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Theorem xkoccn 20711
Description: The "constant function" function which maps 
x  e.  Y to the constant function  z  e.  X  |->  x is a continuous function from  X into the space of continuous functions from  Y to  X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is  x  e.  Y  |->  ( z  e.  X  |->  z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkoccn  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, S    x, X    x, Y

Proof of Theorem xkoccn
Dummy variables  f 
k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnconst2 20376 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S ) )
213expa 1231 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
3 eqid 2471 . . 3  |-  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )
42, 3fmptd 6061 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) : Y --> ( R  Cn  S
) )
5 eqid 2471 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2471 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  =  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp }
7 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
85, 6, 7xkobval 20678 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  { y  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) }
98abeq2i 2583 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
102adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
1110adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
1211adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
13 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  =  (/) )
1413imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ( ( X  X.  { x } )
" (/) ) )
15 ima0 5189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  =  (/)
16 0ss 3766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  C_  v
1715, 16eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  C_  v
1814, 17syl6eqss 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v )
19 imaeq1 5169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( f "
k )  =  ( ( X  X.  {
x } ) "
k ) )
2019sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( ( f
" k )  C_  v 
<->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) )
2120elrab 3184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }  <->  ( ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v ) )
2212, 18, 21sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
2322ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
24 rabid2 2954 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  <->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
2523, 24sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
26 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
27 toponmax 20020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  S )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  Y  e.  S )
2928adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  e.  S )
3025, 29eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
31 ifnefalse 3884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =/=  (/)  ->  if (
k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3231ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3332eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
x  e.  v ) )
34 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3534snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  v  <->  { x }  C_  v )
3633, 35syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <->  { x }  C_  v ) )
37 df-ima 4852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  X.  { x } ) " k
)  =  ran  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )
38 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  k  e.  ~P U. R )
3938ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  e.  ~P U. R )
4039elpwid 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  U. R )
41 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
4241ad5antr 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  X  =  U. R
)
4340, 42sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  X )
44 xpssres 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  X  ->  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4645rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( ( X  X.  { x }
)  |`  k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
4737, 46syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
48 rnxp 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =/=  (/)  ->  ran  ( k  X.  { x }
)  =  { x } )
4948ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( k  X. 
{ x } )  =  { x }
)
5047, 49eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  { x } )
5150sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  { x }  C_  v ) )
5211adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
5352biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  ( ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) ) )
5436, 51, 533bitr2d 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5533, 54bitr3d 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5655, 21syl6bbr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
5756rabbi2dva 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
58 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  e.  S )
59 toponss 20021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  v  e.  S )  ->  v  C_  Y )
6026, 58, 59syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  C_  Y )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  C_  Y )
62 dfss1 3628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6361, 62sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6457, 63eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  =  v )
6558adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  e.  S )
6664, 65eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
6730, 66pm2.61dane 2730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
68 imaeq2 5170 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) " {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
693mptpreima 5335 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  e.  Y  | 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } }
7068, 69syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
7170eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S  <->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S ) )
7267, 71syl5ibrcom 230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  (
y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
7372expimpd 614 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7473rexlimdvva 2878 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
759, 74syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7675ralrimiv 2808 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) "
y )  e.  S
)
77 simpr 468 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
78 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
7978pwex 4584 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
805, 6, 7xkotf 20677 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
81 frn 5747 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S
) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) 
C_  ~P ( R  Cn  S )
8379, 82ssexi 4541 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  e.  _V
8483a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V )
85 topontop 20018 . . . 4  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
86 topontop 20018 . . . 4  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
875, 6, 7xkoval 20679 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
8885, 86, 87syl2an 485 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ko  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
89 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
9089xkotopon 20692 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9185, 86, 90syl2an 485 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9277, 84, 88, 91subbascn 20347 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) )  <->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) : Y --> ( R  Cn  S )  /\  A. y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) ) )
934, 76, 92mpbir2and 936 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   ran crn 4840    |` cres 4841   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   ficfi 7942   ↾t crest 15397   topGenctg 15414   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317   Compccmp 20478    ^ko cxko 20653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-xko 20655
This theorem is referenced by:  cnmptkc  20771  xkofvcn  20776
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