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Theorem xkoco1cn 19886
Description: If  F is a continuous function, then  g  |->  g  o.  F is a continuous function on function spaces. (The reason we prove this and xkoco2cn 19887 independently of the more general xkococn 19889 is because that requires some inconvenient extra assumptions on  S.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoco1cn.t  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
xkoco1cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R  Cn  S ) )
Assertion
Ref Expression
xkoco1cn  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) )  e.  ( ( T  ^ko  S )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    ph, g    R, g    S, g    T, g   
g, F

Proof of Theorem xkoco1cn
Dummy variables  k 
v  x  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkoco1cn.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R  Cn  S ) )
2 cnco 19526 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( g  o.  F
)  e.  ( R  Cn  T ) )
31, 2sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( S  Cn  T
) )  ->  (
g  o.  F )  e.  ( R  Cn  T ) )
4 eqid 2460 . . 3  |-  ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) )  =  ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) )
53, 4fmptd 6036 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) : ( S  Cn  T ) --> ( R  Cn  T
) )
6 eqid 2460 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
7 eqid 2460 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
8 eqid 2460 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
96, 7, 8xkobval 19815 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) }
109abeq2i 2587 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
111ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  F  e.  ( R  Cn  S ) )
1211, 2sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( S  Cn  T
) )  ->  (
g  o.  F )  e.  ( R  Cn  T ) )
13 imaeq1 5323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( g  o.  F )  ->  (
h " k )  =  ( ( g  o.  F ) "
k ) )
14 imaco 5503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  o.  F )
" k )  =  ( g " ( F " k ) )
1513, 14syl6eq 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( g  o.  F )  ->  (
h " k )  =  ( g "
( F " k
) ) )
1615sseq1d 3524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( g  o.  F )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( g " ( F "
k ) )  C_  v ) )
1716elrab3 3255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  o.  F )  e.  ( R  Cn  T )  ->  (
( g  o.  F
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( g "
( F " k
) )  C_  v
) )
1812, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( S  Cn  T
) )  ->  (
( g  o.  F
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( g "
( F " k
) )  C_  v
) )
1918rabbidva 3097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g  o.  F )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  =  {
g  e.  ( S  Cn  T )  |  ( g " ( F " k ) ) 
C_  v } )
20 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  U. S  =  U. S
21 cntop2 19501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
221, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
2322ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  S  e.  Top )
24 xkoco1cn.t . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  T  e.  Top )
26 imassrn 5339 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" k )  C_  ran  F
276, 20cnf 19506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R  Cn  S )  ->  F : U. R --> U. S
)
28 frn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. R --> U. S  ->  ran  F  C_  U. S
)
2911, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ran  F  C_  U. S
)
3026, 29syl5ss 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( F "
k )  C_  U. S
)
31 imacmp 19656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  ( St  ( F " k ) )  e.  Comp )
3211, 31sylancom 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( St  ( F
" k ) )  e.  Comp )
33 simplrr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  v  e.  T
)
3420, 23, 25, 30, 32, 33xkoopn 19818 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g
" ( F "
k ) )  C_  v }  e.  ( T  ^ko  S ) )
3519, 34eqeltrd 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g  o.  F )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( T  ^ko  S ) )
36 imaeq2 5324 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  =  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
374mptpreima 5491 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  =  { g  e.  ( S  Cn  T )  |  ( g  o.  F )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } }
3836, 37syl6eq 2517 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  =  { g  e.  ( S  Cn  T )  |  ( g  o.  F )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } } )
3938eleq1d 2529 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) ) "
x )  e.  ( T  ^ko  S )  <->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g  o.  F )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4035, 39syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) ) " x )  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4140expimpd 603 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4241rexlimdvva 2955 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
~P  U. R E. v  e.  T  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) ) "
x )  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4310, 42syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4443ralrimiv 2869 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) ) " x )  e.  ( T  ^ko  S ) )
45 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( T  ^ko  S )  =  ( T  ^ko  S )
4645xkotopon 19829 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
4722, 24, 46syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
48 ovex 6300 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
4948pwex 4623 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
506, 7, 8xkotf 19814 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
51 frn 5728 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
5349, 52ssexi 4585 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
5453a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  _V )
55 cntop1 19500 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R  Cn  S )  ->  R  e.  Top )
561, 55syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
576, 7, 8xkoval 19816 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5856, 24, 57syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
59 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( T  ^ko  R )  =  ( T  ^ko  R )
6059xkotopon 19829 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
6156, 24, 60syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
6247, 54, 58, 61subbascn 19514 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) )  e.  ( ( T  ^ko  S )  Cn  ( T  ^ko  R ) )  <->  ( ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) ) : ( S  Cn  T ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e.  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  e.  ( T  ^ko  S ) ) ) )
635, 44, 62mpbir2and 915 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) )  e.  ( ( T  ^ko  S )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238    |-> cmpt 4498    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   ran crn 4993   "cima 4995    o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   ficfi 7859   ↾t crest 14665   topGenctg 14682   Topctop 19154  TopOnctopon 19155    Cn ccn 19484   Compccmp 19645    ^ko cxko 19790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-fi 7860  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cn 19487  df-cmp 19646  df-xko 19792
This theorem is referenced by:  cnmpt1k  19911
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