MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkopjcn Structured version   Unicode version

Theorem xkopjcn 20451
Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both  f and  A as a function on  ( S  ^ko  R )  tX  R, but not without stronger assumptions on  R; see xkofvcn 20479.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkopjcn.1  |-  X  = 
U. R
Assertion
Ref Expression
xkopjcn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
Distinct variable groups:    A, f    R, f    S, f    f, X

Proof of Theorem xkopjcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
21xkotopon 20395 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
323adant3 1019 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
4 xkopjcn.1 . . . . . . . . 9  |-  X  = 
U. R
54topopn 19709 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Top  ->  X  e.  R )
653ad2ant1 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  X  e.  R )
7 fconst6g 5759 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Top  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> Top )
873ad2ant2 1021 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( X  X.  { S }
) : X --> Top )
9 pttop 20377 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  e. 
Top )
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  e.  Top )
11 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  U. S  =  U. S
124, 11cnf 20042 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  f : X --> U. S )
13 uniexg 6581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  Top  ->  U. S  e.  _V )
14133ad2ant2 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  U. S  e.  _V )
1514, 6elmapd 7473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( U. S  ^m  X )  <->  f : X
--> U. S ) )
1612, 15syl5ibr 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  -> 
f  e.  ( U. S  ^m  X ) ) )
1716ssrdv 3450 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  C_  ( U. S  ^m  X
) )
18 simp2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  S  e.  Top )
19 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )
2019, 11ptuniconst 20393 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  R  /\  S  e.  Top )  ->  ( U. S  ^m  X )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )
216, 18, 20syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( U. S  ^m  X )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) )
2217, 21sseqtrd 3480 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )
23 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )
2423restuni 19958 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  e.  Top  /\  ( R  Cn  S
)  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) )  ->  ( R  Cn  S )  =  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) ) )
2510, 22, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( R  Cn  S )  = 
U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) )
2625fveq2d 5855 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (TopOn `  ( R  Cn  S
) )  =  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )
273, 26eleqtrd 2494 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) ) ) )
284, 19xkoptsub 20449 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
29283adant3 1019 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  C_  ( S  ^ko  R ) )
30 eqid 2404 . . . 4  |-  U. (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  = 
U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) )
3130cnss1 20072 . . 3  |-  ( ( ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  U. ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S ) ) )  /\  ( (
Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )t  ( R  Cn  S
) )  C_  ( S  ^ko  R ) )  ->  (
( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S )  C_  (
( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
3227, 29, 31syl2anc 661 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S )  C_  (
( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
3322resmptd 5147 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  =  ( f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) ) )
34 simp3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  X )
3523, 19ptpjcn 20406 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  R  /\  ( X  X.  { S } ) : X --> Top  /\  A  e.  X
)  ->  ( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  Cn  ( ( X  X.  { S } ) `  A ) ) )
366, 8, 34, 35syl3anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) 
|->  ( f `  A
) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  (
( X  X.  { S } ) `  A
) ) )
37 fvconst2g 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  ( ( X  X.  { S } ) `  A )  =  S )
38373adant1 1017 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( X  X.  { S } ) `  A
)  =  S )
3938oveq2d 6296 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  (
( X  X.  { S } ) `  A
) )  =  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  S
) )
4036, 39eleqtrd 2494 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) ) 
|->  ( f `  A
) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  Cn  S
) )
4123cnrest 20081 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S } ) )  Cn  S )  /\  ( R  Cn  S )  C_  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) ) )  -> 
( ( f  e. 
U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4240, 22, 41syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
( f  e.  U. ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )  |->  ( f `
 A ) )  |`  ( R  Cn  S
) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4333, 42eqeltrrd 2493 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( X  X.  { S }
) )t  ( R  Cn  S ) )  Cn  S ) )
4432, 43sseldd 3445 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top  /\  A  e.  X )  ->  (
f  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( f `  A ) )  e.  ( ( S  ^ko  R )  Cn  S
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   {csn 3974   U.cuni 4193    |-> cmpt 4455    X. cxp 4823    |` cres 4827   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    ^m cmap 7459   ↾t crest 15037   Xt_cpt 15055   Topctop 19688  TopOnctopon 19689    Cn ccn 20020    ^ko cxko 20356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cn 20023  df-cmp 20182  df-xko 20358
This theorem is referenced by:  cnmptkp  20475  xkofvcn  20479
  Copyright terms: Public domain W3C validator