MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkohaus Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xkohaus 20668
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Haus )

Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables  a 
b  f  g  h  u  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20347 . . 3  |-  ( S  e.  Haus  ->  S  e. 
Top )
2 xkotop 20603 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
31, 2sylan2 477 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Top )
4 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
54xkouni 20614 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
61, 5sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
76eleq2d 2514 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( f  e.  ( R  Cn  S )  <-> 
f  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) )
86eleq2d 2514 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( g  e.  ( R  Cn  S )  <-> 
g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) )
97, 8anbi12d 717 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  <->  ( f  e.  U. ( S  ^ko  R )  /\  g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) ) )
10 simprl 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  e.  ( R  Cn  S
) )
11 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  U. R  =  U. R
12 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  U. S  =  U. S
1311, 12cnf 20262 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  f : U. R --> U. S
)
1410, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f : U. R --> U. S
)
15 ffn 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. R --> U. S  ->  f  Fn  U. R
)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  Fn  U. R )
17 simprr 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
1811, 12cnf 20262 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  ->  g : U. R --> U. S
)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g : U. R --> U. S
)
20 ffn 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( g : U. R --> U. S  ->  g  Fn  U. R
)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  Fn  U. R )
22 eqfnfv 5976 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  U. R  /\  g  Fn  U. R
)  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  U. R ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =  g  <->  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) ) )
2423necon3abid 2660 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =/=  g  <->  -.  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) ) )
25 rexnal 2836 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  U. R  -.  ( f `  x
)  =  ( g `
 x )  <->  -.  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) )
26 df-ne 2624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  =/=  ( g `  x )  <->  -.  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
27 simpllr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  S  e.  Haus )
2814adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  f : U. R --> U. S )
29 simprl 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  x  e.  U. R )
3028, 29ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  U. S )
3119adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  U. S )
33 simprr 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( f `  x )  =/=  (
g `  x )
)
3412hausnei 20344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Haus  /\  (
( f `  x
)  e.  U. S  /\  ( g `  x
)  e.  U. S  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) )
3635expr 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( ( f `
 x )  =/=  ( g `  x
)  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( -.  (
f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )
38 simp-4l 776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
391ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
40 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. R )
4140snssd 4117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { x }  C_ 
U. R )
4211toptopon 19948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
4338, 42sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
44 restsn2 20187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  x  e.  U. R )  -> 
( Rt  { x } )  =  ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( Rt  { x } )  =  ~P { x } )
46 snfi 7650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x }  e.  Fin
47 discmp 20413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Comp )
4846, 47mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P {
x }  e.  Comp
4945, 48syl6eqel 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( Rt  { x } )  e.  Comp )
50 simprll 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  a  e.  S
)
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 20604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  e.  ( S  ^ko  R ) )
52 simprlr 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  b  e.  S
)
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 20604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  e.  ( S  ^ko  R ) )
5410ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  e.  ( R  Cn  S ) )
5516ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  Fn  U. R )
56 fnsnfv 5925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  U. R  /\  x  e.  U. R
)  ->  { (
f `  x ) }  =  ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( f `
 x ) }  =  ( f " { x } ) )
58 simprr1 1056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  a )
5958snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( f `
 x ) } 
C_  a )
6057, 59eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( f " { x } ) 
C_  a )
61 imaeq1 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  f  ->  (
h " { x } )  =  ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  f  ->  (
( h " {
x } )  C_  a 
<->  ( f " {
x } )  C_  a ) )
6362elrab 3196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( f " {
x } )  C_  a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a } )
6517ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S ) )
6621ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  Fn  U. R )
67 fnsnfv 5925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  Fn  U. R  /\  x  e.  U. R
)  ->  { (
g `  x ) }  =  ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( g `
 x ) }  =  ( g " { x } ) )
69 simprr2 1057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  b )
7069snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( g `
 x ) } 
C_  b )
7168, 70eqsstr3d 3467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( g " { x } ) 
C_  b )
72 imaeq1 5163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  (
h " { x } )  =  ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
( h " {
x } )  C_  b 
<->  ( g " {
x } )  C_  b ) )
7473elrab 3196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  <->  ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( g " {
x } )  C_  b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } )
76 inrab 3715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
)  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( ( h " { x } )  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) }
77 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  x  e.  U. R )
7811, 12cnf 20262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  e.  ( R  Cn  S )  ->  h : U. R --> U. S
)
79 fdm 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h : U. R --> U. S  ->  dom  h  =  U. R )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  e.  ( R  Cn  S )  ->  dom  h  =  U. R )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  dom  h  =  U. R )
8277, 81eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  x  e.  dom  h )
83 simprr3 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( a  i^i  b )  =  (/) )
8483adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
a  i^i  b )  =  (/) )
85 sseq0 3766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  /\  ( a  i^i  b )  =  (/) )  ->  ( h " { x } )  =  (/) )
8685expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  i^i  b )  =  (/)  ->  ( ( h " { x } )  C_  (
a  i^i  b )  ->  ( h " {
x } )  =  (/) ) )
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  ->  ( h " { x } )  =  (/) ) )
88 imadisj 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h " { x } )  =  (/)  <->  ( dom  h  i^i  { x } )  =  (/) )
89 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  h  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  dom  h )
9088, 89bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h " { x } )  =  (/)  <->  -.  x  e.  dom  h )
9187, 90syl6ib 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  ->  -.  x  e.  dom  h ) )
9282, 91mt2d 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  -.  ( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
) )
93 ssin 3654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( h " {
x } )  C_  a  /\  ( h " { x } ) 
C_  b )  <->  ( h " { x } ) 
C_  ( a  i^i  b ) )
9492, 93sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  -.  ( ( h " { x } ) 
C_  a  /\  (
h " { x } )  C_  b
) )
9594ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  A. h  e.  ( R  Cn  S )  -.  ( ( h
" { x }
)  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) )
96 rabeq0 3754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( ( h " { x } ) 
C_  a  /\  (
h " { x } )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. h  e.  ( R  Cn  S )  -.  (
( h " {
x } )  C_  a  /\  ( h " { x } ) 
C_  b ) )
9795, 96sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( ( h " { x } )  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) }  =  (/) )
9876, 97syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b } )  =  (/) )
99 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( f  e.  u  <->  f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }
) )
100 ineq1 3627 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( u  i^i  v
)  =  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  v
) )
101100eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( ( u  i^i  v )  =  (/)  <->  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  v
)  =  (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  ( u  i^i  v )  =  (/) )  <->  ( f  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  /\  g  e.  v  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  v )  =  (/) ) ) )
103 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( g  e.  v  <-> 
g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
) )
104 ineq2 3628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  v )  =  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } ) )
105104eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  v )  =  (/)  <->  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
)  =  (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( ( f  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  /\  g  e.  v  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  v )  =  (/) ) 
<->  ( f  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  /\  g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b }  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } )  =  (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  e.  ( S  ^ko  R )  /\  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b }  e.  ( S  ^ko  R )  /\  ( f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  /\  g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b } )  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
109108expr 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
a  e.  S  /\  b  e.  S )
)  ->  ( (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
110109rexlimdvva 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11137, 110syld 45 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( -.  (
f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
112111rexlimdva 2879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( E. x  e.  U. R  -.  ( f `  x
)  =  ( g `
 x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( -.  A. x  e.  U. R ( f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11424, 113sylbid 219 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
115114ex 436 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 239 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e. 
U. ( S  ^ko  R )  /\  g  e.  U. ( S  ^ko  R ) )  -> 
( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2808 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  ->  A. f  e.  U. ( S  ^ko  R ) A. g  e. 
U. ( S  ^ko  R ) ( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
118 eqid 2451 . . 3  |-  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( S  ^ko  R )
119118ishaus 20338 . 2  |-  ( ( S  ^ko  R )  e.  Haus  <->  (
( S  ^ko  R )  e.  Top  /\ 
A. f  e.  U. ( S  ^ko  R ) A. g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 670 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   dom cdm 4834   "cima 4837    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   ↾t crest 15319   Topctop 19917  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240   Hauscha 20324   Compccmp 20401    ^ko cxko 20576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-xko 20578
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator