MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkocnv Structured version   Unicode version

Theorem xkocnv 20766
Description: The inverse of the "currying" function  F is the uncurrying function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xkohmeo.x  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
xkohmeo.y  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
xkohmeo.f  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
xkohmeo.j  |-  ( ph  ->  J  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.k  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
xkohmeo.l  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
Assertion
Ref Expression
xkocnv  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, g, x, y, J    f, K, g, x, y    ph, f,
g, x, y    f, L, g, x, y    f, X, g, x, y    f, Y, g, x, y    f, F, g, x, y

Proof of Theorem xkocnv
StepHypRef Expression
1 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
2 xkohmeo.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
32adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 xkohmeo.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
54adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
6 txtopon 20543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
72, 4, 6syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) ) )
87adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  ( J  tX  K )  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y ) ) )
9 xkohmeo.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
10 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. L  =  U. L
1110toptopon 19885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
129, 11sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
1312adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
14 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
15 cnf2 20202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  (TopOn `  ( X  X.  Y
) )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )  ->  f :
( X  X.  Y
) --> U. L )
168, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f : ( X  X.  Y ) --> U. L
)
17 ffn 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( X  X.  Y ) --> U. L  ->  f  Fn  ( X  X.  Y ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  Fn  ( X  X.  Y
) )
19 fnov 6357 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  ( X  X.  Y )  <->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
2018, 19sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
2120, 14eqeltrrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L ) )
223, 5, 21cnmpt2k 20640 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )  ->  (
x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
2322adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
241, 23eqeltrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
2520adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
26 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  X  =  X
27 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ x ph
28 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )
29 nfmpt1 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3029nfeq2 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3128, 30nfan 1988 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
3227, 31nfan 1988 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
33 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y
ph
34 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )
35 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y X
36 nfmpt1 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )
3735, 36nfmpt 4450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3837nfeq2 2579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
3934, 38nfan 1988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
4033, 39nfan 1988 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
41 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  x  e.  X
4240, 41nfan 1988 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X
)
43 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
4443fveq1d 5822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
g `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x ) )
45 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  x  e.  X )
46 toponmax 19880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  K )
474, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  Y  e.  K )
4847ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  Y  e.  K )
49 mptexg 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y  e.  K  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )
51 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5251fvmpt2 5912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5345, 50, 52syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5444, 53eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
g `  x )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
5554fveq1d 5822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( g `  x
) `  y )  =  ( ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `
 y ) )
56 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  y  e.  Y )
57 ovex 6272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x f y )  e. 
_V
58 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )
5958fvmpt2 5912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Y  /\  ( x f y )  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `  y )  =  ( x f y ) )
6056, 57, 59sylancl 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) `  y
)  =  ( x f y ) )
6155, 60eqtrd 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )  ->  (
( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) )
6261expr 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( y  e.  Y  ->  ( ( g `  x ) `  y
)  =  ( x f y ) ) )
6342, 62ralrimi 2760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  ( ( g `  x ) `  y
)  =  ( x f y ) )
64 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  Y
6563, 64jctil 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( ( g `
 x ) `  y )  =  ( x f y ) ) )
6665ex 435 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  ->  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  (
( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) ) ) )
6732, 66ralrimi 2760 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  X  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( (
g `  x ) `  y )  =  ( x f y ) ) )
68 mpt2eq123 6303 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  X  /\  A. x  e.  X  ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( ( g `  x
) `  y )  =  ( x f y ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
6926, 67, 68sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )
7025, 69eqtr4d 2460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
7124, 70jca 534 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )  ->  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
72 simprr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
732adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X
) )
744adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y
) )
7512adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
76 xkohmeo.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
7776adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  K  e. 𝑛Locally  Comp )
78 nllytop 20425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e. 𝑛Locally 
Comp  ->  K  e.  Top )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  K  e.  Top )
809adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  ->  L  e.  Top )
81 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  ^ko  K )  =  ( L  ^ko  K )
8281xkotopon 20552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  L  e.  Top )  ->  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
8379, 80, 82syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) ) )
84 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
85 cnf2 20202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( L  ^ko  K )  e.  (TopOn `  ( K  Cn  L
) )  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g : X --> ( K  Cn  L ) )
8673, 83, 84, 85syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g : X --> ( K  Cn  L ) )
8786feqmptd 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g  =  ( x  e.  X  |->  ( g `
 x ) ) )
884ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
8912ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
9086ffvelrnda 5976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
)  e.  ( K  Cn  L ) )
91 cnf2 20202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( g `  x )  e.  ( K  Cn  L ) )  ->  ( g `  x ) : Y --> U. L )
9288, 89, 90, 91syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
) : Y --> U. L
)
9392feqmptd 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  /\  x  e.  X )  ->  ( g `  x
)  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) )
9493mpteq2dva 4448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( g `  x
) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) ) )
9587, 94eqtrd 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) ) )
9695, 84eqeltrrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) )  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )
9773, 74, 75, 77, 96cnmptk2 20638 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) ) )  -> 
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) )
9897adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
9972, 98eqeltrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
) )
10095adantrr 721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
101 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )
102 nfmpt21 6311 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )
103102nfeq2 2579 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )
104101, 103nfan 1988 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
10527, 104nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
106 nfv 1755 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )
107 nfmpt22 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) )
108107nfeq2 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) )
109106, 108nfan 1988 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
11033, 109nfan 1988 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )
111110, 41nfan 1988 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  /\  x  e.  X )
11272oveqd 6261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x
f y )  =  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y ) )
113 fvex 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g `  x ) `
 y )  e. 
_V
114 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) )
115114ovmpt4g 6372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  ( ( g `  x ) `  y
)  e.  _V )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y )  =  ( ( g `  x
) `  y )
)
116113, 115mp3an3 1349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  ->  ( x ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) y )  =  ( ( g `  x
) `  y )
)
117112, 116sylan9eq 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  -> 
( x f y )  =  ( ( g `  x ) `
 y ) )
118117expr 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  Y  ->  ( x f y )  =  ( ( g `  x ) `  y
) ) )
119111, 118ralrimi 2760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  A. y  e.  Y  ( x
f y )  =  ( ( g `  x ) `  y
) )
120 mpteq12 4441 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  =  Y  /\  A. y  e.  Y  ( x f y )  =  ( ( g `
 x ) `  y ) )  -> 
( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) )
12164, 119, 120sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) )  /\  x  e.  X
)  ->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) )
122105, 121mpteq2da 4447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `
 y ) ) ) )
123100, 122eqtr4d 2460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
12499, 123jca 534 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )  ->  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) )
12571, 124impbida 840 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )  <-> 
( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) ) )
126125opabbidv 4425 . 2  |-  ( ph  ->  { <. g ,  f
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }  =  { <. g ,  f >.  |  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `  x ) `  y
) ) ) } )
127 xkohmeo.f . . . . 5  |-  F  =  ( f  e.  ( ( J  tX  K
)  Cn  L ) 
|->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )
128 df-mpt 4422 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( J 
tX  K )  Cn  L )  |->  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) )  =  { <. f ,  g >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
129127, 128eqtri 2445 . . . 4  |-  F  =  { <. f ,  g
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
130129cnveqi 4966 . . 3  |-  `' F  =  `' { <. f ,  g
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
131 cnvopab 5194 . . 3  |-  `' { <. f ,  g >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }  =  { <. g ,  f >.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L )  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
132130, 131eqtri 2445 . 2  |-  `' F  =  { <. g ,  f
>.  |  ( f  e.  ( ( J  tX  K )  Cn  L
)  /\  g  =  ( x  e.  X  |->  ( y  e.  Y  |->  ( x f y ) ) ) ) }
133 df-mpt 4422 . 2  |-  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  ( ( g `  x
) `  y )
) )  =  { <. g ,  f >.  |  ( g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  /\  f  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) }
134126, 132, 1333eqtr4g 2482 1  |-  ( ph  ->  `' F  =  (
g  e.  ( J  Cn  ( L  ^ko  K ) )  |->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  ( ( g `
 x ) `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2709   _Vcvv 3017   U.cuni 4157   {copab 4419    |-> cmpt 4420    X. cxp 4789   `'ccnv 4790    Fn wfn 5534   -->wf 5535   ` cfv 5539  (class class class)co 6244    |-> cmpt2 6246   Topctop 19854  TopOnctopon 19855    Cn ccn 20177   Compccmp 20338  𝑛Locally cnlly 20417    tX ctx 20512    ^ko cxko 20513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-int 4194  df-iun 4239  df-iin 4240  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-pred 5337  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-ov 6247  df-oprab 6248  df-mpt2 6249  df-om 6646  df-1st 6746  df-2nd 6747  df-wrecs 6978  df-recs 7040  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7473  df-en 7520  df-dom 7521  df-sdom 7522  df-fin 7523  df-fi 7873  df-rest 15259  df-topgen 15280  df-pt 15281  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-ntr 19972  df-nei 20051  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-cmp 20339  df-nlly 20419  df-tx 20514  df-xko 20515
This theorem is referenced by:  xkohmeo  20767
  Copyright terms: Public domain W3C validator