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Theorem xkohaus 19884
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables a b f g h u v x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 19593 . . 3 |- ( S e. Haus -> S e. Top )
2 xkotop 19819 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
31, 2sylan2 474 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
4 eqid 2462 . . . . . . . 8 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
54xkouni 19830 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
61, 5sylan2 474 . . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
76eleq2d 2532 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( f e. ( R Cn S ) <-> f e. U. ( S ^ko R ) ) )
86eleq2d 2532 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( g e. ( R Cn S ) <-> g e. U. ( S ^ko R ) ) )
97, 8anbi12d 710 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) <-> ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) ) )
10 simprl 755 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
11 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
12 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11 |- U. S = U. S
1311, 12cnf 19508 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( R Cn S ) -> f : U. R --> U. S )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
15 ffn 5724 . . . . . . . . 9 |- ( f : U. R --> U. S -> f Fn U. R )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f Fn U. R )
17 simprr 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
1811, 12cnf 19508 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( R Cn S ) -> g : U. R --> U. S )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
20 ffn 5724 . . . . . . . . 9 |- ( g : U. R --> U. S -> g Fn U. R )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g Fn U. R )
22 eqfnfv 5968 . . . . . . . 8 |- ( ( f Fn U. R /\ g Fn U. R ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2423necon3abid 2708 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
25 rexnal 2907 . . . . . . 7 |- ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) )
26 df-ne 2659 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) <-> -. ( f ` x ) = ( g ` x ) )
27 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> S e. Haus )
2814adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> x e. U. R )
3028, 29ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) e. U. S )
3119adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( g ` x ) e. U. S )
33 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) =/= ( g ` x ) )
3412hausnei 19590 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Haus /\ ( ( f ` x ) e. U. S /\ ( g ` x ) e. U. S /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3635expr 615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 218 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
38 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. Top )
391ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> S e. Top )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> x e. U. R )
4140snssd 4167 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { x } C_ U. R )
4211toptopon 19196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
4338, 42sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
44 restsn2 19433 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ x e. U. R ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
46 snfi 7588 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x } e. Fin
47 discmp 19659 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x } e. Fin <-> ~P { x } e. Comp )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P { x } e. Comp
4945, 48syl6eqel 2558 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) e. Comp )
50 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> a e. S )
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 19820 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) )
52 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> b e. S )
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 19820 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) )
5410ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
5516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f Fn U. R )
56 fnsnfv 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
58 simprr1 1039 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f ` x ) e. a )
5958snssd 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } C_ a )
6057, 59eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f " { x } ) C_ a )
61 imaeq1 5325 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = f -> ( h " { x } ) = ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = f -> ( ( h " { x } ) C_ a <-> ( f " { x } ) C_ a ) )
6362elrab 3256 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { x } ) C_ a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } )
6517ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
6621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g Fn U. R )
67 fnsnfv 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
69 simprr2 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g ` x ) e. b )
7069snssd 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } C_ b )
7168, 70eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g " { x } ) C_ b )
72 imaeq1 5325 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( h " { x } ) = ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( h " { x } ) C_ b <-> ( g " { x } ) C_ b ) )
7473elrab 3256 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } <-> ( g e. ( R Cn S ) /\ ( g " { x } ) C_ b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } )
76 inrab 3765 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) }
77 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. U. R )
7811, 12cnf 19508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h e. ( R Cn S ) -> h : U. R --> U. S )
79 fdm 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h : U. R --> U. S -> dom h = U. R )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h e. ( R Cn S ) -> dom h = U. R )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> dom h = U. R )
8277, 81eleqtrrd 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. dom h )
83 simprr3 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
85 sseq0 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> ( h " { x } ) = (/) )
8685expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
88 imadisj 5349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> ( dom h i^i { x } ) = (/) )
89 disjsn 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom h i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9187, 90syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> -. x e. dom h ) )
9282, 91mt2d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
93 ssin 3715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) <-> ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
9492, 93sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9594ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
96 rabeq0 3802 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) <-> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) )
9876, 97syl5eq 2515 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) )
99 eleq2 2535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( f e. u <-> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } ) )
100 ineq1 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( u i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) )
101100eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1296 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) ) )
103 eleq2 2535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( g e. v <-> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
104 ineq2 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
105104eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1297 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3220 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) /\ { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) /\ ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1235 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
109108expr 615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
110109rexlimdvva 2957 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11137, 110syld 44 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
112111rexlimdva 2950 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 218 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11424, 113sylbid 215 . . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
115114ex 434 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 235 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2879 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
118 eqid 2462 . . 3 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
119118ishaus 19584 . 2 |- ( ( S ^ko R ) e. Haus <-> ( ( S ^ko R ) e. Top /\ A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 664 1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   U.cuni 4240   dom cdm 4994   "cima 4997   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   ↾t crest 14667   Topctop 19156  TopOnctopon 19157   Cn ccn 19486   Hauscha 19570   Compccmp 19647   ^ko cxko 19792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-rest 14669  df-topgen 14690  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cn 19489  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-xko 19794
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