Theorem xkoccn 20626

Description: The "constant function" function which maps x e. Y to the constant function z e. X |-> x is a continuous function from X into the space of continuous functions from Y to X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is x e. Y |-> ( z e. X |-> z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkoccn	|- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Distinct variable groups:   x, R   x, S   x, X   x, Y

Proof of Theorem xkoccn

Dummy variables f k v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnconst2 20291	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
2	1	3expa 1206	. . 3 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
3		eqid 2423	. . 3 |- ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) = ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) )
4	2, 3	fmptd 6059	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) )
5		eqid 2423	. . . . . 6 |- U. R = U. R
6		eqid 2423	. . . . . 6 |- { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } = { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp }
7		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkobval 20593	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { y | E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) }
9	8	abeq2i 2550	. . . 4 |- ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
10	2	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
11	10	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
12	11	adantlr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
13		simplr 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> k = (/) )
14	13	imaeq2d 5185	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ( ( X X. { x } ) " (/) ) )
15		ima0 5200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) = (/)
16		0ss 3792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) C_ v
17	15, 16	eqsstri 3495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) C_ v
18	14, 17	syl6eqss 3515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v )
19		imaeq1 5180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( f " k ) = ( ( X X. { x } ) " k ) )
20	19	sseq1d 3492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
21	20	elrab 3230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
22	12, 18, 21	sylanbrc 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
23	22	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
24		rabid2 3007	. . . . . . . . . 10 |- ( Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } <-> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
25	23, 24	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
26		simpllr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
27		toponmax 19935	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> Y e. S )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> Y e. S )
29	28	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y e. S )
30	25, 29	eqeltrrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
31		ifnefalse 3922	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k =/= (/) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
32	31	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
33	32	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> x e. v ) )
34		vex 3085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
35	34	snss 4122	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
36	33, 35	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> { x } C_ v ) )
37		df-ima 4864	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( ( X X. { x } ) |` k )
38		simplrl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> k e. ~P U. R )
39	38	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k e. ~P U. R )
40	39	elpwid 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ U. R )
41		toponuni 19934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
42	41	ad5antr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> X = U. R )
43	40, 42	sseqtr4d 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ X )
44		xpssres 5156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k C_ X -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
46	45	rneqd 5079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( ( X X. { x } ) |` k ) = ran ( k X. { x } ) )
47	37, 46	syl5eq 2476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( k X. { x } ) )
48		rnxp 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k =/= (/) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
49	48	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
50	47, 49	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = { x } )
51	50	sseq1d 3492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> { x } C_ v ) )
52	11	adantlr 720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
53	52	biantrurd 511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
54	36, 51, 53	3bitr2d 285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
55	33, 54	bitr3d 259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
56	55, 21	syl6bbr 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
57	56	rabbi2dva 3671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
58		simplrr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v e. S )
59		toponss 19936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. (TopOn ` Y ) /\ v e. S ) -> v C_ Y )
60	26, 58, 59	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v C_ Y )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v C_ Y )
62		dfss1 3668	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ Y <-> ( Y i^i v ) = v )
63	61, 62	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = v )
64	57, 63	eqtr3d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } = v )
65	58	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v e. S )
66	64, 65	eqeltrd 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
67	30, 66	pm2.61dane 2743	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
68		imaeq2 5181	. . . . . . . . 9 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
69	3	mptpreima 5345	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } }
70	68, 69	syl6eq 2480	. . . . . . . 8 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
71	70	eleq1d 2492	. . . . . . 7 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S <-> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S ) )
72	67, 71	syl5ibrcom 226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
73	72	expimpd 607	. . . . 5 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) -> ( ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
74	73	rexlimdvva 2925	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
75	9, 74	syl5bi 221	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
76	75	ralrimiv 2838	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S )
77		simpr 463	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
78		ovex 6331	. . . . . 6 |- ( R Cn S ) e. _V
79	78	pwex 4605	. . . . 5 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
80	5, 6, 7	xkotf 20592	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
81		frn 5750	. . . . . 6 |- ( ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
83	79, 82	ssexi 4567	. . . 4 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V )
85		topontop 19933	. . . 4 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
86		topontop 19933	. . . 4 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> S e. Top )
87	5, 6, 7	xkoval 20594	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
88	85, 86, 87	syl2an 480	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
89		eqid 2423	. . . . 5 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
90	89	xkotopon 20607	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
91	85, 86, 90	syl2an 480	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
92	77, 84, 88, 91	subbascn 20262	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) <-> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) /\ A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) ) )
93	4, 76, 92	mpbir2and 931	1 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   {csn 3997   U.cuni 4217   |-> cmpt 4480   X. cxp 4849   `'ccnv 4850   ran crn 4852   |` cres 4853   "cima 4854   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   |-> cmpt2 6305   ficfi 7928   ↾_t crest 15312   topGenctg 15329   Topctop 19909  TopOnctopon 19910   Cn ccn 20232   Compccmp 20393   ^ko cxko 20568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-fin 7579  df-fi 7929  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-cmp 20394  df-xko 20570

This theorem is referenced by:  cnmptkc  20686  xkofvcn  20691