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Theorem xkopt 19228
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables  f 
k  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 18600 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
21adantl 466 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ~P A  e.  Top )
3 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  e.  Top )
4 unipw 4542 . . . . . 6  |-  U. ~P A  =  A
54eqcomi 2447 . . . . 5  |-  A  = 
U. ~P A
6 eqid 2443 . . . . 5  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
85, 6, 7xkoval 19160 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) )
10 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  A  e.  V )
11 fconst6g 5599 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Top  ->  ( A  X.  { R }
) : A --> Top )
1211adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )
13 pttop 19155 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { R } ) : A --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e. 
Top )
1410, 12, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top )
15 elpwi 3869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
16 restdis 18782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  C_  A )  -> 
( ~P At  x )  =  ~P x )
1715, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1817adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  ( ~P At  x )  =  ~P x )
1918eleq1d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  ~P x  e.  Comp ) )
20 discmp 19001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Comp )
2119, 20syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ~P A )  ->  (
( ~P At  x )  e.  Comp  <->  x  e.  Fin ) )
2221rabbidva 2963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  { x  e. 
~P A  |  x  e.  Fin } )
23 dfin5 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  =  { x  e.  ~P A  |  x  e.  Fin }
2422, 23syl6eqr 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp }  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
25 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  R  =  R )
26 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  U. R  =  U. R
2726toptopon 18538 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
28 cndis 18895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  (TopOn `  U. R ) )  -> 
( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A ) )
3027, 29sylanb 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  ( U. R  ^m  A
) )
31 rabeq 2966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  Cn  R
)  =  ( U. R  ^m  A )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
3324, 25, 32mpt2eq123dv 6148 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
3433rneqd 5067 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  ran  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) )
35 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
3635rnmpt2 6200 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } }
3734, 36syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v } } )
38 elmapi 7234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( U. R  ^m  A )  ->  f : A --> U. R )
39 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( f `
 x )  e.  v  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4039imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( x  e.  A  ->  (
f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e.  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R ) ) ) )
4140bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( ( ( x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  v )  <-> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
42 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
f `  x )  e.  U. R  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
4342imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) ) )
4443bibi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( (
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )  <->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) ) )
45 inss1 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
46 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
)
4745, 46sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  ~P A
)
4847elpwid 3870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  C_  A )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  A )
5049sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  A )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  x  e.  k )
5250, 512thd 240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  k ) )
5352imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  x  e.  k )  ->  ( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  v )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
54 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : A --> U. R  /\  x  e.  A
)  ->  ( f `  x )  e.  U. R )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A --> U. R  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( x  e.  A  ->  ( f `  x
)  e.  U. R
) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( f `
 x )  e. 
U. R ) )
58 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  e.  k  -> 
( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) )
5958adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) )
6057, 592thd 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  /\  -.  x  e.  k
)  ->  ( (
x  e.  A  -> 
( f `  x
)  e.  U. R
)  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `  x )  e.  v ) ) )
6141, 44, 53, 60ifbothda 3824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( x  e.  A  ->  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )  <->  ( x  e.  k  ->  ( f `
 x )  e.  v ) ) )
6261ralbidv2 2737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
63 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  f  Fn  A )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
f  Fn  A )
65 vex 2975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
6665elixp 7270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
6766baib 896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  A  ->  (
f  e.  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R
) ) )
6864, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) ) )
69 ffun 5561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A --> U. R  ->  Fun  f )
7069adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  Fun  f )
71 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : A --> U. R  ->  dom  f  =  A )
7271adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  ->  dom  f  =  A
)
7349, 72sseqtr4d 3393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
k  C_  dom  f )
74 funimass4 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Fun  f  /\  k  C_ 
dom  f )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7570, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( ( f "
k )  C_  v  <->  A. x  e.  k  ( f `  x )  e.  v ) )
7662, 68, 753bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f : A --> U. R )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7738, 76sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  f  e.  ( U. R  ^m  A ) )  -> 
( f  e.  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  <->  ( f " k )  C_  v ) )
7877rabbi2dva 3558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
79 elssuni 4121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  R  ->  v  C_ 
U. R )
8079ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
v  C_  U. R )
81 ssid 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. R  C_ 
U. R
82 sseq1 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  ->  ( v  C_  U. R  <->  if ( x  e.  k ,  v , 
U. R )  C_  U. R ) )
83 sseq1 3377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. R  =  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  ->  ( U. R  C_  U. R  <->  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
)  C_  U. R ) )
8482, 83ifboth 3825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  C_  U. R  /\  U. R  C_  U. R )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) 
C_  U. R )
8580, 81, 84sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
8685ralrimivw 2800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R
)
87 ss2ixp 7276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  U. R  -> 
X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  X_ x  e.  A  U. R )
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  A  e.  V )
90 uniexg 6377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  _V )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  U. R  e.  _V )
92 ixpconstg 7272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  U. R  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9389, 91, 92syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  U. R  =  ( U. R  ^m  A ) )
9488, 93sseqtrd 3392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A ) )
95 dfss1 3555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  C_  ( U. R  ^m  A )  <-> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9694, 95sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( ( U. R  ^m  A )  i^i  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )  =  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R ) )
9778, 96eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  =  X_ x  e.  A  if (
x  e.  k ,  v ,  U. R
) )
9811ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( A  X.  { R } ) : A --> Top )
99 inss2 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
Fin
10099, 46sseldi 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
k  e.  Fin )
101 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  v  e.  R )
10226topopn 18519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Top  ->  U. R  e.  R )
103102ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  U. R  e.  R )
104 ifcl 3831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  R  /\  U. R  e.  R )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  R )
105101, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  R
)
106 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  R  e.  Top )
107 fvconst2g 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { R } ) `  x )  =  R )
108106, 107sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
109105, 108eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  ( ( A  X.  { R } ) `  x
) )
110 eldifn 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  -.  x  e.  k )
111 iffalse 3799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  x  e.  k  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
113112adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. R )
114 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  \ 
k )  ->  x  e.  A )
115114, 108sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
116115unieqd 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  U. (
( A  X.  { R } ) `  x
)  =  U. R
)
117113, 116eqtr4d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  A  e.  V )  /\  (
k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R
) )  /\  x  e.  ( A  \  k
) )  ->  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  =  U. ( ( A  X.  { R } ) `  x ) )
11889, 98, 100, 109, 117ptopn 19156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  X_ x  e.  A  if ( x  e.  k ,  v ,  U. R )  e.  (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
11997, 118eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  ->  { f  e.  ( U. R  ^m  A
)  |  ( f
" k )  C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
120 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  <->  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v }  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
121119, 120syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  /\  ( k  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  v  e.  R ) )  -> 
( x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
122121rexlimdvva 2848 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  {
f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k
)  C_  v }  ->  x  e.  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) ) )
123122abssdv 3426 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  { x  |  E. k  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) E. v  e.  R  x  =  { f  e.  ( U. R  ^m  A )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12437, 123eqsstrd 3390 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )
125 tgfiss 18596 . . . 4  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  e.  Top  /\ 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) ) )  ->  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x
)  e.  Comp } , 
v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
12614, 124, 125syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( topGen `  ( fi ` 
ran  ( k  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ~P At  x )  e.  Comp } ,  v  e.  R  |->  { f  e.  ( ~P A  Cn  R
)  |  ( f
" k )  C_  v } ) ) ) 
C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1279, 126eqsstrd 3390 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  C_  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
128 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )
129128, 26ptuniconst 19171 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  e.  Top )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
130129ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( U. R  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
13130, 130eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  Cn  R )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
132131oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) ) )
133 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )
134133restid 14372 . . . . 5  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { R } ) )  e.  Top  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
13514, 134syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
136132, 135eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
1375, 128xkoptsub 19227 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
1382, 3, 137syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )t  ( ~P A  Cn  R ) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
139136, 138eqsstr3d 3391 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) )  C_  ( R  ^ko  ~P A ) )
140127, 139eqssd 3373 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( R  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { R }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ifcif 3791   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091    X. cxp 4838   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093    ^m cmap 7214   X_cixp 7263   Fincfn 7310   ficfi 7660   ↾t crest 14359   topGenctg 14376   Xt_cpt 14377   Topctop 18498  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828   Compccmp 18989    ^ko cxko 19134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cn 18831  df-cmp 18990  df-xko 19136
This theorem is referenced by:  tmdgsum  19666  tmdgsum2  19667  symgtgp  19672
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