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Theorem xkoco2cn 19231
Description: If  F is a continuous function, then  g  |->  F  o.  g is a continuous function on function spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoco2cn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
xkoco2cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
Assertion
Ref Expression
xkoco2cn  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) )  e.  ( ( S  ^ko  R )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    ph, g    R, g    S, g    T, g   
g, F

Proof of Theorem xkoco2cn
Dummy variables  k 
v  x  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
2 xkoco2cn.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F  e.  ( S  Cn  T
) )
4 cnco 18870 . . . 4  |-  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  /\  F  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( F  o.  g
)  e.  ( R  Cn  T ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T
) )
6 eqid 2443 . . 3  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) )  =  ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) )
75, 6fmptd 5867 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) : ( R  Cn  S ) --> ( R  Cn  T
) )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
9 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
10 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
118, 9, 10xkobval 19159 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) }
1211abeq2i 2550 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
13 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g  e.  ( R  Cn  S
) )
142ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F  e.  ( S  Cn  T
) )
1513, 14, 4syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T
) )
16 imaeq1 5164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
h " k )  =  ( ( F  o.  g ) "
k ) )
17 imaco 5343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  o.  g )
" k )  =  ( F " (
g " k ) )
1816, 17syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
h " k )  =  ( F "
( g " k
) ) )
1918sseq1d 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( F  o.  g )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( F " ( g " k
) )  C_  v
) )
2019elrab3 3118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  g )  e.  ( R  Cn  T )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( F "
( g " k
) )  C_  v
) )
2115, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( F "
( g " k
) )  C_  v
) )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. S  =  U. S
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. T  =  U. T
2422, 23cnf 18850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  F : U. S --> U. T
)
252, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
2625ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  F : U. S --> U. T
)
27 ffun 5561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  Fun  F )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  Fun  F )
29 imassrn 5180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g
" k )  C_  ran  g
308, 22cnf 18850 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  e.  ( R  Cn  S )  ->  g : U. R --> U. S
)
3113, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  g : U. R --> U. S
)
32 frn 5565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : U. R --> U. S  ->  ran  g  C_  U. S
)
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  ran  g  C_  U. S )
3429, 33syl5ss 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
g " k ) 
C_  U. S )
35 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : U. S --> U. T  ->  dom  F  =  U. S )
3626, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  dom  F  =  U. S )
3734, 36sseqtr4d 3393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
g " k ) 
C_  dom  F )
38 funimass3 5819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  (
g " k ) 
C_  dom  F )  ->  ( ( F "
( g " k
) )  C_  v  <->  ( g " k ) 
C_  ( `' F " v ) ) )
3928, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F " (
g " k ) )  C_  v  <->  ( g " k )  C_  ( `' F " v ) ) )
4021, 39bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( R  Cn  S
) )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( g "
k )  C_  ( `' F " v ) ) )
4140rabbidva 2963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  =  {
g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( g " k
)  C_  ( `' F " v ) } )
42 xkoco2cn.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  R  e.  Top )
44 cntop1 18844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  S  e.  Top )
452, 44syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  S  e.  Top )
47 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  k  e.  ~P U. R )
4847elpwid 3870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  k  C_  U. R
)
49 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( Rt  k )  e.  Comp )
502ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  F  e.  ( S  Cn  T ) )
51 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  v  e.  T
)
52 cnima 18869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( S  Cn  T )  /\  v  e.  T )  ->  ( `' F "
v )  e.  S
)
5350, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( `' F " v )  e.  S
)
548, 43, 46, 48, 49, 53xkoopn 19162 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( g
" k )  C_  ( `' F " v ) }  e.  ( S  ^ko  R ) )
5541, 54eqeltrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( S  ^ko  R ) )
56 imaeq2 5165 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  =  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
576mptpreima 5331 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  =  { g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( F  o.  g )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } }
5856, 57syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  =  { g  e.  ( R  Cn  S )  |  ( F  o.  g )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } } )
5958eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) ) "
x )  e.  ( S  ^ko  R )  <->  { g  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( F  o.  g )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
6055, 59syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
6160expimpd 603 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
6261rexlimdvva 2848 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
~P  U. R E. v  e.  T  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) ) "
x )  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
6312, 62syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  e.  ( S  ^ko  R ) ) )
6463ralrimiv 2798 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) " x )  e.  ( S  ^ko  R ) )
65 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
6665xkotopon 19173 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
6742, 45, 66syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
68 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
6968pwex 4475 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
708, 9, 10xkotf 19158 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
71 frn 5565 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
7369, 72ssexi 4437 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
7473a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  _V )
75 cntop2 18845 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( S  Cn  T )  ->  T  e.  Top )
762, 75syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
778, 9, 10xkoval 19160 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
7842, 76, 77syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
79 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( T  ^ko  R )  =  ( T  ^ko  R )
8079xkotopon 19173 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
8142, 76, 80syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
8267, 74, 78, 81subbascn 18858 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( R  Cn  S
)  |->  ( F  o.  g ) )  e.  ( ( S  ^ko  R )  Cn  ( T  ^ko  R ) )  <->  ( ( g  e.  ( R  Cn  S )  |->  ( F  o.  g ) ) : ( R  Cn  S ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e.  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ( `' ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) ) " x
)  e.  ( S  ^ko  R ) ) ) )
837, 64, 82mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( R  Cn  S ) 
|->  ( F  o.  g
) )  e.  ( ( S  ^ko  R )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843    o. ccom 4844   Fun wfun 5412   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093   ficfi 7660   ↾t crest 14359   topGenctg 14376   Topctop 18498  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828   Compccmp 18989    ^ko cxko 19134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-fin 7314  df-fi 7661  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cn 18831  df-cmp 18990  df-xko 19136
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