MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xkoccn Structured version   Unicode version

Theorem xkoccn 19195
Description: The "constant function" function which maps 
x  e.  Y to the constant function  z  e.  X  |->  x is a continuous function from  X into the space of continuous functions from  Y to  X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is  x  e.  Y  |->  ( z  e.  X  |->  z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkoccn  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, S    x, X    x, Y

Proof of Theorem xkoccn
Dummy variables  f 
k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnconst2 18890 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S ) )
213expa 1187 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )
42, 3fmptd 5870 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) : Y --> ( R  Cn  S
) )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  =  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp }
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
85, 6, 7xkobval 19162 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  { y  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) }
98abeq2i 2553 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
102adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
1110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
1211adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
13 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  =  (/) )
1413imaeq2d 5172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ( ( X  X.  { x } )
" (/) ) )
15 ima0 5187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  =  (/)
16 0ss 3669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  C_  v
1715, 16eqsstri 3389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  C_  v
1814, 17syl6eqss 3409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v )
19 imaeq1 5167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( f "
k )  =  ( ( X  X.  {
x } ) "
k ) )
2019sseq1d 3386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( ( f
" k )  C_  v 
<->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) )
2120elrab 3120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }  <->  ( ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v ) )
2212, 18, 21sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
2322ralrimiva 2802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
24 rabid2 2901 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  <->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
2523, 24sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
26 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
27 toponmax 18536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  S )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  Y  e.  S )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  e.  S )
3025, 29eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
31 ifnefalse 3804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =/=  (/)  ->  if (
k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3332eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
x  e.  v ) )
34 vex 2978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3534snss 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  v  <->  { x }  C_  v )
3633, 35syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <->  { x }  C_  v ) )
37 df-ima 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  X.  { x } ) " k
)  =  ran  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )
38 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  k  e.  ~P U. R )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  e.  ~P U. R )
4039elpwid 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  U. R )
41 toponuni 18535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
4241ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  X  =  U. R
)
4340, 42sseqtr4d 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  X )
44 xpssres 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  X  ->  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4645rneqd 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( ( X  X.  { x }
)  |`  k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
4737, 46syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
48 rnxp 5271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =/=  (/)  ->  ran  ( k  X.  { x }
)  =  { x } )
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( k  X. 
{ x } )  =  { x }
)
5047, 49eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  { x } )
5150sseq1d 3386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  { x }  C_  v ) )
5211adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
5352biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  ( ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) ) )
5436, 51, 533bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5533, 54bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5655, 21syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
5756rabbi2dva 3561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
58 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  e.  S )
59 toponss 18537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  v  e.  S )  ->  v  C_  Y )
6026, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  C_  Y )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  C_  Y )
62 dfss1 3558 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6361, 62sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6457, 63eqtr3d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  =  v )
6558adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  e.  S )
6664, 65eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
6730, 66pm2.61dane 2692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
68 imaeq2 5168 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) " {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
693mptpreima 5334 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  e.  Y  | 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } }
7068, 69syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
7170eleq1d 2509 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S  <->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S ) )
7267, 71syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  (
y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
7372expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7473rexlimdvva 2851 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
759, 74syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7675ralrimiv 2801 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) "
y )  e.  S
)
77 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
78 ovex 6119 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
7978pwex 4478 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
805, 6, 7xkotf 19161 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
81 frn 5568 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S
) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) 
C_  ~P ( R  Cn  S )
8379, 82ssexi 4440 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  e.  _V
8483a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V )
85 topontop 18534 . . . 4  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
86 topontop 18534 . . . 4  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
875, 6, 7xkoval 19163 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
8885, 86, 87syl2an 477 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ko  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
89 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
9089xkotopon 19176 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9185, 86, 90syl2an 477 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9277, 84, 88, 91subbascn 18861 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) )  <->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) : Y --> ( R  Cn  S )  /\  A. y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) ) )
934, 76, 92mpbir2and 913 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   E.wrex 2719   {crab 2722   _Vcvv 2975    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ifcif 3794   ~Pcpw 3863   {csn 3880   U.cuni 4094    e. cmpt 4353    X. cxp 4841   `'ccnv 4842   ran crn 4844    |` cres 4845   "cima 4846   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    e. cmpt2 6096   ficfi 7663   ↾t crest 14362   topGenctg 14379   Topctop 18501  TopOnctopon 18502    Cn ccn 18831   Compccmp 18992    ^ko cxko 19137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-fin 7317  df-fi 7664  df-rest 14364  df-topgen 14385  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-cmp 18993  df-xko 19139
This theorem is referenced by:  cnmptkc  19255  xkofvcn  19260
  Copyright terms: Public domain W3C validator