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Theorem xkohaus 19884
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Haus )

Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables  a 
b  f  g  h  u  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 19593 . . 3  |-  ( S  e.  Haus  ->  S  e. 
Top )
2 xkotop 19819 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
31, 2sylan2 474 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Top )
4 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
54xkouni 19830 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
61, 5sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
76eleq2d 2532 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( f  e.  ( R  Cn  S )  <-> 
f  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) )
86eleq2d 2532 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( g  e.  ( R  Cn  S )  <-> 
g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) )
97, 8anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  <->  ( f  e.  U. ( S  ^ko  R )  /\  g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) ) )
10 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  e.  ( R  Cn  S
) )
11 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  U. R  =  U. R
12 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  U. S  =  U. S
1311, 12cnf 19508 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  f : U. R --> U. S
)
1410, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f : U. R --> U. S
)
15 ffn 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. R --> U. S  ->  f  Fn  U. R
)
1614, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  Fn  U. R )
17 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
1811, 12cnf 19508 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  ->  g : U. R --> U. S
)
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g : U. R --> U. S
)
20 ffn 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( g : U. R --> U. S  ->  g  Fn  U. R
)
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  Fn  U. R )
22 eqfnfv 5968 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  U. R  /\  g  Fn  U. R
)  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  U. R ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =  g  <->  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) ) )
2423necon3abid 2708 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =/=  g  <->  -.  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) ) )
25 rexnal 2907 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  U. R  -.  ( f `  x
)  =  ( g `
 x )  <->  -.  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) )
26 df-ne 2659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  =/=  ( g `  x )  <->  -.  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
27 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  S  e.  Haus )
2814adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  f : U. R --> U. S )
29 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  x  e.  U. R )
3028, 29ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  U. S )
3119adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  U. S )
33 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( f `  x )  =/=  (
g `  x )
)
3412hausnei 19590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Haus  /\  (
( f `  x
)  e.  U. S  /\  ( g `  x
)  e.  U. S  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) )
3635expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( ( f `
 x )  =/=  ( g `  x
)  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( -.  (
f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )
38 simp-4l 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
391ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. R )
4140snssd 4167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { x }  C_ 
U. R )
4211toptopon 19196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
4338, 42sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
44 restsn2 19433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  x  e.  U. R )  -> 
( Rt  { x } )  =  ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( Rt  { x } )  =  ~P { x } )
46 snfi 7588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x }  e.  Fin
47 discmp 19659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Comp )
4846, 47mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P {
x }  e.  Comp
4945, 48syl6eqel 2558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( Rt  { x } )  e.  Comp )
50 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  a  e.  S
)
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 19820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  e.  ( S  ^ko  R ) )
52 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  b  e.  S
)
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 19820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  e.  ( S  ^ko  R ) )
5410ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  e.  ( R  Cn  S ) )
5516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  Fn  U. R )
56 fnsnfv 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  U. R  /\  x  e.  U. R
)  ->  { (
f `  x ) }  =  ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( f `
 x ) }  =  ( f " { x } ) )
58 simprr1 1039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  a )
5958snssd 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( f `
 x ) } 
C_  a )
6057, 59eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( f " { x } ) 
C_  a )
61 imaeq1 5325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  f  ->  (
h " { x } )  =  ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  f  ->  (
( h " {
x } )  C_  a 
<->  ( f " {
x } )  C_  a ) )
6362elrab 3256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( f " {
x } )  C_  a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a } )
6517ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S ) )
6621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  Fn  U. R )
67 fnsnfv 5920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  Fn  U. R  /\  x  e.  U. R
)  ->  { (
g `  x ) }  =  ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( g `
 x ) }  =  ( g " { x } ) )
69 simprr2 1040 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  b )
7069snssd 4167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( g `
 x ) } 
C_  b )
7168, 70eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( g " { x } ) 
C_  b )
72 imaeq1 5325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  (
h " { x } )  =  ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
( h " {
x } )  C_  b 
<->  ( g " {
x } )  C_  b ) )
7473elrab 3256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  <->  ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( g " {
x } )  C_  b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } )
76 inrab 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
)  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( ( h " { x } )  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) }
77 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  x  e.  U. R )
7811, 12cnf 19508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  e.  ( R  Cn  S )  ->  h : U. R --> U. S
)
79 fdm 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h : U. R --> U. S  ->  dom  h  =  U. R )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  e.  ( R  Cn  S )  ->  dom  h  =  U. R )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  dom  h  =  U. R )
8277, 81eleqtrrd 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  x  e.  dom  h )
83 simprr3 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( a  i^i  b )  =  (/) )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
a  i^i  b )  =  (/) )
85 sseq0 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  /\  ( a  i^i  b )  =  (/) )  ->  ( h " { x } )  =  (/) )
8685expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  i^i  b )  =  (/)  ->  ( ( h " { x } )  C_  (
a  i^i  b )  ->  ( h " {
x } )  =  (/) ) )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  ->  ( h " { x } )  =  (/) ) )
88 imadisj 5349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h " { x } )  =  (/)  <->  ( dom  h  i^i  { x } )  =  (/) )
89 disjsn 4083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  h  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  dom  h )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h " { x } )  =  (/)  <->  -.  x  e.  dom  h )
9187, 90syl6ib 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  ->  -.  x  e.  dom  h ) )
9282, 91mt2d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  -.  ( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
) )
93 ssin 3715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( h " {
x } )  C_  a  /\  ( h " { x } ) 
C_  b )  <->  ( h " { x } ) 
C_  ( a  i^i  b ) )
9492, 93sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  -.  ( ( h " { x } ) 
C_  a  /\  (
h " { x } )  C_  b
) )
9594ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  A. h  e.  ( R  Cn  S )  -.  ( ( h
" { x }
)  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) )
96 rabeq0 3802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( ( h " { x } ) 
C_  a  /\  (
h " { x } )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. h  e.  ( R  Cn  S )  -.  (
( h " {
x } )  C_  a  /\  ( h " { x } ) 
C_  b ) )
9795, 96sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( ( h " { x } )  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) }  =  (/) )
9876, 97syl5eq 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b } )  =  (/) )
99 eleq2 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( f  e.  u  <->  f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }
) )
100 ineq1 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( u  i^i  v
)  =  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  v
) )
101100eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( ( u  i^i  v )  =  (/)  <->  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  v
)  =  (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  ( u  i^i  v )  =  (/) )  <->  ( f  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  /\  g  e.  v  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  v )  =  (/) ) ) )
103 eleq2 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( g  e.  v  <-> 
g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
) )
104 ineq2 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  v )  =  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } ) )
105104eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  v )  =  (/)  <->  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
)  =  (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( ( f  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  /\  g  e.  v  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  v )  =  (/) ) 
<->  ( f  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  /\  g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b }  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } )  =  (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  e.  ( S  ^ko  R )  /\  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b }  e.  ( S  ^ko  R )  /\  ( f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  /\  g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b } )  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
109108expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
a  e.  S  /\  b  e.  S )
)  ->  ( (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
110109rexlimdvva 2957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11137, 110syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( -.  (
f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
112111rexlimdva 2950 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( E. x  e.  U. R  -.  ( f `  x
)  =  ( g `
 x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 218 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( -.  A. x  e.  U. R ( f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11424, 113sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
115114ex 434 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 235 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e. 
U. ( S  ^ko  R )  /\  g  e.  U. ( S  ^ko  R ) )  -> 
( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2879 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  ->  A. f  e.  U. ( S  ^ko  R ) A. g  e. 
U. ( S  ^ko  R ) ( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
118 eqid 2462 . . 3  |-  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( S  ^ko  R )
119118ishaus 19584 . 2  |-  ( ( S  ^ko  R )  e.  Haus  <->  (
( S  ^ko  R )  e.  Top  /\ 
A. f  e.  U. ( S  ^ko  R ) A. g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   U.cuni 4240   dom cdm 4994   "cima 4997    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   ↾t crest 14667   Topctop 19156  TopOnctopon 19157    Cn ccn 19486   Hauscha 19570   Compccmp 19647    ^ko cxko 19792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-rest 14669  df-topgen 14690  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-cn 19489  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-xko 19794
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