Theorem xkoopn 19004

Description: A basic open set of the compact-open topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xkoopn.x	|- X = U. R
xkoopn.r	|- ( ph -> R e. Top )
xkoopn.s	|- ( ph -> S e. Top )
xkoopn.a	|- ( ph -> A C_ X )
xkoopn.c	|- ( ph -> ( R ↾t A ) e. Comp )
xkoopn.u	|- ( ph -> U e. S )

Assertion

Ref	Expression
xkoopn	|- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ( S ^ko R ) )

Distinct variable groups:   A, f   R, f   S, f   U, f

Allowed substitution hints:   ph( f)   X( f)

Proof of Theorem xkoopn

Dummy variables k v x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6105	. . . . . . 7 |- ( R Cn S ) e. _V
2	1	pwex 4463	. . . . . 6 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
3		xkoopn.x	. . . . . . . 8 |- X = U. R
4		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } = { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp }
5		eqid 2433	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
6	3, 4, 5	xkotf 19000	. . . . . . 7 |- ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
7		frn 5553	. . . . . . 7 |- ( ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
9	2, 8	ssexi 4425	. . . . 5 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
10		ssfii 7657	. . . . 5 |- ( ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V -> ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
12		fvex 5689	. . . . 5 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V
13		bastg 18413	. . . . 5 |- ( ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) e. _V -> ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . 4 |- ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) C_ ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
15	11, 14	sstri 3353	. . 3 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) )
16		xkoopn.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ X )
17		xkoopn.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Top )
18	3	topopn 18361	. . . . . . . 8 |- ( R e. Top -> X e. R )
19		elpw2g 4443	. . . . . . . 8 |- ( X e. R -> ( A e. ~P X <-> A C_ X ) )
20	17, 18, 19	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A e. ~P X <-> A C_ X ) )
21	16, 20	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. ~P X )
22		xkoopn.c	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ↾t A ) e. Comp )
23		oveq2 6088	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( R ↾t x ) = ( R ↾t A ) )
24	23	eleq1d 2499	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( R ↾t x ) e. Comp <-> ( R ↾t A ) e. Comp ) )
25	24	elrab 3106	. . . . . 6 |- ( A e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } <-> ( A e. ~P X /\ ( R ↾t A ) e. Comp ) )
26	21, 22, 25	sylanbrc 657	. . . . 5 |- ( ph -> A e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } )
27		xkoopn.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
28		eqidd 2434	. . . . 5 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } )
29		imaeq2 5153	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( f " k ) = ( f " A ) )
30	29	sseq1d 3371	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> ( ( f " k ) C_ v <-> ( f " A ) C_ v ) )
31	30	rabbidv 2954	. . . . . . 7 |- ( k = A -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } )
32	31	eqeq2d 2444	. . . . . 6 |- ( k = A -> ( { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } ) )
33		sseq2 3366	. . . . . . . 8 |- ( v = U -> ( ( f " A ) C_ v <-> ( f " A ) C_ U ) )
34	33	rabbidv 2954	. . . . . . 7 |- ( v = U -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } )
35	34	eqeq2d 2444	. . . . . 6 |- ( v = U -> ( { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ v } <-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } ) )
36	32, 35	rspc2ev 3070	. . . . 5 |- ( ( A e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } /\ U e. S /\ { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } ) -> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
37	26, 27, 28, 36	syl3anc 1211	. . . 4 |- ( ph -> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
38	1	rabex 4431	. . . . 5 |- { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. _V
39		eqeq1 2439	. . . . . 6 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } -> ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
40	39	2rexbidv 2748	. . . . 5 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } -> ( E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
41	5	rnmpt2 6189	. . . . 5 |- ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { y | E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } }
42	38, 40, 41	elab2 3098	. . . 4 |- ( { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) <-> E. k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } E. v e. S { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
43	37, 42	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
44	15, 43	sseldi 3342	. 2 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
45		xkoopn.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Top )
46	3, 4, 5	xkoval 19002	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
47	17, 45, 46	syl2anc 654	. 2 |- ( ph -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { x e. ~P X | ( R ↾t x ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
48	44, 47	eleqtrrd 2510	1 |- ( ph -> { f e. ( R Cn S ) | ( f " A ) C_ U } e. ( S ^ko R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1362   e. wcel 1755   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962   C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   U.cuni 4079   X. cxp 4825   ran crn 4828   "cima 4830   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   e. cmpt2 6082   ficfi 7648   ↾_t crest 14342   topGenctg 14359   Topctop 18340   Cn ccn 18670   Compccmp 18831   ^ko cxko 18976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-1o 6908  df-en 7299  df-fin 7302  df-fi 7649  df-topgen 14365  df-top 18345  df-xko 18978

This theorem is referenced by:  xkouni  19014  xkohaus  19068  xkoptsub  19069  xkoco1cn  19072  xkoco2cn  19073  xkococnlem  19074