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Theorem xkoinjcn 17672
Description: Continuity of "injection", i.e. currying, as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkoinjcn.3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) )
Assertion
Ref Expression
xkoinjcn  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  F  e.  ( R  Cn  (
( S  tX  R
)  ^ k o  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y    x, Y, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xkoinjcn
Dummy variables  f 
k  r  v  w  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
21cnmptid 17646 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  y )  e.  ( S  Cn  S ) )
3 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
4 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
51, 3, 4cnmptc 17647 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  x )  e.  ( S  Cn  R ) )
61, 2, 5cnmpt1t 17650 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
7 xkoinjcn.3 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) )
86, 7fmptd 5852 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  F : X
--> ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
9 eqid 2404 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
10 eqid 2404 . . . . . 6  |-  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp }  =  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp }
11 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )
129, 10, 11xkobval 17571 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  {
z  |  E. k  e.  ~P  U. S E. v  e.  ( S  tX  R ) ( ( St  k )  e.  Comp  /\  z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } ) }
1312abeq2i 2511 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. S E. v  e.  ( S  tX  R ) ( ( St  k )  e.  Comp  /\  z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) ) )
1514, 6sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
16 imaeq1 5157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  ->  ( f " k )  =  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) )
1716sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  ->  ( (
f " k ) 
C_  v  <->  ( (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
" k )  C_  v ) )
1817elrab3 3053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  ->  ( (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } 
<->  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) 
C_  v ) )
1915, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } 
<->  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) 
C_  v ) )
20 funmpt 5448 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
21 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  k  e.  ~P U. S )
2221elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_ 
U. S )
2314simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
24 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. S )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  Y  =  U. S )
2622, 25sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_  Y )
2726adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  k  C_  Y )
28 dmmptg 5326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  Y  <. y ,  x >.  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  Y )
29 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Y  ->  <. y ,  x >.  e.  _V )
3128, 30mprg 2735 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  Y
3227, 31syl6sseqr 3355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  k  C_ 
dom  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )
33 funimass4 5736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  /\  k  C_  dom  ( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) )  ->  ( (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )
" k )  C_  v 
<-> 
A. z  e.  k  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v ) )
3420, 32, 33sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) 
C_  v  <->  A. z  e.  k  ( (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) `
 z )  e.  v ) )
3527sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  z  e.  Y )
36 opeq1 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  <. y ,  x >.  =  <. z ,  x >. )
37 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
38 opex 4387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. z ,  x >.  e.  _V
3936, 37, 38fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Y  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) `
 z )  = 
<. z ,  x >. )
4035, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) `
 z )  = 
<. z ,  x >. )
4140eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  <. z ,  x >.  e.  v
) )
42 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
43 opeq2 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  x  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  x >. )
4443eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  e.  v  <->  <. z ,  x >.  e.  v ) )
4542, 44ralsn 3809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v  <->  <. z ,  x >.  e.  v
)
4641, 45syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v ) )
4746ralbidva 2682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. z  e.  k 
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  A. z  e.  k  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v ) )
48 dfss3 3298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  X.  { x } )  C_  v  <->  A. t  e.  ( k  X.  { x }
) t  e.  v )
49 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( t  e.  v  <->  <. z ,  w >.  e.  v ) )
5049ralxp 4975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( k  X.  { x } ) t  e.  v  <->  A. z  e.  k  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v )
5148, 50bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  X.  { x } )  C_  v  <->  A. z  e.  k  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v )
5247, 51syl6bbr 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. z  e.  k 
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  ( k  X.  { x } ) 
C_  v ) )
5319, 34, 523bitrd 271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } 
<->  ( k  X.  {
x } )  C_  v ) )
5453rabbidva 2907 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  X  |  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }  =  {
x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } )
55 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  { x }  =  { w } )
5655xpeq2d 4861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
k  X.  { x } )  =  ( k  X.  { w } ) )
5756sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( k  X.  {
x } )  C_  v 
<->  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )
5857elrab 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  X  |  ( k  X.  { x }
)  C_  v }  <->  ( w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )
59 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( St  k )  =  U. ( St  k )
60 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. R  =  U. R
61 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( St  k )  e. 
Comp )
62 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  X ) )
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  R  e.  (TopOn `  X
) )
64 topontop 16946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  R  e.  Top )
66 topontop 16946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  S  e.  Top )
6864adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  R  e.  Top )
69 txtop 17554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( S  tX  R
)  e.  Top )
7067, 68, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  tX  R )  e.  Top )
7170ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( S  tX  R
)  e.  Top )
72 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
73 toponmax 16948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  R )
7463, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  X  e.  R )
75 xpexg 4948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  _V  /\  X  e.  R )  ->  ( k  X.  X
)  e.  _V )
7672, 74, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  X
)  e.  _V )
77 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  ->  v  e.  ( S  tX  R ) )
7877ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
v  e.  ( S 
tX  R ) )
79 elrestr 13611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  tX  R
)  e.  Top  /\  ( k  X.  X
)  e.  _V  /\  v  e.  ( S  tX  R ) )  -> 
( v  i^i  (
k  X.  X ) )  e.  ( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) ) )
8071, 76, 78, 79syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( v  i^i  (
k  X.  X ) )  e.  ( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) ) )
8167ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  S  e.  Top )
8272a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
k  e.  _V )
83 txrest 17616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  Top  /\  R  e.  Top )  /\  ( k  e.  _V  /\  X  e.  R ) )  ->  ( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) )  =  ( ( St  k )  tX  ( Rt  X ) ) )
8481, 65, 82, 74, 83syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) )  =  ( ( St  k ) 
tX  ( Rt  X ) ) )
85 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
8663, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  X  =  U. R )
8786oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( Rt  X )  =  ( Rt 
U. R ) )
8860restid 13616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Rt  U. R
)  =  R )
8963, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( Rt  U. R )  =  R )
9087, 89eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( Rt  X )  =  R )
9190oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( ( St  k ) 
tX  ( Rt  X ) )  =  ( ( St  k )  tX  R
) )
9284, 91eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) )  =  ( ( St  k ) 
tX  R ) )
9380, 92eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( v  i^i  (
k  X.  X ) )  e.  ( ( St  k )  tX  R
) )
9423adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  S  e.  (TopOn `  Y
) )
9526adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
k  C_  Y )
96 resttopon 17179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  k  C_  Y )  ->  ( St  k )  e.  (TopOn `  k ) )
9794, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( St  k )  e.  (TopOn `  k )
)
98 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( St  k )  e.  (TopOn `  k )  ->  k  =  U. ( St  k ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
k  =  U. ( St  k ) )
10099xpeq1d 4860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  =  ( U. ( St  k )  X.  { w } ) )
101 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  C_  v )
102 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  w  e.  X )
103102snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  { w }  C_  X )
104 xpss2 4944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { w }  C_  X  ->  ( k  X.  {
w } )  C_  ( k  X.  X
) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  C_  ( k  X.  X
) )
106101, 105ssind 3525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  C_  ( v  i^i  (
k  X.  X ) ) )
107100, 106eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( U. ( St  k )  X.  { w } )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) )
108102, 86eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  w  e.  U. R )
10959, 60, 61, 65, 93, 107, 108txtube 17625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  ( U. ( St  k )  X.  r ) 
C_  ( v  i^i  ( k  X.  X
) ) ) )
110 toponss 16949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  r  e.  R )  ->  r  C_  X )
11163, 110sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  r  C_  X )
112 ssrab 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r 
C_  { x  e.  X  |  ( k  X.  { x }
)  C_  v }  <->  ( r  C_  X  /\  A. x  e.  r  ( k  X.  { x } )  C_  v
) )
113112baib 872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r 
C_  X  ->  (
r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } 
<-> 
A. x  e.  r  ( k  X.  {
x } )  C_  v ) )
114111, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } 
<-> 
A. x  e.  r  ( k  X.  {
x } )  C_  v ) )
115 xpss2 4944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r 
C_  X  ->  (
k  X.  r ) 
C_  ( k  X.  X ) )
116111, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( k  X.  r
)  C_  ( k  X.  X ) )
117116biantrud 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( ( k  X.  r )  C_  v  <->  ( ( k  X.  r
)  C_  v  /\  ( k  X.  r
)  C_  ( k  X.  X ) ) ) )
118 iunid 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ x  e.  r  { x }  =  r
119118xpeq2i 4858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  X.  U_ x  e.  r  { x }
)  =  ( k  X.  r )
120 xpiundi 4891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  X.  U_ x  e.  r  { x }
)  =  U_ x  e.  r  ( k  X.  { x } )
121119, 120eqtr3i 2426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  X.  r )  = 
U_ x  e.  r  ( k  X.  {
x } )
122121sseq1i 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  X.  r ) 
C_  v  <->  U_ x  e.  r  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v )
123 iunss 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ x  e.  r  (
k  X.  { x } )  C_  v  <->  A. x  e.  r  ( k  X.  { x } )  C_  v
)
124122, 123bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  X.  r ) 
C_  v  <->  A. x  e.  r  ( k  X.  { x } ) 
C_  v )
125 ssin 3523 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  X.  r
)  C_  v  /\  ( k  X.  r
)  C_  ( k  X.  X ) )  <->  ( k  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) )
126117, 124, 1253bitr3g 279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  r  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v  <->  ( k  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) )
12799adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  k  =  U. ( St  k ) )
128127xpeq1d 4860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( k  X.  r
)  =  ( U. ( St  k )  X.  r ) )
129128sseq1d 3335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( ( k  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) )  <->  ( U. ( St  k )  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) )
130114, 126, 1293bitrd 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } 
<->  ( U. ( St  k )  X.  r ) 
C_  ( v  i^i  ( k  X.  X
) ) ) )
131130anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } )  <->  ( w  e.  r  /\  ( U. ( St  k )  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) ) )
132131rexbidva 2683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } )  <->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  ( U. ( St  k )  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) ) )
133109, 132mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } ) )
13458, 133sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  w  e.  { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v } )  ->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } ) )
135134ralrimiva 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  A. w  e.  { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v } E. r  e.  R  (
w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  |  ( k  X.  { x }
)  C_  v }
) )
136 eltop2 16995 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  ->  ( { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v }  e.  R 
<-> 
A. w  e.  {
x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } ) ) )
13714, 68, 1363syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  ( { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v }  e.  R 
<-> 
A. w  e.  {
x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } ) ) )
138135, 137mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v }  e.  R )
13954, 138eqeltrd 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  X  |  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }  e.  R
)
140 imaeq2 5158 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v }  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
1417mptpreima 5322 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  e.  X  | 
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }
142140, 141syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v }  ->  ( `' F " z )  =  {
x  e.  X  | 
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } } )
143142eleq1d 2470 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v }  ->  ( ( `' F " z )  e.  R  <->  { x  e.  X  |  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }  e.  R
) )
144139, 143syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  (
z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
145144expimpd 587 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  ->  ( ( ( St  k )  e.  Comp  /\  z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } )  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
146145rexlimdvva 2797 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( E. k  e.  ~P  U. S E. v  e.  ( S  tX  R ) ( ( St  k )  e. 
Comp  /\  z  =  {
f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
14713, 146syl5bi 209 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( z  e.  ran  ( k  e. 
{ w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
148147ralrimiv 2748 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. z  e.  ran  ( k  e. 
{ w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' F " z )  e.  R
)
149 simpl 444 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  R  e.  (TopOn `  X ) )
150 ovex 6065 . . . . . 6  |-  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  e. 
_V
151150pwex 4342 . . . . 5  |-  ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  e. 
_V
1529, 10, 11xkotf 17570 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp }  X.  ( S  tX  R ) ) --> ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )
153 frn 5556 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp }  X.  ( S  tX  R ) ) --> ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  ->  ran  ( k  e.  {
w  e.  ~P U. S  |  ( St  w
)  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
154152, 153ax-mp 8 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )
155151, 154ssexi 4308 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V
156155a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V )
1579, 10, 11xkoval 17572 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Top  /\  ( S  tX  R )  e.  Top )  -> 
( ( S  tX  R )  ^ k o  S )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
w  e.  ~P U. S  |  ( St  w
)  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
15867, 70, 157syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( S  tX  R )  ^ k o  S )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) )
159 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( ( S  tX  R )  ^ k o  S
)  =  ( ( S  tX  R )  ^ k o  S
)
160159xkotopon 17585 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Top  /\  ( S  tX  R )  e.  Top )  -> 
( ( S  tX  R )  ^ k o  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) ) )
16167, 70, 160syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( S  tX  R )  ^ k o  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  ( S  tX  R
) ) ) )
162149, 156, 158, 161subbascn 17272 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( R  Cn  (
( S  tX  R
)  ^ k o  S ) )  <->  ( F : X --> ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  /\  A. z  e.  ran  ( k  e. 
{ w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' F " z )  e.  R
) ) )
1638, 148, 162mpbir2and 889 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  F  e.  ( R  Cn  (
( S  tX  R
)  ^ k o  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   {csn 3774   <.cop 3777   U.cuni 3975   U_ciun 4053    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   ficfi 7373   ↾t crest 13603   topGenctg 13620   Topctop 16913  TopOnctopon 16914    Cn ccn 17242   Compccmp 17403    tX ctx 17545    ^ k o cxko 17546
This theorem is referenced by:  cnmpt2k  17673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-xko 17548
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