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Theorem xkoco1cn 20448
Description: If  F is a continuous function, then  g  |->  g  o.  F is a continuous function on function spaces. (The reason we prove this and xkoco2cn 20449 independently of the more general xkococn 20451 is because that requires some inconvenient extra assumptions on  S.) (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkoco1cn.t  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
xkoco1cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R  Cn  S ) )
Assertion
Ref Expression
xkoco1cn  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) )  e.  ( ( T  ^ko  S )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    ph, g    R, g    S, g    T, g   
g, F

Proof of Theorem xkoco1cn
Dummy variables  k 
v  x  h  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xkoco1cn.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R  Cn  S ) )
2 cnco 20058 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R  Cn  S )  /\  g  e.  ( S  Cn  T ) )  -> 
( g  o.  F
)  e.  ( R  Cn  T ) )
31, 2sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( S  Cn  T
) )  ->  (
g  o.  F )  e.  ( R  Cn  T ) )
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) )  =  ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) )
53, 4fmptd 6032 . 2  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) : ( S  Cn  T ) --> ( R  Cn  T
) )
6 eqid 2402 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
7 eqid 2402 . . . . . 6  |-  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  =  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp }
8 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )
96, 7, 8xkobval 20377 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  =  {
x  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) }
109abeq2i 2529 . . . 4  |-  ( x  e.  ran  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  T  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
111ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  F  e.  ( R  Cn  S ) )
1211, 2sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( S  Cn  T
) )  ->  (
g  o.  F )  e.  ( R  Cn  T ) )
13 imaeq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( g  o.  F )  ->  (
h " k )  =  ( ( g  o.  F ) "
k ) )
14 imaco 5327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g  o.  F )
" k )  =  ( g " ( F " k ) )
1513, 14syl6eq 2459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( g  o.  F )  ->  (
h " k )  =  ( g "
( F " k
) ) )
1615sseq1d 3468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( g  o.  F )  ->  (
( h " k
)  C_  v  <->  ( g " ( F "
k ) )  C_  v ) )
1716elrab3 3207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  o.  F )  e.  ( R  Cn  T )  ->  (
( g  o.  F
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( g "
( F " k
) )  C_  v
) )
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  g  e.  ( S  Cn  T
) )  ->  (
( g  o.  F
)  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  <->  ( g "
( F " k
) )  C_  v
) )
1918rabbidva 3049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g  o.  F )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  =  {
g  e.  ( S  Cn  T )  |  ( g " ( F " k ) ) 
C_  v } )
20 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  U. S  =  U. S
21 cntop2 20033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
221, 21syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  Top )
2322ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  S  e.  Top )
24 xkoco1cn.t . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  e.  Top )
2524ad2antrr 724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  T  e.  Top )
26 imassrn 5167 . . . . . . . . . 10  |-  ( F
" k )  C_  ran  F
276, 20cnf 20038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( R  Cn  S )  ->  F : U. R --> U. S
)
28 frn 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. R --> U. S  ->  ran  F  C_  U. S
)
2911, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ran  F  C_  U. S
)
3026, 29syl5ss 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( F "
k )  C_  U. S
)
31 imacmp 20188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  ( St  ( F " k ) )  e.  Comp )
3211, 31sylancom 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( St  ( F
" k ) )  e.  Comp )
33 simplrr 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  v  e.  T
)
3420, 23, 25, 30, 32, 33xkoopn 20380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g
" ( F "
k ) )  C_  v }  e.  ( T  ^ko  S ) )
3519, 34eqeltrd 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g  o.  F )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( T  ^ko  S ) )
36 imaeq2 5152 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  =  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) )
374mptpreima 5315 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  =  { g  e.  ( S  Cn  T )  |  ( g  o.  F )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } }
3836, 37syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  =  { g  e.  ( S  Cn  T )  |  ( g  o.  F )  e.  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } } )
3938eleq1d 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) ) "
x )  e.  ( T  ^ko  S )  <->  { g  e.  ( S  Cn  T
)  |  ( g  o.  F )  e. 
{ h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } }  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4035, 39syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T
) )  /\  ( Rt  k )  e.  Comp )  ->  ( x  =  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v }  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) ) " x )  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4140expimpd 601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  T )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  x  =  {
h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4241rexlimdvva 2902 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. k  e. 
~P  U. R E. v  e.  T  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  x  =  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) ) "
x )  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4310, 42syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  e.  ( T  ^ko  S ) ) )
4443ralrimiv 2815 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) ) " x )  e.  ( T  ^ko  S ) )
45 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( T  ^ko  S )  =  ( T  ^ko  S )
4645xkotopon 20391 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
4722, 24, 46syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  S )  e.  (TopOn `  ( S  Cn  T
) ) )
48 ovex 6305 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  T )  e. 
_V
4948pwex 4576 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  T )  e. 
_V
506, 7, 8xkotf 20376 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { y  e. 
~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h "
k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )
51 frn 5719 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) : ( { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp }  X.  T ) --> ~P ( R  Cn  T )  ->  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  T ) )
5250, 51ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  C_  ~P ( R  Cn  T
)
5349, 52ssexi 4538 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } )  e.  _V
5453a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( k  e. 
{ y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
)  e.  _V )
55 cntop1 20032 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R  Cn  S )  ->  R  e.  Top )
561, 55syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Top )
576, 7, 8xkoval 20378 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
5856, 24, 57syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y
)  e.  Comp } , 
v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T )  |  ( h " k
)  C_  v }
) ) ) )
59 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( T  ^ko  R )  =  ( T  ^ko  R )
6059xkotopon 20391 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  T  e.  Top )  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
6156, 24, 60syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  T
) ) )
6247, 54, 58, 61subbascn 20046 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( S  Cn  T
)  |->  ( g  o.  F ) )  e.  ( ( T  ^ko  S )  Cn  ( T  ^ko  R ) )  <->  ( ( g  e.  ( S  Cn  T )  |->  ( g  o.  F ) ) : ( S  Cn  T ) --> ( R  Cn  T )  /\  A. x  e.  ran  (
k  e.  { y  e.  ~P U. R  |  ( Rt  y )  e.  Comp } ,  v  e.  T  |->  { h  e.  ( R  Cn  T
)  |  ( h
" k )  C_  v } ) ( `' ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) ) " x
)  e.  ( T  ^ko  S ) ) ) )
635, 44, 62mpbir2and 923 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  ( S  Cn  T ) 
|->  ( g  o.  F
) )  e.  ( ( T  ^ko  S )  Cn  ( T  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   U.cuni 4190    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   ran crn 4823   "cima 4825    o. ccom 4826   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   ficfi 7903   ↾t crest 15033   topGenctg 15050   Topctop 19684  TopOnctopon 19685    Cn ccn 20016   Compccmp 20177    ^ko cxko 20352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-fin 7557  df-fi 7904  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cn 20019  df-cmp 20178  df-xko 20354
This theorem is referenced by:  cnmpt1k  20473
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