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Theorem xkohaus 20132
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables a b f g h u v x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 19810 . . 3 |- ( S e. Haus -> S e. Top )
2 xkotop 20067 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
31, 2sylan2 474 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
4 eqid 2443 . . . . . . . 8 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
54xkouni 20078 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
61, 5sylan2 474 . . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
76eleq2d 2513 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( f e. ( R Cn S ) <-> f e. U. ( S ^ko R ) ) )
86eleq2d 2513 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( g e. ( R Cn S ) <-> g e. U. ( S ^ko R ) ) )
97, 8anbi12d 710 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) <-> ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) ) )
10 simprl 756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
12 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11 |- U. S = U. S
1311, 12cnf 19725 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( R Cn S ) -> f : U. R --> U. S )
1410, 13syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
15 ffn 5721 . . . . . . . . 9 |- ( f : U. R --> U. S -> f Fn U. R )
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f Fn U. R )
17 simprr 757 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
1811, 12cnf 19725 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( R Cn S ) -> g : U. R --> U. S )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
20 ffn 5721 . . . . . . . . 9 |- ( g : U. R --> U. S -> g Fn U. R )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g Fn U. R )
22 eqfnfv 5966 . . . . . . . 8 |- ( ( f Fn U. R /\ g Fn U. R ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2423necon3abid 2689 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
25 rexnal 2891 . . . . . . 7 |- ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) )
26 df-ne 2640 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) <-> -. ( f ` x ) = ( g ` x ) )
27 simpllr 760 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> S e. Haus )
2814adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
29 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> x e. U. R )
3028, 29ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) e. U. S )
3119adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( g ` x ) e. U. S )
33 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) =/= ( g ` x ) )
3412hausnei 19807 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Haus /\ ( ( f ` x ) e. U. S /\ ( g ` x ) e. U. S /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1231 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3635expr 615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 218 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
38 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. Top )
391ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> S e. Top )
40 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> x e. U. R )
4140snssd 4160 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { x } C_ U. R )
4211toptopon 19412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
4338, 42sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
44 restsn2 19650 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ x e. U. R ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
46 snfi 7598 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x } e. Fin
47 discmp 19876 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x } e. Fin <-> ~P { x } e. Comp )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P { x } e. Comp
4945, 48syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) e. Comp )
50 simprll 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> a e. S )
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 20068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) )
52 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> b e. S )
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 20068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) )
5410ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
5516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f Fn U. R )
56 fnsnfv 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
58 simprr1 1045 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f ` x ) e. a )
5958snssd 4160 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } C_ a )
6057, 59eqsstr3d 3524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f " { x } ) C_ a )
61 imaeq1 5322 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = f -> ( h " { x } ) = ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = f -> ( ( h " { x } ) C_ a <-> ( f " { x } ) C_ a ) )
6362elrab 3243 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { x } ) C_ a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } )
6517ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
6621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g Fn U. R )
67 fnsnfv 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
69 simprr2 1046 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g ` x ) e. b )
7069snssd 4160 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } C_ b )
7168, 70eqsstr3d 3524 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g " { x } ) C_ b )
72 imaeq1 5322 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( h " { x } ) = ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( h " { x } ) C_ b <-> ( g " { x } ) C_ b ) )
7473elrab 3243 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } <-> ( g e. ( R Cn S ) /\ ( g " { x } ) C_ b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } )
76 inrab 3755 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) }
77 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. U. R )
7811, 12cnf 19725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h e. ( R Cn S ) -> h : U. R --> U. S )
79 fdm 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h : U. R --> U. S -> dom h = U. R )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h e. ( R Cn S ) -> dom h = U. R )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> dom h = U. R )
8277, 81eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. dom h )
83 simprr3 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
85 sseq0 3803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> ( h " { x } ) = (/) )
8685expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
88 imadisj 5346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> ( dom h i^i { x } ) = (/) )
89 disjsn 4075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom h i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9187, 90syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> -. x e. dom h ) )
9282, 91mt2d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
93 ssin 3705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) <-> ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
9492, 93sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9594ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
96 rabeq0 3793 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) <-> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) )
9876, 97syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) )
99 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( f e. u <-> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } ) )
100 ineq1 3678 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( u i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) )
101100eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1302 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) ) )
103 eleq2 2516 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( g e. v <-> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
104 ineq2 3679 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
105104eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1303 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3207 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) /\ { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) /\ ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1241 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
109108expr 615 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
110109rexlimdvva 2942 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11137, 110syld 44 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
112111rexlimdva 2935 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 218 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11424, 113sylbid 215 . . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
115114ex 434 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 235 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2863 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
118 eqid 2443 . . 3 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
119118ishaus 19801 . 2 |- ( ( S ^ko R ) e. Haus <-> ( ( S ^ko R ) e. Top /\ A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 664 1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 974   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   dom cdm 4989   "cima 4992   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   ↾t crest 14800   Topctop 19372  TopOnctopon 19373   Cn ccn 19703   Hauscha 19787   Compccmp 19864   ^ko cxko 20040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14802  df-topgen 14823  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-cn 19706  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-xko 20042
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