MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkohaus Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xkohaus 20745
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Haus )

Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables  a 
b  f  g  h  u  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 20424 . . 3  |-  ( S  e.  Haus  ->  S  e. 
Top )
2 xkotop 20680 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
31, 2sylan2 482 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Top )
4 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
54xkouni 20691 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
61, 5sylan2 482 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( R  Cn  S
)  =  U. ( S  ^ko  R ) )
76eleq2d 2534 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( f  e.  ( R  Cn  S )  <-> 
f  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) )
86eleq2d 2534 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( g  e.  ( R  Cn  S )  <-> 
g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) )
97, 8anbi12d 725 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  <->  ( f  e.  U. ( S  ^ko  R )  /\  g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ) ) )
10 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  e.  ( R  Cn  S
) )
11 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. R  =  U. R
12 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. S  =  U. S
1311, 12cnf 20339 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( R  Cn  S )  ->  f : U. R --> U. S
)
1410, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f : U. R --> U. S
)
15 ffn 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( f : U. R --> U. S  ->  f  Fn  U. R
)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  Fn  U. R )
17 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
1811, 12cnf 20339 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  ->  g : U. R --> U. S
)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g : U. R --> U. S
)
20 ffn 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( g : U. R --> U. S  ->  g  Fn  U. R
)
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  Fn  U. R )
22 eqfnfv 5991 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  Fn  U. R  /\  g  Fn  U. R
)  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  U. R ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =  g  <->  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) ) )
2423necon3abid 2679 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =/=  g  <->  -.  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) ) )
25 rexnal 2836 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  U. R  -.  ( f `  x
)  =  ( g `
 x )  <->  -.  A. x  e.  U. R ( f `
 x )  =  ( g `  x
) )
26 df-ne 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  =/=  ( g `  x )  <->  -.  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
27 simpllr 777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  S  e.  Haus )
2814adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  f : U. R --> U. S )
29 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  x  e.  U. R )
3028, 29ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  U. S )
3119adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  U. S )
33 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  ( f `  x )  =/=  (
g `  x )
)
3412hausnei 20421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  Haus  /\  (
( f `  x
)  e.  U. S  /\  ( g `  x
)  e.  U. S  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  ( x  e.  U. R  /\  ( f `  x
)  =/=  ( g `
 x ) ) )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) )
3635expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( ( f `
 x )  =/=  ( g `  x
)  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( -.  (
f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )
38 simp-4l 784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  Top )
391ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  S  e.  Top )
40 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. R )
4140snssd 4108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { x }  C_ 
U. R )
4211toptopon 20025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Top  <->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
4338, 42sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  R  e.  (TopOn `  U. R ) )
44 restsn2 20264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  U. R )  /\  x  e.  U. R )  -> 
( Rt  { x } )  =  ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( Rt  { x } )  =  ~P { x } )
46 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x }  e.  Fin
47 discmp 20490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x }  e.  Fin  <->  ~P { x }  e.  Comp )
4846, 47mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ~P {
x }  e.  Comp
4945, 48syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( Rt  { x } )  e.  Comp )
50 simprll 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  a  e.  S
)
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 20681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  e.  ( S  ^ko  R ) )
52 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  b  e.  S
)
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 20681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  e.  ( S  ^ko  R ) )
5410ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  e.  ( R  Cn  S ) )
5516ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  Fn  U. R )
56 fnsnfv 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  U. R  /\  x  e.  U. R
)  ->  { (
f `  x ) }  =  ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( f `
 x ) }  =  ( f " { x } ) )
58 simprr1 1078 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  a )
5958snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( f `
 x ) } 
C_  a )
6057, 59eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( f " { x } ) 
C_  a )
61 imaeq1 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  f  ->  (
h " { x } )  =  ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  f  ->  (
( h " {
x } )  C_  a 
<->  ( f " {
x } )  C_  a ) )
6362elrab 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  <->  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( f " {
x } )  C_  a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  f  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a } )
6517ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S ) )
6621ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  Fn  U. R )
67 fnsnfv 5940 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  Fn  U. R  /\  x  e.  U. R
)  ->  { (
g `  x ) }  =  ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( g `
 x ) }  =  ( g " { x } ) )
69 simprr2 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  b )
7069snssd 4108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { ( g `
 x ) } 
C_  b )
7168, 70eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( g " { x } ) 
C_  b )
72 imaeq1 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  g  ->  (
h " { x } )  =  ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  g  ->  (
( h " {
x } )  C_  b 
<->  ( g " {
x } )  C_  b ) )
7473elrab 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  <->  ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( g " {
x } )  C_  b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  g  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } )
76 inrab 3706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
)  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( ( h " { x } )  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) }
77 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  x  e.  U. R )
7811, 12cnf 20339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  e.  ( R  Cn  S )  ->  h : U. R --> U. S
)
79 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h : U. R --> U. S  ->  dom  h  =  U. R )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h  e.  ( R  Cn  S )  ->  dom  h  =  U. R )
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  dom  h  =  U. R )
8277, 81eleqtrrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  x  e.  dom  h )
83 simprr3 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( a  i^i  b )  =  (/) )
8483adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
a  i^i  b )  =  (/) )
85 sseq0 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  /\  ( a  i^i  b )  =  (/) )  ->  ( h " { x } )  =  (/) )
8685expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  i^i  b )  =  (/)  ->  ( ( h " { x } )  C_  (
a  i^i  b )  ->  ( h " {
x } )  =  (/) ) )
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  ->  ( h " { x } )  =  (/) ) )
88 imadisj 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h " { x } )  =  (/)  <->  ( dom  h  i^i  { x } )  =  (/) )
89 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  h  i^i  {
x } )  =  (/) 
<->  -.  x  e.  dom  h )
9088, 89bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h " { x } )  =  (/)  <->  -.  x  e.  dom  h )
9187, 90syl6ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
)  ->  -.  x  e.  dom  h ) )
9282, 91mt2d 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  -.  ( h " {
x } )  C_  ( a  i^i  b
) )
93 ssin 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( h " {
x } )  C_  a  /\  ( h " { x } ) 
C_  b )  <->  ( h " { x } ) 
C_  ( a  i^i  b ) )
9492, 93sylnibr 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  ( ( a  e.  S  /\  b  e.  S )  /\  (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) ) ) )  /\  h  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  -.  ( ( h " { x } ) 
C_  a  /\  (
h " { x } )  C_  b
) )
9594ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  A. h  e.  ( R  Cn  S )  -.  ( ( h
" { x }
)  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) )
96 rabeq0 3757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( ( h " { x } ) 
C_  a  /\  (
h " { x } )  C_  b
) }  =  (/)  <->  A. h  e.  ( R  Cn  S )  -.  (
( h " {
x } )  C_  a  /\  ( h " { x } ) 
C_  b ) )
9795, 96sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( ( h " { x } )  C_  a  /\  ( h " {
x } )  C_  b ) }  =  (/) )
9876, 97syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b } )  =  (/) )
99 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( f  e.  u  <->  f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }
) )
100 ineq1 3618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( u  i^i  v
)  =  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  v
) )
101100eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( ( u  i^i  v )  =  (/)  <->  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  v
)  =  (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  ->  ( ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  ( u  i^i  v )  =  (/) )  <->  ( f  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  /\  g  e.  v  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  v )  =  (/) ) ) )
103 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( g  e.  v  <-> 
g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
) )
104 ineq2 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  v )  =  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } ) )
105104eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  v )  =  (/)  <->  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }
)  =  (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  ->  ( ( f  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  /\  g  e.  v  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  v )  =  (/) ) 
<->  ( f  e.  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  a }  /\  g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b }  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b } )  =  (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  a }  e.  ( S  ^ko  R )  /\  {
h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " {
x } )  C_  b }  e.  ( S  ^ko  R )  /\  ( f  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  /\  g  e.  { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  b }  /\  ( { h  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( h
" { x }
)  C_  a }  i^i  { h  e.  ( R  Cn  S )  |  ( h " { x } ) 
C_  b } )  =  (/) ) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
( a  e.  S  /\  b  e.  S
)  /\  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) ) ) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
109108expr 626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  (
f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  /\  x  e.  U. R )  /\  (
a  e.  S  /\  b  e.  S )
)  ->  ( (
( f `  x
)  e.  a  /\  ( g `  x
)  e.  b  /\  ( a  i^i  b
)  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
110109rexlimdvva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( E. a  e.  S  E. b  e.  S  ( (
f `  x )  e.  a  /\  (
g `  x )  e.  b  /\  (
a  i^i  b )  =  (/) )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11137, 110syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) ) )  /\  x  e.  U. R )  ->  ( -.  (
f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
112111rexlimdva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( E. x  e.  U. R  -.  ( f `  x
)  =  ( g `
 x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( -.  A. x  e.  U. R ( f `  x )  =  ( g `  x )  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
11424, 113sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  /\  ( f  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  (
f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
115114ex 441 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e.  ( R  Cn  S
)  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 243 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( ( f  e. 
U. ( S  ^ko  R )  /\  g  e.  U. ( S  ^ko  R ) )  -> 
( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2813 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  ->  A. f  e.  U. ( S  ^ko  R ) A. g  e. 
U. ( S  ^ko  R ) ( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )
118 eqid 2471 . . 3  |-  U. ( S  ^ko  R )  =  U. ( S  ^ko  R )
119118ishaus 20415 . 2  |-  ( ( S  ^ko  R )  e.  Haus  <->  (
( S  ^ko  R )  e.  Top  /\ 
A. f  e.  U. ( S  ^ko  R ) A. g  e.  U. ( S  ^ko  R ) ( f  =/=  g  ->  E. u  e.  ( S  ^ko  R ) E. v  e.  ( S  ^ko  R ) ( f  e.  u  /\  g  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 677 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Haus )  -> 
( S  ^ko  R )  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   dom cdm 4839   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317   Hauscha 20401   Compccmp 20478    ^ko cxko 20653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-xko 20655
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator