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Theorem xkopjcn 19892
Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both  f and  A as a function on  ( S  ^ko  R )  tX  R, but not without stronger assumptions on  R; see xkofvcn 19920.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkopjcn.1  |-  X  = 
U. R
Assertion
Ref Expression
xkopjcn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
Distinct variable groups:    A, f    R, f    S, f    f, X

Proof of Theorem xkopjcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
21xkotopon 19836 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
323adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
4 xkopjcn.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. R
54topopn 19182 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
653ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  R )
7 fconst6g 5772 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Top  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> Top )
873ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> Top )
9 pttop 19818 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  e. 
Top )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  e.  Top )
11 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. S  =  U. S
124, 11cnf 19513 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  f : X --> U. S )
13 uniexg 6579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  _V )
14133ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  U. S  e.  _V )
15 elmapg 7430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. S  e.  _V  /\  X  e.  R )  ->  ( f  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  f : X
--> U. S ) )
1614, 6, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  f : X
--> U. S ) )
1712, 16syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  -> 
f  e.  ( U. S  ^m  X ) ) )
1817ssrdv 3510 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  C_  ( U. S  ^m  X
) )
19 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  S  e.  Top )
20 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
2120, 11ptuniconst 19834 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  R  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. S  ^m  X )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )
226, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( U. S  ^m  X )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) )
2318, 22sseqtrd 3540 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )
24 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )
2524restuni 19429 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  e.  Top  /\  ( R  Cn  S
)  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) )  ->  ( R  Cn  S )  =  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) ) )
2610, 23, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  = 
U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
2726fveq2d 5868 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (TopOn `  ( R  Cn  S
) )  =  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )
283, 27eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )
294, 20xkoptsub 19890 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
30293adant3 1016 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
31 eqid 2467 . . . 4  |-  U. (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  = 
U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) )
3231cnss1 19543 . . 3  |-  ( ( ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  /\  ( (
Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )  ->  (
( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S )  C_  (
( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
3328, 30, 32syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S )  C_  (
( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
34 resmpt 5321 . . . 4  |-  ( ( R  Cn  S ) 
C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) ) )
3523, 34syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) ) )
36 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
3724, 20ptpjcn 19847 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top  /\  A  e.  X
)  ->  ( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  Cn  ( ( X  X.  { S } ) `  A ) ) )
386, 8, 36, 37syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) 
|->  ( f `  A
) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  (
( X  X.  { S } ) `  A
) ) )
39 fvconst2g 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  A )  =  S )
40393adant1 1014 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( X  X.  { S } ) `  A
)  =  S )
4140oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  (
( X  X.  { S } ) `  A
) )  =  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  S
) )
4238, 41eleqtrd 2557 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) 
|->  ( f `  A
) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  S
) )
4324cnrest 19552 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  Cn  S )  /\  ( R  Cn  S )  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )  -> 
( ( f  e. 
U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4442, 23, 43syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4535, 44eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4633, 45sseldd 3505 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    |` cres 5001   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   ↾t crest 14672   Xt_cpt 14690   Topctop 19161  TopOnctopon 19162    Cn ccn 19491    ^ko cxko 19797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494  df-cmp 19653  df-xko 19799
This theorem is referenced by:  cnmptkp  19916  xkofvcn  19920
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