Theorem xkoccn 19034

Description: The "constant function" function which maps x e. Y to the constant function z e. X |-> x is a continuous function from X into the space of continuous functions from Y to X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is x e. Y |-> ( z e. X |-> z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkoccn	|- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Distinct variable groups:   x, R   x, S   x, X   x, Y

Proof of Theorem xkoccn

Dummy variables f k v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnconst2 18729	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
2	1	3expa 1180	. . 3 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
3		eqid 2433	. . 3 |- ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) = ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) )
4	2, 3	fmptd 5855	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) )
5		eqid 2433	. . . . . 6 |- U. R = U. R
6		eqid 2433	. . . . . 6 |- { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } = { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp }
7		eqid 2433	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkobval 19001	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { y | E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) }
9	8	abeq2i 2540	. . . 4 |- ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
10	2	adantlr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
11	10	adantlr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
12	11	adantlr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
13		simplr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> k = (/) )
14	13	imaeq2d 5157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ( ( X X. { x } ) " (/) ) )
15		ima0 5172	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) = (/)
16		0ss 3654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) C_ v
17	15, 16	eqsstri 3374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) C_ v
18	14, 17	syl6eqss 3394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v )
19		imaeq1 5152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( f " k ) = ( ( X X. { x } ) " k ) )
20	19	sseq1d 3371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
21	20	elrab 3106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
22	12, 18, 21	sylanbrc 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
23	22	ralrimiva 2789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
24		rabid2 2888	. . . . . . . . . 10 |- ( Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } <-> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
25	23, 24	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
26		simpllr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
27		toponmax 18375	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> Y e. S )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> Y e. S )
29	28	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y e. S )
30	25, 29	eqeltrrd 2508	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
31		ifnefalse 3789	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k =/= (/) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
32	31	ad2antlr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
33	32	eleq2d 2500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> x e. v ) )
34		vex 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
35	34	snss 3987	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
36	33, 35	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> { x } C_ v ) )
37		df-ima 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( ( X X. { x } ) |` k )
38		simplrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> k e. ~P U. R )
39	38	ad2antrr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k e. ~P U. R )
40	39	elpwid 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ U. R )
41		toponuni 18374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
42	41	ad5antr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> X = U. R )
43	40, 42	sseqtr4d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ X )
44		xpssres 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k C_ X -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
46	45	rneqd 5054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( ( X X. { x } ) |` k ) = ran ( k X. { x } ) )
47	37, 46	syl5eq 2477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( k X. { x } ) )
48		rnxp 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k =/= (/) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
49	48	ad2antlr 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
50	47, 49	eqtrd 2465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = { x } )
51	50	sseq1d 3371	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> { x } C_ v ) )
52	11	adantlr 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
53	52	biantrurd 505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
54	36, 51, 53	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
55	33, 54	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
56	55, 21	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
57	56	rabbi2dva 3546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
58		simplrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v e. S )
59		toponss 18376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. (TopOn ` Y ) /\ v e. S ) -> v C_ Y )
60	26, 58, 59	syl2anc 654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v C_ Y )
61	60	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v C_ Y )
62		dfss1 3543	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ Y <-> ( Y i^i v ) = v )
63	61, 62	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = v )
64	57, 63	eqtr3d 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } = v )
65	58	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v e. S )
66	64, 65	eqeltrd 2507	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
67	30, 66	pm2.61dane 2679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
68		imaeq2 5153	. . . . . . . . 9 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
69	3	mptpreima 5319	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } }
70	68, 69	syl6eq 2481	. . . . . . . 8 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
71	70	eleq1d 2499	. . . . . . 7 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S <-> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S ) )
72	67, 71	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
73	72	expimpd 598	. . . . 5 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) -> ( ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
74	73	rexlimdvva 2838	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
75	9, 74	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
76	75	ralrimiv 2788	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S )
77		simpr 458	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
78		ovex 6105	. . . . . 6 |- ( R Cn S ) e. _V
79	78	pwex 4463	. . . . 5 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
80	5, 6, 7	xkotf 19000	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
81		frn 5553	. . . . . 6 |- ( ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
83	79, 82	ssexi 4425	. . . 4 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V )
85		topontop 18373	. . . 4 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
86		topontop 18373	. . . 4 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> S e. Top )
87	5, 6, 7	xkoval 19002	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
88	85, 86, 87	syl2an 474	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
89		eqid 2433	. . . . 5 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
90	89	xkotopon 19015	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
91	85, 86, 90	syl2an 474	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
92	77, 84, 88, 91	subbascn 18700	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) <-> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) /\ A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) ) )
93	4, 76, 92	mpbir2and 906	1 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1362   e. wcel 1755   =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962   i^i cin 3315   C_ wss 3316   (/)c0 3625   ifcif 3779   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079   e. cmpt 4338   X. cxp 4825   `'ccnv 4826   ran crn 4828   |` cres 4829   "cima 4830   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   e. cmpt2 6082   ficfi 7648   ↾_t crest 14342   topGenctg 14359   Topctop 18340  TopOnctopon 18341   Cn ccn 18670   Compccmp 18831   ^ko cxko 18976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-cmp 18832  df-xko 18978

This theorem is referenced by:  cnmptkc  19094  xkofvcn  19099