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Theorem xkococn 20723
Description: Continuity of the composition operation as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkococn.1  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
Assertion
Ref Expression
xkococn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, R    S, f, g    T, f, g
Allowed substitution hints:    F( f, g)

Proof of Theorem xkococn
Dummy variables  k 
a  v  x  y  z  b  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S ) )
2 simprl 769 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  e.  ( S  Cn  T ) )
3 cnco 20330 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  f  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( R  Cn  T ) )
41, 2, 3syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
54ralrimivva 2820 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( S  Cn  T
) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
6 xkococn.1 . . . 4  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
76fmpt2 6886 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( S  Cn  T ) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T )  <-> 
F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T ) )
85, 7sylib 201 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F :
( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T
) )
9 eqid 2461 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
109rnmpt2 6432 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }
1110eleq2i 2531 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  x  e.  { x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } } )
12 abid 2449 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  <->  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )
13 oveq2 6322 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  ( Rt  y )  =  ( Rt  k ) )
1413eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  (
( Rt  y )  e. 
Comp 
<->  ( Rt  k )  e. 
Comp ) )
1514rexrab 3213 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
1611, 12, 153bitri 279 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e. 
Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
178ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T ) )
18 ffn 5750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  ->  F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) )
19 elpreima 6024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
2017, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
21 coeq1 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  a  ->  (
f  o.  g )  =  ( a  o.  g ) )
22 coeq2 5011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  b  ->  (
a  o.  g )  =  ( a  o.  b ) )
23 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  a  e. 
_V
24 vex 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  b  e. 
_V
2523, 24coex 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  o.  b )  e. 
_V
2621, 22, 6, 25ovmpt2 6458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  -> 
( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2726adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2827eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a  o.  b
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
29 imaeq1 5181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
h " k )  =  ( ( a  o.  b ) "
k ) )
3029sseq1d 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3130elrab 3207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( ( a  o.  b )  e.  ( R  Cn  T
)  /\  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3231simprbi 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v )
33 simp2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
3433ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
35 elpwi 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ~P U. R  ->  k  C_  U. R )
3635ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
k  C_  U. R )
3736ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
k  C_  U. R )
38 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
3938ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
40 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
v  e.  T )
41 simprll 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
a  e.  ( S  Cn  T ) )
42 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
b  e.  ( R  Cn  S ) )
43 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( ( a  o.  b ) " k
)  C_  v )
446, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43xkococnlem 20722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  (
( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
4544expr 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4632, 45syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a  o.  b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4728, 46sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4847ralrimivva 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. a  e.  ( S  Cn  T
) A. b  e.  ( R  Cn  S
) ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
49 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
)
50 df-ov 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a F b )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
5149, 50syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( a F b ) )
5251eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( F `
 y )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
53 eleq1 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  e.  z  <->  <. a ,  b
>.  e.  z ) )
5453anbi1d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5554rexbidv 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )  <->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5652, 55imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) )  <-> 
( ( a F b )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) ) )
5756ralxp 4994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) )  <->  A. a  e.  ( S  Cn  T ) A. b  e.  ( R  Cn  S ) ( ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5848, 57sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ( ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5958r19.21bi 2768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
6059expimpd 612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( y  e.  ( ( S  Cn  T
)  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
6120, 60sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
6261ralrimiv 2811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) )
63 nllytop 20536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  S  e.  Top )
64633ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 
Top )
65 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  T  e. 
Top )
66 xkotop 20651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  Top )
6764, 65, 66syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  Top )
68 simp1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  R  e. 
Top )
69 xkotop 20651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
7068, 64, 69syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
71 txtop 20632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  ^ko  S )  e.  Top  /\  ( S  ^ko  R )  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top )
7267, 70, 71syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top )
7372ad2antrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top )
74 eltop2 20039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top  ->  ( ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
7662, 75mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) )
77 imaeq2 5182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
7877eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  <->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
7976, 78syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8079rexlimdva 2890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8180anassrs 658 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8281expimpd 612 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  ->  ( ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\ 
E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8382rexlimdva 2890 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8416, 83syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8584ralrimiv 2811 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. x  e.  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) )
86 eqid 2461 . . . . . 6  |-  ( T  ^ko  S )  =  ( T  ^ko  S )
8786xkotopon 20663 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
8864, 65, 87syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
89 eqid 2461 . . . . . 6  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
9089xkotopon 20663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9168, 64, 90syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
92 txtopon 20654 . . . 4  |-  ( ( ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) )  /\  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )  -> 
( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ) )
9388, 91, 92syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ) )
94 ovex 6342 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
9594pwex 4599 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
96 eqid 2461 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
97 eqid 2461 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
9896, 97, 9xkotf 20648 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
99 frn 5757 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
10098, 99ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
10195, 100ssexi 4561 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
102101a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V )
10396, 97, 9xkoval 20650 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
1041033adant2 1033 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
105 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( T  ^ko  R )  =  ( T  ^ko  R )
106105xkotopon 20663 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
1071063adant2 1033 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
10893, 102, 104, 107subbascn 20318 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  Cn  ( T  ^ko  R ) )  <->  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e.  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) ) )
1098, 85, 108mpbir2and 938 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   {cab 2447   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056    C_ wss 3415   ~Pcpw 3962   <.cop 3985   U.cuni 4211    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   ran crn 4853   "cima 4855    o. ccom 4856    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316   ficfi 7949   ↾t crest 15367   topGenctg 15384   Topctop 19965  TopOnctopon 19966    Cn ccn 20288   Compccmp 20449  𝑛Locally cnlly 20528    tX ctx 20623    ^ko cxko 20624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-fin 7598  df-fi 7950  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-ntr 20083  df-nei 20162  df-cn 20291  df-cmp 20450  df-nlly 20530  df-tx 20625  df-xko 20626
This theorem is referenced by:  cnmptkk  20746  xkofvcn  20747  symgtgp  21164
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