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Theorem xkohmeo 20161
Description: The Exponential Law for topological spaces. The "currying" function  F is a homeomorphism on function spaces when  J and  K are exponentiable spaces (by xkococn 20006, it is sufficient to assume that  J ,  K are locally compact to ensure exponentiability). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkohmeo.x  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
xkohmeo.y  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
xkohmeo.f  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
xkohmeo.j  |-  ( ph  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.k  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.l  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
Assertion
Ref Expression
xkohmeo  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( L  ^ko  ( J  tX  K
) ) Homeo ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J ) ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, J    f, K, x, y    ph, f, x, y    f, L, x, y    f, X, x, y    f, Y, x, y    f, F, x, y

Proof of Theorem xkohmeo
Dummy variables  g 
t  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkohmeo.f . . 3  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
2 xkohmeo.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 xkohmeo.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 txtopon 19937 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
6 topontop 19273 . . . . . 6  |-  ( ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) )  ->  ( J  tX  K )  e.  Top )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
8 xkohmeo.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
9 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  =  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )
109xkotopon 19946 . . . . 5  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  e.  (TopOn `  ( ( J  tX  K )  Cn  L ) ) )
117, 8, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  e.  (TopOn `  ( ( J  tX  K )  Cn  L ) ) )
12 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  f  e. 
_V
13 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1412, 13op1std 6804 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. f ,  x >.  ->  ( 1st `  z
)  =  f )
1512, 13op2ndd 6805 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. f ,  x >.  ->  ( 2nd `  z
)  =  x )
16 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. f ,  x >.  ->  y  =  y )
1714, 15, 16oveq123d 6315 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. f ,  x >.  ->  ( ( 2nd `  z ) ( 1st `  z ) y )  =  ( x f y ) )
1817mpteq2dv 4539 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. f ,  x >.  ->  ( y  e.  Y  |->  ( ( 2nd `  z ) ( 1st `  z ) y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
1918mpt2mpt 6388 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( 2nd `  z ) ( 1st `  z
) y ) ) )  =  ( f  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L ) ,  x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
20 txtopon 19937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  e.  (TopOn `  ( ( J  tX  K )  Cn  L ) )  /\  J  e.  (TopOn `  X
) )  ->  (
( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J )  e.  (TopOn `  ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
) ) )
2111, 2, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( (
( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X ) ) )
22 vex 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
23 vex 3121 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
2422, 23op1std 6804 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  <. z ,  y
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  z )
2524fveq2d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. z ,  y
>.  ->  ( 1st `  ( 1st `  w ) )  =  ( 1st `  z
) )
2624fveq2d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. z ,  y
>.  ->  ( 2nd `  ( 1st `  w ) )  =  ( 2nd `  z
) )
2722, 23op2ndd 6805 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. z ,  y
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  y )
2825, 26, 27oveq123d 6315 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. z ,  y
>.  ->  ( ( 2nd `  ( 1st `  w
) ) ( 1st `  ( 1st `  w
) ) ( 2nd `  w ) )  =  ( ( 2nd `  z
) ( 1st `  z
) y ) )
2928mpt2mpt 6388 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( ( ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X )  X.  Y )  |->  ( ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ( 1st `  ( 1st `  w ) ) ( 2nd `  w ) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  ( ( 2nd `  z
) ( 1st `  z
) y ) )
30 txtopon 19937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  e.  (TopOn `  ( (
( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X ) )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( (
( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X )  X.  Y ) ) )
3121, 3, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  e.  (TopOn `  ( (
( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X )  X.  Y ) ) )
32 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  U. L  =  U. L
3332toptopon 19280 . . . . . . . . 9  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
348, 33sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
35 xkohmeo.j . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
36 xkohmeo.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
37 txcmp 19989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Comp  /\  y  e.  Comp )  ->  (
x  tX  y )  e.  Comp )
3837txnlly 19983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e. 𝑛Locally  Comp  /\  K  e. 𝑛Locally  Comp )  ->  ( J  tX  K )  e. 𝑛Locally  Comp )
3935, 36, 38syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e. 𝑛Locally  Comp )
4025mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ( ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X )  X.  Y )  |->  ( 1st `  ( 1st `  w
) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  ( 1st `  z
) )
415adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  X.  Y
) )  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
4234adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  X.  Y
) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
43 xp1st 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( ( ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X )  X.  Y )  ->  ( 1st `  w )  e.  ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  w )  e.  ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
) )
45 xp1st 6824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1st `  w )  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  ->  ( 1st `  ( 1st `  w
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  ( 1st `  w
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
47 cnf2 19595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( 1st `  ( 1st `  w ) )  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L ) )  -> 
( 1st `  ( 1st `  w ) ) : ( X  X.  Y ) --> U. L
)
4841, 42, 46, 47syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  ( 1st `  w
) ) : ( X  X.  Y ) --> U. L )
4948feqmptd 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  X.  Y
) )  ->  ( 1st `  ( 1st `  w
) )  =  ( u  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  ( 1st `  w ) ) `
 u ) ) )
5049mpteq2dva 4538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
)  X.  Y ) 
|->  ( 1st `  ( 1st `  w ) ) )  =  ( w  e.  ( ( ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X )  X.  Y )  |->  ( u  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  ( 1st `  w ) ) `  u ) ) ) )
5140, 50syl5eqr 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  ( 1st `  z
) )  =  ( w  e.  ( ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X )  X.  Y )  |->  ( u  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( 1st `  ( 1st `  w ) ) `
 u ) ) ) )
5221, 3cnmpt1st 20014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  z )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  Cn  ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J ) ) )
53 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  z  ->  ( 1st `  t )  =  ( 1st `  z
) )
5453cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  |->  ( 1st `  t ) )  =  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) 
|->  ( 1st `  z
) )
5514mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  |->  ( 1st `  z ) )  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) ,  x  e.  X  |->  f )
5611, 2cnmpt1st 20014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) ,  x  e.  X  |->  f )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) )
5755, 56syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) 
|->  ( 1st `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) )
5854, 57syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) 
|->  ( 1st `  t
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) )
5921, 3, 52, 21, 58, 53cnmpt21 20017 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  ( 1st `  z
) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) )
6051, 59eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
)  X.  Y ) 
|->  ( u  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( ( 1st `  ( 1st `  w ) ) `
 u ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  tX  K )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) )
6126mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ( ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X )  X.  Y )  |->  ( 2nd `  ( 1st `  w
) ) )  =  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  ( 2nd `  z
) )
62 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  z  ->  ( 2nd `  t )  =  ( 2nd `  z
) )
6362cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  |->  ( 2nd `  t ) )  =  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) 
|->  ( 2nd `  z
) )
6415mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L )  X.  X )  |->  ( 2nd `  z ) )  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) ,  x  e.  X  |->  x )
6511, 2cnmpt2nd 20015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) ,  x  e.  X  |->  x )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  Cn  J ) )
6664, 65syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) 
|->  ( 2nd `  z
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  Cn  J ) )
6763, 66syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) 
|->  ( 2nd `  t
) )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  Cn  J ) )
6821, 3, 52, 21, 67, 62cnmpt21 20017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  ( 2nd `  z
) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  Cn  J ) )
6961, 68syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
)  X.  Y ) 
|->  ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) ) 
tX  J )  tX  K )  Cn  J
) )
7027mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ( ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  X.  X )  X.  Y )  |->  ( 2nd `  w ) )  =  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  y )
7121, 3cnmpt2nd 20015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  Cn  K ) )
7270, 71syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
)  X.  Y ) 
|->  ( 2nd `  w
) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  Cn  K ) )
7331, 69, 72cnmpt1t 20011 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
)  X.  Y ) 
|->  <. ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ,  ( 2nd `  w
) >. )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J ) 
tX  K )  Cn  ( J  tX  K
) ) )
74 fveq2 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  <. ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ,  ( 2nd `  w
) >.  ->  ( ( 1st `  ( 1st `  w
) ) `  u
)  =  ( ( 1st `  ( 1st `  w ) ) `  <. ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ,  ( 2nd `  w
) >. ) )
75 df-ov 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ( 1st `  ( 1st `  w ) ) ( 2nd `  w ) )  =  ( ( 1st `  ( 1st `  w ) ) `  <. ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ,  ( 2nd `  w
) >. )
7674, 75syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  <. ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ,  ( 2nd `  w
) >.  ->  ( ( 1st `  ( 1st `  w
) ) `  u
)  =  ( ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ( 1st `  ( 1st `  w ) ) ( 2nd `  w ) ) )
7731, 5, 34, 39, 60, 73, 76cnmptk1p 20031 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  X.  X
)  X.  Y ) 
|->  ( ( 2nd `  ( 1st `  w ) ) ( 1st `  ( 1st `  w ) ) ( 2nd `  w
) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K
) )  tX  J
)  tX  K )  Cn  L ) )
7829, 77syl5eqelr 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) ,  y  e.  Y  |->  ( ( 2nd `  z
) ( 1st `  z
) y ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J )  tX  K
)  Cn  L ) )
7921, 3, 78cnmpt2k 20034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  X.  X ) 
|->  ( y  e.  Y  |->  ( ( 2nd `  z
) ( 1st `  z
) y ) ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J )  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
8019, 79syl5eqelr 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) ,  x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  tX  J )  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
8111, 2, 80cnmpt2k 20034 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )  e.  ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) )  Cn  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J ) ) )
821, 81syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( L  ^ko  ( J  tX  K
) )  Cn  (
( L  ^ko  K )  ^ko  J ) ) )
832, 3, 1, 35, 36, 8xkocnv 20160 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
8413, 23op1std 6804 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
8584fveq2d 5875 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( g `  ( 1st `  z ) )  =  ( g `
 x ) )
8613, 23op2ndd 6805 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
8785, 86fveq12d 5877 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( g `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) )  =  ( ( g `
 x ) `  y ) )
8887mpt2mpt 6388 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( g `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
)
8988mpteq2i 4535 . . . 4  |-  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( g `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) ) )  =  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) )
9083, 89syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  ( ( g `
 ( 1st `  z
) ) `  ( 2nd `  z ) ) ) ) )
91 nllytop 19819 . . . . . 6  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  J  e.  Top )
9235, 91syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
93 nllytop 19819 . . . . . . 7  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
9436, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
95 xkotop 19934 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  Top )
9694, 8, 95syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  Top )
97 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  =  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )
9897xkotopon 19946 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( L  ^ko  K )  e.  Top )  ->  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  e.  (TopOn `  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ) )
9992, 96, 98syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  e.  (TopOn `  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ) )
100 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  g  e. 
_V
101100, 22op1std 6804 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. g ,  z
>.  ->  ( 1st `  w
)  =  g )
102100, 22op2ndd 6805 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  <. g ,  z
>.  ->  ( 2nd `  w
)  =  z )
103102fveq2d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  <. g ,  z
>.  ->  ( 1st `  ( 2nd `  w ) )  =  ( 1st `  z
) )
104101, 103fveq12d 5877 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. g ,  z
>.  ->  ( ( 1st `  w ) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) )  =  ( g `  ( 1st `  z ) ) )
105102fveq2d 5875 . . . . . . 7  |-  ( w  =  <. g ,  z
>.  ->  ( 2nd `  ( 2nd `  w ) )  =  ( 2nd `  z
) )
106104, 105fveq12d 5877 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. g ,  z
>.  ->  ( ( ( 1st `  w ) `
 ( 1st `  ( 2nd `  w ) ) ) `  ( 2nd `  ( 2nd `  w
) ) )  =  ( ( g `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )
107106mpt2mpt 6388 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( ( ( 1st `  w ) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) `  ( 2nd `  ( 2nd `  w ) ) ) )  =  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( g `  ( 1st `  z ) ) `
 ( 2nd `  z
) ) )
108 txtopon 19937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  e.  (TopOn `  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )  ->  ( (
( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  e.  (TopOn `  (
( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) ) )
10999, 5, 108syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  e.  (TopOn `  (
( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) ) )
1103adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
11134adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
1122adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
113 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
114113xkotopon 19946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
11594, 8, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
116115adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
117 xp1st 6824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( 1st `  w
)  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( 1st `  w
)  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
119 cnf2 19595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  ( 1st `  w )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( 1st `  w
) : X --> ( K  Cn  L ) )
120112, 116, 118, 119syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( 1st `  w
) : X --> ( K  Cn  L ) )
121 xp2nd 6825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) )  ->  ( 2nd `  w
)  e.  ( X  X.  Y ) )
122121adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( 2nd `  w
)  e.  ( X  X.  Y ) )
123 xp1st 6824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2nd `  w )  e.  ( X  X.  Y )  ->  ( 1st `  ( 2nd `  w
) )  e.  X
)
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( 1st `  ( 2nd `  w ) )  e.  X )
125120, 124ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( ( 1st `  w
) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) )  e.  ( K  Cn  L
) )
126 cnf2 19595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( ( 1st `  w ) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
( 1st `  w
) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) : Y --> U. L )
127110, 111, 125, 126syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( ( 1st `  w
) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) : Y --> U. L )
128127feqmptd 5926 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( ( 1st `  w
) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( ( 1st `  w ) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) `  y ) ) )
129128mpteq2dva 4538 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( ( 1st `  w
) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) )  =  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) )  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( ( 1st `  w
) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) `  y ) ) ) )
130101mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( 1st `  w
) )  =  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y
)  |->  g )
131120feqmptd 5926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) ) )  -> 
( 1st `  w
)  =  ( x  e.  X  |->  ( ( 1st `  w ) `
 x ) ) )
132131mpteq2dva 4538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( 1st `  w
) )  =  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( 1st `  w
) `  x )
) ) )
133130, 132syl5eqr 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  g )  =  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y
) )  |->  ( x  e.  X  |->  ( ( 1st `  w ) `
 x ) ) ) )
13499, 5cnmpt1st 20014 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  g )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J ) ) )
135133, 134eqeltrrd 2556 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( ( 1st `  w
) `  x )
) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J ) ) )
136103mpt2mpt 6388 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( 1st `  ( 2nd `  w ) ) )  =  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )
13799, 5cnmpt2nd 20015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  ( J  tX  K ) ) )
13853cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  t ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( 1st `  z
) )
13984mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )
1402, 3cnmpt1st 20014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  x )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
141139, 140syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( 1st `  z
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
142138, 141syl5eqel 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( 1st `  t
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  J ) )
14399, 5, 137, 5, 142, 53cnmpt21 20017 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 1st `  z ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  J ) )
144136, 143syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( 1st `  ( 2nd `  w ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J 
tX  K ) )  Cn  J ) )
145 fveq2 5871 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1st `  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( 1st `  w ) `  x
)  =  ( ( 1st `  w ) `
 ( 1st `  ( 2nd `  w ) ) ) )
146109, 2, 115, 35, 135, 144, 145cnmptk1p 20031 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( ( 1st `  w
) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
147129, 146eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( y  e.  Y  |->  ( ( ( 1st `  w ) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) `  y ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
148105mpt2mpt 6388 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( 2nd `  ( 2nd `  w ) ) )  =  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )
14962cbvmptv 4543 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  t ) )  =  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( 2nd `  z
) )
15086mpt2mpt 6388 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )
1512, 3cnmpt2nd 20015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  y )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
152150, 151syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( 2nd `  z
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
153149, 152syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X  X.  Y ) 
|->  ( 2nd `  t
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  K ) )
15499, 5, 137, 5, 153, 62cnmpt21 20017 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( 2nd `  z ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  K ) )
155148, 154syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( 2nd `  ( 2nd `  w ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J 
tX  K ) )  Cn  K ) )
156 fveq2 5871 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( 2nd `  ( 2nd `  w ) )  ->  ( ( ( 1st `  w ) `
 ( 1st `  ( 2nd `  w ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 1st `  w ) `
 ( 1st `  ( 2nd `  w ) ) ) `  ( 2nd `  ( 2nd `  w
) ) ) )
157109, 3, 34, 36, 147, 155, 156cnmptk1p 20031 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  X.  ( X  X.  Y ) ) 
|->  ( ( ( 1st `  w ) `  ( 1st `  ( 2nd `  w
) ) ) `  ( 2nd `  ( 2nd `  w ) ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J 
tX  K ) )  Cn  L ) )
158107, 157syl5eqelr 2560 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) ,  z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( g `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) )  e.  ( ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  tX  ( J  tX  K ) )  Cn  L ) )
15999, 5, 158cnmpt2k 20034 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  ( ( g `  ( 1st `  z ) ) `  ( 2nd `  z ) ) ) )  e.  ( ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) )
16090, 159eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ph  ->  `' F  e.  (
( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) )
161 ishmeo 20105 . 2  |-  ( F  e.  ( ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) Homeo ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J ) )  <->  ( F  e.  ( ( L  ^ko  ( J 
tX  K ) )  Cn  ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J ) )  /\  `' F  e.  (
( ( L  ^ko  K )  ^ko  J )  Cn  ( L  ^ko  ( J  tX  K ) ) ) ) )
16282, 160, 161sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( L  ^ko  ( J  tX  K
) ) Homeo ( ( L  ^ko  K )  ^ko  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4038   U.cuni 4250    |-> cmpt 4510    X. cxp 5002   `'ccnv 5003   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    |-> cmpt2 6296   1stc1st 6792   2ndc2nd 6793   Topctop 19240  TopOnctopon 19241    Cn ccn 19570   Compccmp 19731  𝑛Locally cnlly 19811    tX ctx 19906    ^ko cxko 19907   Homeochmeo 20099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-fi 7881  df-rest 14690  df-topgen 14711  df-pt 14712  df-top 19245  df-bases 19247  df-topon 19248  df-ntr 19366  df-nei 19444  df-cn 19573  df-cnp 19574  df-cmp 19732  df-nlly 19813  df-tx 19908  df-xko 19909  df-hmeo 20101
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