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Theorem xkohaus 20444
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables a b f g h u v x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20123 . . 3 |- ( S e. Haus -> S e. Top )
2 xkotop 20379 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
31, 2sylan2 472 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
4 eqid 2402 . . . . . . . 8 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
54xkouni 20390 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
61, 5sylan2 472 . . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
76eleq2d 2472 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( f e. ( R Cn S ) <-> f e. U. ( S ^ko R ) ) )
86eleq2d 2472 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( g e. ( R Cn S ) <-> g e. U. ( S ^ko R ) ) )
97, 8anbi12d 709 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) <-> ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) ) )
10 simprl 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
11 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
12 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11 |- U. S = U. S
1311, 12cnf 20038 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( R Cn S ) -> f : U. R --> U. S )
1410, 13syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
15 ffn 5713 . . . . . . . . 9 |- ( f : U. R --> U. S -> f Fn U. R )
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f Fn U. R )
17 simprr 758 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
1811, 12cnf 20038 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( R Cn S ) -> g : U. R --> U. S )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
20 ffn 5713 . . . . . . . . 9 |- ( g : U. R --> U. S -> g Fn U. R )
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g Fn U. R )
22 eqfnfv 5958 . . . . . . . 8 |- ( ( f Fn U. R /\ g Fn U. R ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2423necon3abid 2649 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
25 rexnal 2851 . . . . . . 7 |- ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) )
26 df-ne 2600 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) <-> -. ( f ` x ) = ( g ` x ) )
27 simpllr 761 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> S e. Haus )
2814adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
29 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> x e. U. R )
3028, 29ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) e. U. S )
3119adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 6009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( g ` x ) e. U. S )
33 simprr 758 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) =/= ( g ` x ) )
3412hausnei 20120 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Haus /\ ( ( f ` x ) e. U. S /\ ( g ` x ) e. U. S /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1232 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3635expr 613 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 218 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
38 simp-4l 768 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. Top )
391ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> S e. Top )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> x e. U. R )
4140snssd 4116 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { x } C_ U. R )
4211toptopon 19724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
4338, 42sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
44 restsn2 19963 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ x e. U. R ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
46 snfi 7633 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x } e. Fin
47 discmp 20189 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x } e. Fin <-> ~P { x } e. Comp )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P { x } e. Comp
4945, 48syl6eqel 2498 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) e. Comp )
50 simprll 764 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> a e. S )
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 20380 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) )
52 simprlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> b e. S )
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 20380 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) )
5410ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
5516ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f Fn U. R )
56 fnsnfv 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
58 simprr1 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f ` x ) e. a )
5958snssd 4116 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } C_ a )
6057, 59eqsstr3d 3476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f " { x } ) C_ a )
61 imaeq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = f -> ( h " { x } ) = ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = f -> ( ( h " { x } ) C_ a <-> ( f " { x } ) C_ a ) )
6362elrab 3206 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { x } ) C_ a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } )
6517ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
6621ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g Fn U. R )
67 fnsnfv 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
69 simprr2 1046 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g ` x ) e. b )
7069snssd 4116 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } C_ b )
7168, 70eqsstr3d 3476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g " { x } ) C_ b )
72 imaeq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( h " { x } ) = ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3468 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( h " { x } ) C_ b <-> ( g " { x } ) C_ b ) )
7473elrab 3206 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } <-> ( g e. ( R Cn S ) /\ ( g " { x } ) C_ b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } )
76 inrab 3721 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) }
77 simpllr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. U. R )
7811, 12cnf 20038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h e. ( R Cn S ) -> h : U. R --> U. S )
79 fdm 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h : U. R --> U. S -> dom h = U. R )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h e. ( R Cn S ) -> dom h = U. R )
8180adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> dom h = U. R )
8277, 81eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. dom h )
83 simprr3 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
8483adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
85 sseq0 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> ( h " { x } ) = (/) )
8685expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
88 imadisj 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> ( dom h i^i { x } ) = (/) )
89 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom h i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9187, 90syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> -. x e. dom h ) )
9282, 91mt2d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
93 ssin 3660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) <-> ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
9492, 93sylnibr 303 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9594ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
96 rabeq0 3760 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) <-> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) )
9876, 97syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) )
99 eleq2 2475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( f e. u <-> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } ) )
100 ineq1 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( u i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) )
101100eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) ) )
103 eleq2 2475 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( g e. v <-> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
104 ineq2 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
105104eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1304 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3170 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) /\ { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) /\ ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
109108expr 613 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
110109rexlimdvva 2902 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11137, 110syld 42 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
112111rexlimdva 2895 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 218 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11424, 113sylbid 215 . . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
115114ex 432 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 235 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2823 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
118 eqid 2402 . . 3 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
119118ishaus 20114 . 2 |- ( ( S ^ko R ) e. Haus <-> ( ( S ^ko R ) e. Top /\ A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 662 1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   i^i cin 3412   C_ wss 3413   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   {csn 3971   U.cuni 4190   dom cdm 4822   "cima 4825   Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   ↾t crest 15033   Topctop 19684  TopOnctopon 19685   Cn ccn 20016   Hauscha 20100   Compccmp 20177   ^ko cxko 20352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cn 20019  df-haus 20107  df-cmp 20178  df-xko 20354
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