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Theorem xkoinjcn 20354
Description: Continuity of "injection", i.e. currying, as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkoinjcn.3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) )
Assertion
Ref Expression
xkoinjcn  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  F  e.  ( R  Cn  (
( S  tX  R
)  ^ko  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, R    x, S, y    x, Y, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem xkoinjcn
Dummy variables  f 
k  r  v  w  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
21cnmptid 20328 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  y )  e.  ( S  Cn  S ) )
3 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  R  e.  (TopOn `  X )
)
4 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
51, 3, 4cnmptc 20329 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  x )  e.  ( S  Cn  R ) )
61, 2, 5cnmpt1t 20332 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
7 xkoinjcn.3 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) )
86, 7fmptd 6031 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  F : X
--> ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
9 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. S  =  U. S
10 eqid 2454 . . . . . 6  |-  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp }  =  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp }
11 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )
129, 10, 11xkobval 20253 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  {
z  |  E. k  e.  ~P  U. S E. v  e.  ( S  tX  R ) ( ( St  k )  e.  Comp  /\  z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } ) }
1312abeq2i 2581 . . . 4  |-  ( z  e.  ran  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. S E. v  e.  ( S  tX  R ) ( ( St  k )  e.  Comp  /\  z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
14 simpll 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) ) )
1514, 6sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
16 imaeq1 5320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  ->  ( f " k )  =  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) )
1716sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  ->  ( (
f " k ) 
C_  v  <->  ( (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
" k )  C_  v ) )
1817elrab3 3255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  ->  ( (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } 
<->  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) 
C_  v ) )
1915, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } 
<->  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) 
C_  v ) )
20 funmpt 5606 . . . . . . . . . . 11  |-  Fun  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
21 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  k  e.  ~P U. S )
2221elpwid 4009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_ 
U. S )
2314simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
24 toponuni 19595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. S )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  Y  =  U. S )
2622, 25sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  k  C_  Y )
2726adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  k  C_  Y )
28 dmmptg 5487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  Y  <. y ,  x >.  e.  _V  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  Y )
29 opex 4701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. y ,  x >.  e.  _V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Y  ->  <. y ,  x >.  e.  _V )
3128, 30mprg 2817 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  =  Y
3227, 31syl6sseqr 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  k  C_ 
dom  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )
33 funimass4 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  /\  k  C_  dom  ( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) )  ->  ( (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )
" k )  C_  v 
<-> 
A. z  e.  k  ( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v ) )
3420, 32, 33sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) " k ) 
C_  v  <->  A. z  e.  k  ( (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) `
 z )  e.  v ) )
3527sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  z  e.  Y )
36 opeq1 4203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  z  ->  <. y ,  x >.  =  <. z ,  x >. )
37 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. )  =  ( y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )
38 opex 4701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. z ,  x >.  e.  _V
3936, 37, 38fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Y  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) `
 z )  = 
<. z ,  x >. )
4035, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. ) `
 z )  = 
<. z ,  x >. )
4140eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  <. z ,  x >.  e.  v
) )
42 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x  e. 
_V
43 opeq2 4204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  x  ->  <. z ,  w >.  =  <. z ,  x >. )
4443eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  x  ->  ( <. z ,  w >.  e.  v  <->  <. z ,  x >.  e.  v ) )
4542, 44ralsn 4055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v  <->  <. z ,  x >.  e.  v
)
4641, 45syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  x  e.  X )  /\  z  e.  k )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v ) )
4746ralbidva 2890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. z  e.  k 
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  A. z  e.  k  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v ) )
48 dfss3 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  X.  { x } )  C_  v  <->  A. t  e.  ( k  X.  { x }
) t  e.  v )
49 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  <. z ,  w >.  ->  ( t  e.  v  <->  <. z ,  w >.  e.  v ) )
5049ralxp 5133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. t  e.  ( k  X.  { x } ) t  e.  v  <->  A. z  e.  k  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v )
5148, 50bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  X.  { x } )  C_  v  <->  A. z  e.  k  A. w  e.  { x } <. z ,  w >.  e.  v )
5247, 51syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. z  e.  k 
( ( y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) `  z )  e.  v  <->  ( k  X.  { x } ) 
C_  v ) )
5319, 34, 523bitrd 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } 
<->  ( k  X.  {
x } )  C_  v ) )
5453rabbidva 3097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  X  |  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }  =  {
x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } )
55 sneq 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  { x }  =  { w } )
5655xpeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
k  X.  { x } )  =  ( k  X.  { w } ) )
5756sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  (
( k  X.  {
x } )  C_  v 
<->  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )
5857elrab 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  X  |  ( k  X.  { x }
)  C_  v }  <->  ( w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )
59 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( St  k )  =  U. ( St  k )
60 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. R  =  U. R
61 simplr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( St  k )  e. 
Comp )
62 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  X ) )
6362ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  R  e.  (TopOn `  X
) )
64 topontop 19594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  R  e.  Top )
66 topontop 19594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
6766adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  S  e.  Top )
6864adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  R  e.  Top )
69 txtop 20236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  Top  /\  R  e.  Top )  ->  ( S  tX  R
)  e.  Top )
7067, 68, 69syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  tX  R )  e.  Top )
7170ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( S  tX  R
)  e.  Top )
72 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  k  e. 
_V
73 toponmax 19596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  e.  R )
7463, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  X  e.  R )
75 xpexg 6575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  _V  /\  X  e.  R )  ->  ( k  X.  X
)  e.  _V )
7672, 74, 75sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  X
)  e.  _V )
77 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  ->  v  e.  ( S  tX  R ) )
7877ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
v  e.  ( S 
tX  R ) )
79 elrestr 14918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  tX  R
)  e.  Top  /\  ( k  X.  X
)  e.  _V  /\  v  e.  ( S  tX  R ) )  -> 
( v  i^i  (
k  X.  X ) )  e.  ( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) ) )
8071, 76, 78, 79syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( v  i^i  (
k  X.  X ) )  e.  ( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) ) )
8167ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  S  e.  Top )
8272a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
k  e.  _V )
83 txrest 20298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  Top  /\  R  e.  Top )  /\  ( k  e.  _V  /\  X  e.  R ) )  ->  ( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) )  =  ( ( St  k )  tX  ( Rt  X ) ) )
8481, 65, 82, 74, 83syl22anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) )  =  ( ( St  k ) 
tX  ( Rt  X ) ) )
85 toponuni 19595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
8663, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  X  =  U. R )
8786oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( Rt  X )  =  ( Rt 
U. R ) )
8860restid 14923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( Rt  U. R
)  =  R )
8963, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( Rt  U. R )  =  R )
9087, 89eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( Rt  X )  =  R )
9190oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( ( St  k ) 
tX  ( Rt  X ) )  =  ( ( St  k )  tX  R
) )
9284, 91eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( ( S  tX  R )t  ( k  X.  X ) )  =  ( ( St  k ) 
tX  R ) )
9380, 92eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( v  i^i  (
k  X.  X ) )  e.  ( ( St  k )  tX  R
) )
9423adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  S  e.  (TopOn `  Y
) )
9526adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
k  C_  Y )
96 resttopon 19829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  k  C_  Y )  ->  ( St  k )  e.  (TopOn `  k ) )
9794, 95, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( St  k )  e.  (TopOn `  k )
)
98 toponuni 19595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( St  k )  e.  (TopOn `  k )  ->  k  =  U. ( St  k ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
k  =  U. ( St  k ) )
10099xpeq1d 5011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  =  ( U. ( St  k )  X.  { w } ) )
101 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  C_  v )
102 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  w  e.  X )
103102snssd 4161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  { w }  C_  X )
104 xpss2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { w }  C_  X  ->  ( k  X.  {
w } )  C_  ( k  X.  X
) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  C_  ( k  X.  X
) )
106101, 105ssind 3708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( k  X.  {
w } )  C_  ( v  i^i  (
k  X.  X ) ) )
107100, 106eqsstr3d 3524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( U. ( St  k )  X.  { w } )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) )
108102, 86eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  w  e.  U. R )
10959, 60, 61, 65, 93, 107, 108txtube 20307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  ( U. ( St  k )  X.  r ) 
C_  ( v  i^i  ( k  X.  X
) ) ) )
110 toponss 19597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  r  e.  R )  ->  r  C_  X )
11163, 110sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  r  C_  X )
112 ssrab 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r 
C_  { x  e.  X  |  ( k  X.  { x }
)  C_  v }  <->  ( r  C_  X  /\  A. x  e.  r  ( k  X.  { x } )  C_  v
) )
113112baib 901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r 
C_  X  ->  (
r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } 
<-> 
A. x  e.  r  ( k  X.  {
x } )  C_  v ) )
114111, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } 
<-> 
A. x  e.  r  ( k  X.  {
x } )  C_  v ) )
115 xpss2 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( r 
C_  X  ->  (
k  X.  r ) 
C_  ( k  X.  X ) )
116111, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( k  X.  r
)  C_  ( k  X.  X ) )
117116biantrud 505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( ( k  X.  r )  C_  v  <->  ( ( k  X.  r
)  C_  v  /\  ( k  X.  r
)  C_  ( k  X.  X ) ) ) )
118 iunid 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ x  e.  r  { x }  =  r
119118xpeq2i 5009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  X.  U_ x  e.  r  { x }
)  =  ( k  X.  r )
120 xpiundi 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  X.  U_ x  e.  r  { x }
)  =  U_ x  e.  r  ( k  X.  { x } )
121119, 120eqtr3i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  X.  r )  = 
U_ x  e.  r  ( k  X.  {
x } )
122121sseq1i 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  X.  r ) 
C_  v  <->  U_ x  e.  r  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v )
123 iunss 4356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ x  e.  r  (
k  X.  { x } )  C_  v  <->  A. x  e.  r  ( k  X.  { x } )  C_  v
)
124122, 123bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  X.  r ) 
C_  v  <->  A. x  e.  r  ( k  X.  { x } ) 
C_  v )
125 ssin 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  X.  r
)  C_  v  /\  ( k  X.  r
)  C_  ( k  X.  X ) )  <->  ( k  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) )
126117, 124, 1253bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( A. x  e.  r  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v  <->  ( k  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) )
12799adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  k  =  U. ( St  k ) )
128127xpeq1d 5011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( k  X.  r
)  =  ( U. ( St  k )  X.  r ) )
129128sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( ( k  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) )  <->  ( U. ( St  k )  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) )
130114, 126, 1293bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } 
<->  ( U. ( St  k )  X.  r ) 
C_  ( v  i^i  ( k  X.  X
) ) ) )
131130anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  /\  ( St  k )  e.  Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  /\  r  e.  R )  ->  ( ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } )  <->  ( w  e.  r  /\  ( U. ( St  k )  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) ) )
132131rexbidva 2962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  -> 
( E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } )  <->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  ( U. ( St  k )  X.  r )  C_  (
v  i^i  ( k  X.  X ) ) ) ) )
133109, 132mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  (
w  e.  X  /\  ( k  X.  {
w } )  C_  v ) )  ->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } ) )
13458, 133sylan2b 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  /\  w  e.  { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v } )  ->  E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v } ) )
135134ralrimiva 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  A. w  e.  { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v } E. r  e.  R  (
w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  |  ( k  X.  { x }
)  C_  v }
) )
136 eltop2 19644 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Top  ->  ( { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v }  e.  R 
<-> 
A. w  e.  {
x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } ) ) )
13714, 68, 1363syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  ( { x  e.  X  |  ( k  X. 
{ x } ) 
C_  v }  e.  R 
<-> 
A. w  e.  {
x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } E. r  e.  R  ( w  e.  r  /\  r  C_  { x  e.  X  | 
( k  X.  {
x } )  C_  v } ) ) )
138135, 137mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  X  |  (
k  X.  { x } )  C_  v }  e.  R )
13954, 138eqeltrd 2542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  X  |  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }  e.  R
)
140 imaeq2 5321 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v }  ->  ( `' F " z )  =  ( `' F " { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } ) )
1417mptpreima 5483 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  e.  X  | 
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }
142140, 141syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v }  ->  ( `' F " z )  =  {
x  e.  X  | 
( y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } } )
143142eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v }  ->  ( ( `' F " z )  e.  R  <->  { x  e.  X  |  (
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. )  e.  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } }  e.  R
) )
144139, 143syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R
) ) )  /\  ( St  k )  e. 
Comp )  ->  (
z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
145144expimpd 601 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. S  /\  v  e.  ( S  tX  R ) ) )  ->  ( ( ( St  k )  e.  Comp  /\  z  =  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f
" k )  C_  v } )  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
146145rexlimdvva 2953 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( E. k  e.  ~P  U. S E. v  e.  ( S  tX  R ) ( ( St  k )  e. 
Comp  /\  z  =  {
f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
14713, 146syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( z  e.  ran  ( k  e. 
{ w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' F " z )  e.  R ) )
148147ralrimiv 2866 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. z  e.  ran  ( k  e. 
{ w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' F " z )  e.  R
)
149 simpl 455 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  R  e.  (TopOn `  X ) )
150 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  e. 
_V
151150pwex 4620 . . . . 5  |-  ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  e. 
_V
1529, 10, 11xkotf 20252 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp }  X.  ( S  tX  R ) ) --> ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )
153 frn 5719 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp }  X.  ( S  tX  R ) ) --> ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  ->  ran  ( k  e.  {
w  e.  ~P U. S  |  ( St  w
)  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) )
154152, 153ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  C_  ~P ( S  Cn  ( S  tX  R ) )
155151, 154ssexi 4582 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { w  e.  ~P U. S  | 
( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V
156155a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V )
1579, 10, 11xkoval 20254 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Top  /\  ( S  tX  R )  e.  Top )  -> 
( ( S  tX  R )  ^ko  S )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
w  e.  ~P U. S  |  ( St  w
)  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
15867, 70, 157syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( S  tX  R )  ^ko  S )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  { w  e. 
~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } ,  v  e.  ( S  tX  R ) 
|->  { f  e.  ( S  Cn  ( S 
tX  R ) )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ) ) )
159 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( ( S  tX  R )  ^ko  S )  =  ( ( S  tX  R )  ^ko  S )
160159xkotopon 20267 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Top  /\  ( S  tX  R )  e.  Top )  -> 
( ( S  tX  R )  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) ) )
16167, 70, 160syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( S  tX  R )  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  ( S  tX  R ) ) ) )
162149, 156, 158, 161subbascn 19922 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( R  Cn  (
( S  tX  R
)  ^ko  S ) )  <->  ( F : X --> ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  /\  A. z  e.  ran  ( k  e. 
{ w  e.  ~P U. S  |  ( St  w )  e.  Comp } , 
v  e.  ( S 
tX  R )  |->  { f  e.  ( S  Cn  ( S  tX  R ) )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' F " z )  e.  R
) ) )
1638, 148, 162mpbir2and 920 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  F  e.  ( R  Cn  (
( S  tX  R
)  ^ko  S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   {csn 4016   <.cop 4022   U.cuni 4235   U_ciun 4315    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   "cima 4991   Fun wfun 5564   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   ficfi 7862   ↾t crest 14910   topGenctg 14927   Topctop 19561  TopOnctopon 19562    Cn ccn 19892   Compccmp 20053    tX ctx 20227    ^ko cxko 20228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-xko 20230
This theorem is referenced by:  cnmpt2k  20355
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