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Theorem xkococn 19366
Description: Continuity of the composition operation as a function on continuous function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xkococn.1  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
Assertion
Ref Expression
xkococn  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, R    S, f, g    T, f, g
Allowed substitution hints:    F( f, g)

Proof of Theorem xkococn
Dummy variables  k 
a  v  x  y  z  b  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S ) )
2 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  f  e.  ( S  Cn  T ) )
3 cnco 19003 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  f  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( f  o.  g
)  e.  ( R  Cn  T ) )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
f  e.  ( S  Cn  T )  /\  g  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
54ralrimivva 2914 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. f  e.  ( S  Cn  T
) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T ) )
6 xkococn.1 . . . 4  |-  F  =  ( f  e.  ( S  Cn  T ) ,  g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( f  o.  g
) )
76fmpt2 6752 . . 3  |-  ( A. f  e.  ( S  Cn  T ) A. g  e.  ( R  Cn  S
) ( f  o.  g )  e.  ( R  Cn  T )  <-> 
F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T ) )
85, 7sylib 196 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F :
( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) --> ( R  Cn  T
) )
9 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
109rnmpt2 6311 . . . . . 6  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }
1110eleq2i 2532 . . . . 5  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  x  e.  { x  |  E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } } )
12 abid 2441 . . . . 5  |-  ( x  e.  { x  |  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  <->  E. k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )
13 oveq2 6209 . . . . . . 7  |-  ( y  =  k  ->  ( Rt  y )  =  ( Rt  k ) )
1413eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( y  =  k  ->  (
( Rt  y )  e. 
Comp 
<->  ( Rt  k )  e. 
Comp ) )
1514rexrab 3230 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
1611, 12, 153bitri 271 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e. 
Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
178ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T ) )
18 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  ->  F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) )
19 elpreima 5933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  <->  ( y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
21 coeq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  a  ->  (
f  o.  g )  =  ( a  o.  g ) )
22 coeq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  =  b  ->  (
a  o.  g )  =  ( a  o.  b ) )
23 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  a  e. 
_V
24 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  b  e. 
_V
2523, 24coex 6640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  o.  b )  e. 
_V
2621, 22, 6, 25ovmpt2 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  -> 
( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( a F b )  =  ( a  o.  b ) )
2827eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a  o.  b
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
29 imaeq1 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
h " k )  =  ( ( a  o.  b ) "
k ) )
3029sseq1d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( h  =  ( a  o.  b )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3130elrab 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( ( a  o.  b )  e.  ( R  Cn  T
)  /\  ( (
a  o.  b )
" k )  C_  v ) )
3231simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  o.  b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v )
33 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
3433ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  S  e. 𝑛Locally  Comp )
35 elpwi 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ~P U. R  ->  k  C_  U. R )
3635ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
k  C_  U. R )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
k  C_  U. R )
38 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( Rt  k )  e. 
Comp )
40 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
v  e.  T )
41 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
a  e.  ( S  Cn  T ) )
42 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
b  e.  ( R  Cn  S ) )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  -> 
( ( a  o.  b ) " k
)  C_  v )
446, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43xkococnlem 19365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
( a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v ) )  ->  E. z  e.  (
( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) )
4544expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( ( a  o.  b )
" k )  C_  v  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4632, 45syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a  o.  b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4728, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  (
a  e.  ( S  Cn  T )  /\  b  e.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
4847ralrimivva 2914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. a  e.  ( S  Cn  T
) A. b  e.  ( R  Cn  S
) ( ( a F b )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
49 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
)
50 df-ov 6204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a F b )  =  ( F `  <. a ,  b >. )
5149, 50syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( F `  y )  =  ( a F b ) )
5251eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( F `
 y )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } 
<->  ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )
53 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( y  e.  z  <->  <. a ,  b
>.  e.  z ) )
5453anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )  <->  ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5554rexbidv 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) )  <->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5652, 55imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. a ,  b
>.  ->  ( ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) )  <-> 
( ( a F b )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <.
a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) ) )
5756ralxp 5090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) )  <->  A. a  e.  ( S  Cn  T ) A. b  e.  ( R  Cn  S ) ( ( a F b )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( <. a ,  b >.  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
5848, 57sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ( ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5958r19.21bi 2920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  /\  v  e.  T )  /\  y  e.  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
6059expimpd 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( y  e.  ( ( S  Cn  T
)  X.  ( R  Cn  S ) )  /\  ( F `  y )  e.  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
6120, 60sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
6261ralrimiv 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) )
63 nllytop 19210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  S  e.  Top )
64633ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  S  e. 
Top )
65 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  T  e. 
Top )
66 xkotop 19294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  Top )
6764, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  Top )
68 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  R  e. 
Top )
69 xkotop 19294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
7068, 64, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  Top )
71 txtop 19275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T  ^ko  S )  e.  Top  /\  ( S  ^ko  R )  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top )
7267, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top )
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top )
74 eltop2 18713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  Top  ->  ( ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  <->  A. y  e.  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) E. z  e.  ( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) ) ( y  e.  z  /\  z  C_  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ) ) )
7662, 75mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) )
77 imaeq2 5274 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) )
7877eleq1d 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  <->  ( `' F " { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
7976, 78syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )
)  /\  v  e.  T )  ->  (
x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8079rexlimdva 2947 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  ( Rt  k )  e.  Comp ) )  -> 
( E. v  e.  T  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8180anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e. 
Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }  ->  ( `' F "
x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8281expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  /\  k  e.  ~P U. R )  ->  ( ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\ 
E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8382rexlimdva 2947 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  E. v  e.  T  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8416, 83syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  ->  ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) )
8584ralrimiv 2828 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  A. x  e.  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) )
86 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( T  ^ko  S )  =  ( T  ^ko  S )
8786xkotopon 19306 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
8864, 65, 87syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
89 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
9089xkotopon 19306 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9168, 64, 90syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
92 txtopon 19297 . . . 4  |-  ( ( ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) )  /\  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )  -> 
( ( T  ^ko  S ) 
tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ) )
9388, 91, 92syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  e.  (TopOn `  ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S ) ) ) )
94 ovex 6226 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
9594pwex 4584 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
96 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  U. R  =  U. R
97 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
9896, 97, 9xkotf 19291 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
99 frn 5674 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
10098, 99ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
10195, 100ssexi 4546 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
102101a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V )
10396, 97, 9xkoval 19293 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
1041033adant2 1007 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
105 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( T  ^ko  R )  =  ( T  ^ko  R )
106105xkotopon 19306 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
1071063adant2 1007 . . 3  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
10893, 102, 104, 107subbascn 18991 . 2  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  ( F  e.  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  Cn  ( T  ^ko  R ) )  <->  ( F : ( ( S  Cn  T )  X.  ( R  Cn  S
) ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e.  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ( `' F " x )  e.  ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) ) ) ) )
1098, 85, 108mpbir2and 913 1  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e. 𝑛Locally  Comp  /\  T  e.  Top )  ->  F  e.  ( ( ( T  ^ko  S )  tX  ( S  ^ko  R ) )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   <.cop 3992   U.cuni 4200    X. cxp 4947   `'ccnv 4948   ran crn 4950   "cima 4952    o. ccom 4953    Fn wfn 5522   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   ficfi 7772   ↾t crest 14479   topGenctg 14496   Topctop 18631  TopOnctopon 18632    Cn ccn 18961   Compccmp 19122  𝑛Locally cnlly 19202    tX ctx 19266    ^ko cxko 19267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-fin 7425  df-fi 7773  df-rest 14481  df-topgen 14502  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-ntr 18757  df-nei 18835  df-cn 18964  df-cmp 19123  df-nlly 19204  df-tx 19268  df-xko 19269
This theorem is referenced by:  cnmptkk  19389  xkofvcn  19390  symgtgp  19805
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