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Theorem xkocnv 20906
Description: The inverse of the "currying" function  F is the uncurrying function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkohmeo.x  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
xkohmeo.y  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
xkohmeo.f  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
xkohmeo.j  |-  ( ph  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.k  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.l  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
Assertion
Ref Expression
xkocnv  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, J    f, K, g, x, y    ph, f,
g, x, y    f, L, g, x, y    f, X, g, x, y    f, Y, g, x, y    f, F, g, x, y

Proof of Theorem xkocnv
StepHypRef Expression
1 simprr 774 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
2 xkohmeo.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 xkohmeo.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
54adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
6 txtopon 20683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
72, 4, 6syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
87adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
9 xkohmeo.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
10 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. L  =  U. L
1110toptopon 20025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
129, 11sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
14 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
15 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  f :
( X  X.  Y
) --> U. L )
168, 13, 14, 15syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f : ( X  X.  Y ) --> U. L
)
17 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( X  X.  Y ) --> U. L  ->  f  Fn  ( X  X.  Y ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  Fn  ( X  X.  Y
) )
19 fnov 6423 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  ( X  X.  Y )  <->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
2018, 19sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
2120, 14eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L ) )
223, 5, 21cnmpt2k 20780 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
2322adantrr 731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
241, 23eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
2520adantrr 731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
26 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  X  =  X
27 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ x ph
28 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )
29 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3029nfeq2 2627 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3128, 30nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
3227, 31nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
33 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
34 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )
35 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y X
36 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )
3735, 36nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3837nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3934, 38nfan 2031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
4033, 39nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
41 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  X
4240, 41nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X
)
43 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
4443fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
g `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x ) )
45 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  X )
46 toponmax 20020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
474, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
4847ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  Y  e.  K )
49 mptexg 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  K  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )
51 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5251fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5345, 50, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5444, 53eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
g `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5554fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( g `  x
) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `
 y ) )
56 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  Y )
57 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x f y )  e. 
_V
58 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )
5958fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( x f y )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `  y )  =  ( x f y ) )
6056, 57, 59sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `  y
)  =  ( x f y ) )
6155, 60eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) )
6261expr 626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( y  e.  Y  ->  ( ( g `  x ) `  y
)  =  ( x f y ) ) )
6342, 62ralrimi 2800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( ( g `  x ) `  y
)  =  ( x f y ) )
64 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  Y
6563, 64jctil 546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( ( g `
 x ) `  y )  =  ( x f y ) ) )
6665ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  (
( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) ) ) )
6732, 66ralrimi 2800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( (
g `  x ) `  y )  =  ( x f y ) ) )
68 mpt2eq123 6369 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  X  /\  A. x  e.  X  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( ( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
6926, 67, 68sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
7025, 69eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
7124, 70jca 541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
72 simprr 774 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
732adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
744adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
7512adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
76 xkohmeo.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
7776adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
78 nllytop 20565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  K  e.  Top )
809adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  L  e.  Top )
81 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
8281xkotopon 20692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
8379, 80, 82syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
84 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
85 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g : X --> ( K  Cn  L ) )
8673, 83, 84, 85syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g : X --> ( K  Cn  L ) )
8786feqmptd 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g  =  ( x  e.  X  |->  ( g `
 x ) ) )
884ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
8912ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
9086ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
)  e.  ( K  Cn  L ) )
91 cnf2 20342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( g `  x )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( g `  x ) : Y --> U. L )
9288, 89, 90, 91syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
) : Y --> U. L
)
9392feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) )
9493mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( g `  x
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) ) )
9587, 94eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) ) )
9695, 84eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
9773, 74, 75, 77, 96cnmptk2 20778 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
9897adantrr 731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
9972, 98eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
10095adantrr 731 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
101 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )
102 nfmpt21 6377 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )
103102nfeq2 2627 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )
104101, 103nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
10527, 104nfan 2031 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
106 nfv 1769 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )
107 nfmpt22 6378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )
108107nfeq2 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) )
109106, 108nfan 2031 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
11033, 109nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
111110, 41nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  /\  x  e.  X )
11272oveqd 6325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x
f y )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y ) )
113 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x ) `
 y )  e. 
_V
114 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )
115114ovmpt4g 6438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  ( ( g `  x ) `  y
)  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y )  =  ( ( g `  x
) `  y )
)
116113, 115mp3an3 1379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y )  =  ( ( g `  x
) `  y )
)
117112, 116sylan9eq 2525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x f y )  =  ( ( g `  x ) `
 y ) )
118117expr 626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  Y  ->  ( x f y )  =  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
119111, 118ralrimi 2800 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  Y  ( x
f y )  =  ( ( g `  x ) `  y
) )
120 mpteq12 4475 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( x f y )  =  ( ( g `
 x ) `  y ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) )
12164, 119, 120sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
122105, 121mpteq2da 4481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) ) )
123100, 122eqtr4d 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
12499, 123jca 541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
12571, 124impbida 850 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )  <-> 
( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) ) )
126125opabbidv 4459 . 2  |-  ( ph  ->  { <. g ,  f
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }  =  { <. g ,  f >.  |  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) } )
127 xkohmeo.f . . . . 5  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
128 df-mpt 4456 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  |->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
129127, 128eqtri 2493 . . . 4  |-  F  =  { <. f ,  g
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
130129cnveqi 5014 . . 3  |-  `' F  =  `' { <. f ,  g
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
131 cnvopab 5243 . . 3  |-  `' { <. f ,  g >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }  =  { <. g ,  f >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
132130, 131eqtri 2493 . 2  |-  `' F  =  { <. g ,  f
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
133 df-mpt 4456 . 2  |-  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) )  =  { <. g ,  f >.  |  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) }
134126, 132, 1333eqtr4g 2530 1  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   U.cuni 4190   {copab 4453    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317   Compccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557    tX ctx 20652    ^ko cxko 20653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-xko 20655
This theorem is referenced by:  xkohmeo  20907
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