Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkofvcn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem xkofvcn 20776
 Description: Joint continuity of the function value operation as a function on continuous function spaces. (Compare xkopjcn 20748.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkofvcn.1
xkofvcn.2
Assertion
Ref Expression
xkofvcn 𝑛Locally
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem xkofvcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkofvcn.2 . 2
2 nllytop 20565 . . . 4 𝑛Locally
3 eqid 2471 . . . . 5
43xkotopon 20692 . . . 4 TopOn
52, 4sylan 479 . . 3 𝑛Locally TopOn
62adantr 472 . . . 4 𝑛Locally
7 xkofvcn.1 . . . . 5
87toptopon 20025 . . . 4 TopOn
96, 8sylib 201 . . 3 𝑛Locally TopOn
105, 9cnmpt1st 20760 . . . 4 𝑛Locally
115, 9cnmpt2nd 20761 . . . . 5 𝑛Locally
12 1on 7207 . . . . . . 7
13 distopon 20089 . . . . . . 7 TopOn
1412, 13mp1i 13 . . . . . 6 𝑛Locally TopOn
15 xkoccn 20711 . . . . . 6 TopOn TopOn
1614, 9, 15syl2anc 673 . . . . 5 𝑛Locally
17 sneq 3969 . . . . . 6
1817xpeq2d 4863 . . . . 5
195, 9, 11, 9, 16, 18cnmpt21 20763 . . . 4 𝑛Locally
20 distop 20088 . . . . . 6
2112, 20mp1i 13 . . . . 5 𝑛Locally
22 eqid 2471 . . . . . 6
2322xkotopon 20692 . . . . 5 TopOn
2421, 6, 23syl2anc 673 . . . 4 𝑛Locally TopOn
25 simpl 464 . . . . 5 𝑛Locally 𝑛Locally
26 simpr 468 . . . . 5 𝑛Locally
27 eqid 2471 . . . . . 6
2827xkococn 20752 . . . . 5 𝑛Locally
2921, 25, 26, 28syl3anc 1292 . . . 4 𝑛Locally
30 coeq1 4997 . . . . 5
31 coeq2 4998 . . . . 5
3230, 31sylan9eq 2525 . . . 4
335, 9, 10, 19, 5, 24, 29, 32cnmpt22 20766 . . 3 𝑛Locally
34 eqid 2471 . . . . 5
3534xkotopon 20692 . . . 4 TopOn
3621, 26, 35syl2anc 673 . . 3 𝑛Locally TopOn
37 0lt1o 7224 . . . . 5
3837a1i 11 . . . 4 𝑛Locally
39 unipw 4650 . . . . . 6
4039eqcomi 2480 . . . . 5
4140xkopjcn 20748 . . . 4
4221, 26, 38, 41syl3anc 1292 . . 3 𝑛Locally
43 fveq1 5878 . . . 4
44 vex 3034 . . . . . . 7
4544fconst 5782 . . . . . 6
46 fvco3 5957 . . . . . 6
4745, 37, 46mp2an 686 . . . . 5
4844fvconst2 6136 . . . . . . 7
4937, 48ax-mp 5 . . . . . 6
5049fveq2i 5882 . . . . 5
5147, 50eqtri 2493 . . . 4
5243, 51syl6eq 2521 . . 3
535, 9, 33, 36, 42, 52cnmpt21 20763 . 2 𝑛Locally
541, 53syl5eqel 2553 1 𝑛Locally
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843  con0 5430  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1o 7193  ctop 19994  TopOnctopon 19995   ccn 20317  ccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557   ctx 20652   cxko 20653 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-xko 20655 This theorem is referenced by:  cnmptk1p  20777  cnmptk2  20778
 Copyright terms: Public domain W3C validator