Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkopjcn Structured version   Unicode version

Theorem xkopjcn 19892
 Description: Continuity of a projection map from the space of continuous functions. (This theorem can be strengthened, to joint continuity in both and as a function on , but not without stronger assumptions on ; see xkofvcn 19920.) (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkopjcn.1
Assertion
Ref Expression
xkopjcn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem xkopjcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . . 6
21xkotopon 19836 . . . . 5 TopOn
323adant3 1016 . . . 4 TopOn
4 xkopjcn.1 . . . . . . . . 9
54topopn 19182 . . . . . . . 8
653ad2ant1 1017 . . . . . . 7
7 fconst6g 5772 . . . . . . . 8
873ad2ant2 1018 . . . . . . 7
9 pttop 19818 . . . . . . 7
106, 8, 9syl2anc 661 . . . . . 6
11 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
124, 11cnf 19513 . . . . . . . . 9
13 uniexg 6579 . . . . . . . . . . 11
14133ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
15 elmapg 7430 . . . . . . . . . 10
1614, 6, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9
1712, 16syl5ibr 221 . . . . . . . 8
1817ssrdv 3510 . . . . . . 7
19 simp2 997 . . . . . . . 8
20 eqid 2467 . . . . . . . . 9
2120, 11ptuniconst 19834 . . . . . . . 8
226, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . 7
2318, 22sseqtrd 3540 . . . . . 6
24 eqid 2467 . . . . . . 7
2524restuni 19429 . . . . . 6 t
2610, 23, 25syl2anc 661 . . . . 5 t
2726fveq2d 5868 . . . 4 TopOn TopOn t
283, 27eleqtrd 2557 . . 3 TopOn t
294, 20xkoptsub 19890 . . . 4 t
30293adant3 1016 . . 3 t
31 eqid 2467 . . . 4 t t
3231cnss1 19543 . . 3 TopOn t t t
3328, 30, 32syl2anc 661 . 2 t
34 resmpt 5321 . . . 4
3523, 34syl 16 . . 3
36 simp3 998 . . . . . 6
3724, 20ptpjcn 19847 . . . . . 6
386, 8, 36, 37syl3anc 1228 . . . . 5
39 fvconst2g 6112 . . . . . . 7
40393adant1 1014 . . . . . 6
4140oveq2d 6298 . . . . 5
4238, 41eleqtrd 2557 . . . 4
4324cnrest 19552 . . . 4 t
4442, 23, 43syl2anc 661 . . 3 t
4535, 44eqeltrrd 2556 . 2 t
4633, 45sseldd 3505 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   wss 3476  csn 4027  cuni 4245   cmpt 4505   cxp 4997   cres 5001  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmap 7417   ↾t crest 14672  cpt 14690  ctop 19161  TopOnctopon 19162   ccn 19491   cxko 19797 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cn 19494  df-cmp 19653  df-xko 19799 This theorem is referenced by:  cnmptkp  19916  xkofvcn  19920
 Copyright terms: Public domain W3C validator