, 107	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. k , v , U. R ) e. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
109		eldifn 3556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> -. x e. k )
110	109	iffalsed 3892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( A \ k ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
111	110	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. R )
112		eldifi 3555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( A \ k ) -> x e. A )
113	112, 107	sylan2 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> ( ( A X. { R } ) ` x ) = R )
114	113	unieqd 4208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> U. ( ( A X. { R } ) ` x ) = U. R )
115	111, 114	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) /\ x e. ( A \ k ) ) -> if ( x e. k , v , U. R ) = U. ( ( A X. { R } ) ` x ) )
116	89, 98, 100, 108, 115	ptopn 20598	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> X_ x e. A if ( x e. k , v , U. R ) e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
117	97, 116	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
118		eleq1 2517	. . . . . . . 8 |- ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> ( x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) <-> { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
119	117, 118	syl5ibrcom 226	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ A e. V ) /\ ( k e. ( ~P A i^i Fin ) /\ v e. R ) ) -> ( x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
120	119	rexlimdvva 2886	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } -> x e. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
121	120	abssdv 3503	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> { x | E. k e. ( ~P A i^i Fin ) E. v e. R x = { f e. ( U. R ^m A ) | ( f " k ) C_ v } } C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
122	37, 121	eqsstrd 3466	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
123		tgfiss 20007	. . . 4 |- ( ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top /\ ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
124	14, 122, 123	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P A | ( ~P A ↾t x ) e. Comp } , v e. R |-> { f e. ( ~P A Cn R ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
125	9, 124	eqsstrd 3466	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) C_ ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
126		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
127	126, 26	ptuniconst 20613	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ R e. Top ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
128	127	ancoms 455	. . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( U. R ^m A ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
129	30, 128	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ~P A Cn R ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
130	129	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) )
131		eqid 2451	. . . . . 6 |- U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) = U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) )
132	131	restid 15332	. . . . 5 |- ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) e. Top -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
133	14, 132	syl 17	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t U. ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
134	130, 133	eqtrd 2485	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )
135	5, 126	xkoptsub 20669	. . . 4 |- ( ( ~P A e. Top /\ R e. Top ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
136	2, 3, 135	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) ↾t ( ~P A Cn R ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
137	134, 136	eqsstr3d 3467	. 2 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) C_ ( R ^ko ~P A ) )
138	125, 137	eqssd 3449	1 |- ( ( R e. Top /\ A e. V ) -> ( R ^ko ~P A ) = ( Xt_ ` ( A X. { R } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   ^m cmap 7472   X_cixp 7522   Fincfn 7569   ficfi 7924   ↾_t crest 15319   topGenctg 15336   Xt_cpt 15337   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   Cn ccn 20240   Compccmp 20401   ^ko cxko 20576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-cmp 20402  df-xko 20578

This theorem is referenced by:  tmdgsum  21110  tmdgsum2  21111  symgtgp  21116