Theorem xkoopn 20215

Description: A basic open set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoopn.x	|- X = U. R
xkoopn.r	|- ( ph -> R e. Top )
xkoopn.s	|- ( ph -> S e. Top )
xkoopn.a	|- ( ph -> A C_ X )
xkoopn.c	|- ( ph -> ( R ↾t A ) e. Comp )
xkoopn.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
xkoopn	|- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ( S ^ko R ) )

Distinct variable groups:   A, f   R, f   S, f   U, f

Allowed substitution hints:   ph( f)   X( f)

Proof of Theorem xkoopn

Dummy variables k v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. . . . . . 7 |- ( R Cn S ) e. _V
2	1	pwex 4639	. . . . . 6 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
3		xkoopn.x	. . . . . . . 8 |- X = U. R
4		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp }
5		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
6	3, 4, 5	xkotf 20211	. . . . . . 7 |- ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
7		frn 5743	. . . . . . 7 |- ( ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
9	2, 8	ssexi 4601	. . . . 5 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
10		ssfii 7897	. . . . 5 |- ( ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V -> ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
12		fvex 5882	. . . . 5 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V
13		bastg 19593	. . . . 5 |- ( ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V -> ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
15	11, 14	sstri 3508	. . 3 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
16		xkoopn.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ X )
17		xkoopn.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Top )
18	3	topopn 19541	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
19		elpw2g 4619	. . . . . . . 8 |- ( X e. R -> ( A e. ~P X <-> A C_ X ) )
20	17, 18, 19	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. ~P X <-> A C_ X ) )
21	16, 20	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ~P X )
22		xkoopn.c	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ↾t A ) e. Comp )
23		oveq2 6304	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( R ↾t x ) = ( R ↾t A ) )
24	23	eleq1d 2526	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( R ↾t x ) e. Comp <-> ( R ↾t A ) e. Comp ) )
25	24	elrab 3257	. . . . . 6 |- ( A e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } <-> ( A e. ~P X /\ ( R ↾t A ) e. Comp ) )
26	21, 22, 25	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ph -> A e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } )
27		xkoopn.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
28		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } )
29		imaeq2 5343	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( f " k ) = ( f " A ) )
30	29	sseq1d 3526	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> ( ( f " k ) C_ v <-> ( f " A ) C_ v ) )
31	30	rabbidv 3101	. . . . . . 7 |- ( k = A -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } )
32	31	eqeq2d 2471	. . . . . 6 |- ( k = A -> ( { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } ) )
33		sseq2 3521	. . . . . . . 8 |- ( v = U -> ( ( f " A ) C_ v <-> ( f " A ) C_ U ) )
34	33	rabbidv 3101	. . . . . . 7 |- ( v = U -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } )
35	34	eqeq2d 2471	. . . . . 6 |- ( v = U -> ( { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } <-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } ) )
36	32, 35	rspc2ev 3221	. . . . 5 |- ( ( A e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } /\ U e. S /\ { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } ) -> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
37	26, 27, 28, 36	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
38	1	rabex 4607	. . . . 5 |- { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. _V
39		eqeq1 2461	. . . . . 6 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } -> ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
40	39	2rexbidv 2975	. . . . 5 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } -> ( E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
41	5	rnmpt2 6411	. . . . 5 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { y | E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } }
42	38, 40, 41	elab2 3249	. . . 4 |- ( { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) <-> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
43	37, 42	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
44	15, 43	sseldi 3497	. 2 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
45		xkoopn.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Top )
46	3, 4, 5	xkoval 20213	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
47	17, 45, 46	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
48	44, 47	eleqtrrd 2548	1 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ( S ^ko R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   X. cxp 5006   ran crn 5009   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   ficfi 7888   ↾_t crest 14837   topGenctg 14854   Topctop 19520   Cn ccn 19851   Compccmp 20012   ^ko cxko 20187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-1o 7148  df-en 7536  df-fin 7539  df-fi 7889  df-topgen 14860  df-top 19525  df-xko 20189

This theorem is referenced by:  xkouni  20225  xkohaus  20279  xkoptsub  20280  xkoco1cn  20283  xkoco2cn  20284  xkococnlem  20285