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Theorem xkohaus 19126
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables a b f g h u v x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 18835 . . 3 |- ( S e. Haus -> S e. Top )
2 xkotop 19061 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
31, 2sylan2 471 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
4 eqid 2441 . . . . . . . 8 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
54xkouni 19072 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
61, 5sylan2 471 . . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
76eleq2d 2508 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( f e. ( R Cn S ) <-> f e. U. ( S ^ko R ) ) )
86eleq2d 2508 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( g e. ( R Cn S ) <-> g e. U. ( S ^ko R ) ) )
97, 8anbi12d 705 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) <-> ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) ) )
10 simprl 750 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
11 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
12 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11 |- U. S = U. S
1311, 12cnf 18750 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( R Cn S ) -> f : U. R --> U. S )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
15 ffn 5556 . . . . . . . . 9 |- ( f : U. R --> U. S -> f Fn U. R )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f Fn U. R )
17 simprr 751 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
1811, 12cnf 18750 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( R Cn S ) -> g : U. R --> U. S )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
20 ffn 5556 . . . . . . . . 9 |- ( g : U. R --> U. S -> g Fn U. R )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g Fn U. R )
22 eqfnfv 5794 . . . . . . . 8 |- ( ( f Fn U. R /\ g Fn U. R ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 656 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2423necon3abid 2639 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
25 rexnal 2724 . . . . . . 7 |- ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) )
26 df-ne 2606 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) <-> -. ( f ` x ) = ( g ` x ) )
27 simpllr 753 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> S e. Haus )
2814adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
29 simprl 750 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> x e. U. R )
3028, 29ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) e. U. S )
3119adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( g ` x ) e. U. S )
33 simprr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) =/= ( g ` x ) )
3412hausnei 18832 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Haus /\ ( ( f ` x ) e. U. S /\ ( g ` x ) e. U. S /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1215 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3635expr 612 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 218 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
38 simp-4l 760 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. Top )
391ad4antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> S e. Top )
40 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> x e. U. R )
4140snssd 4015 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { x } C_ U. R )
4211toptopon 18438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
4338, 42sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
44 restsn2 18675 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ x e. U. R ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
46 snfi 7386 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x } e. Fin
47 discmp 18901 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x } e. Fin <-> ~P { x } e. Comp )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P { x } e. Comp
4945, 48syl6eqel 2529 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) e. Comp )
50 simprll 756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> a e. S )
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 19062 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) )
52 simprlr 757 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> b e. S )
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 19062 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) )
5410ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
5516ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f Fn U. R )
56 fnsnfv 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
58 simprr1 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f ` x ) e. a )
5958snssd 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } C_ a )
6057, 59eqsstr3d 3388 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f " { x } ) C_ a )
61 imaeq1 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = f -> ( h " { x } ) = ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = f -> ( ( h " { x } ) C_ a <-> ( f " { x } ) C_ a ) )
6362elrab 3114 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { x } ) C_ a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } )
6517ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
6621ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g Fn U. R )
67 fnsnfv 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
69 simprr2 1032 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g ` x ) e. b )
7069snssd 4015 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } C_ b )
7168, 70eqsstr3d 3388 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g " { x } ) C_ b )
72 imaeq1 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( h " { x } ) = ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( h " { x } ) C_ b <-> ( g " { x } ) C_ b ) )
7473elrab 3114 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } <-> ( g e. ( R Cn S ) /\ ( g " { x } ) C_ b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } )
76 inrab 3619 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) }
77 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. U. R )
7811, 12cnf 18750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h e. ( R Cn S ) -> h : U. R --> U. S )
79 fdm 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h : U. R --> U. S -> dom h = U. R )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h e. ( R Cn S ) -> dom h = U. R )
8180adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> dom h = U. R )
8277, 81eleqtrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. dom h )
83 simprr3 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
8483adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
85 sseq0 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> ( h " { x } ) = (/) )
8685expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
88 imadisj 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> ( dom h i^i { x } ) = (/) )
89 disjsn 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom h i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9187, 90syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> -. x e. dom h ) )
9282, 91mt2d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
93 ssin 3569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) <-> ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
9492, 93sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9594ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
96 rabeq0 3656 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) <-> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) )
9876, 97syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) )
99 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( f e. u <-> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } ) )
100 ineq1 3542 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( u i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) )
101100eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1286 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) ) )
103 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( g e. v <-> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
104 ineq2 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
105104eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1287 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3078 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) /\ { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) /\ ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
109108expr 612 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
110109rexlimdvva 2846 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11137, 110syld 44 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
112111rexlimdva 2839 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 218 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11424, 113sylbid 215 . . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
115114ex 434 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 235 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2805 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
118 eqid 2441 . . 3 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
119118ishaus 18826 . 2 |- ( ( S ^ko R ) e. Haus <-> ( ( S ^ko R ) e. Top /\ A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 659 1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088   dom cdm 4836   "cima 4839   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   ↾t crest 14355   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   Cn ccn 18728   Hauscha 18812   Compccmp 18889   ^ko cxko 19034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cn 18731  df-haus 18819  df-cmp 18890  df-xko 19036
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