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Theorem xkoccn 20097
Description: The "constant function" function which maps 
x  e.  Y to the constant function  z  e.  X  |->  x is a continuous function from  X into the space of continuous functions from  Y to  X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is  x  e.  Y  |->  ( z  e.  X  |->  z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkoccn  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) ) )
Distinct variable groups:    x, R    x, S    x, X    x, Y

Proof of Theorem xkoccn
Dummy variables  f 
k  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnconst2 19761 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S ) )
213expa 1197 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  =  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )
42, 3fmptd 6040 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) : Y --> ( R  Cn  S
) )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  U. R  =  U. R
6 eqid 2443 . . . . . 6  |-  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  =  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp }
7 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  =  ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )
85, 6, 7xkobval 20064 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  =  { y  |  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) }
98abeq2i 2570 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  <->  E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
102adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
1110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S ) )
1211adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
13 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  =  (/) )
1413imaeq2d 5327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ( ( X  X.  { x } )
" (/) ) )
15 ima0 5342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  =  (/)
16 0ss 3800 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  C_  v
1715, 16eqsstri 3519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  X.  { x } ) " (/) )  C_  v
1814, 17syl6eqss 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v )
19 imaeq1 5322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( f "
k )  =  ( ( X  X.  {
x } ) "
k ) )
2019sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( X  X.  { x } )  ->  ( ( f
" k )  C_  v 
<->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) )
2120elrab 3243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }  <->  ( ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
)  /\  ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v ) )
2212, 18, 21sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )
2322ralrimiva 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )
24 rabid2 3021 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  <->  A. x  e.  Y  ( X  X.  { x } )  e.  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)
2523, 24sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
26 simpllr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  S  e.  (TopOn `  Y )
)
27 toponmax 19406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  e.  S )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  Y  e.  S )
2928adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  Y  e.  S )
3025, 29eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
31 ifnefalse 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =/=  (/)  ->  if (
k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  =  v )
3332eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
x  e.  v ) )
34 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3534snss 4139 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  v  <->  { x }  C_  v )
3633, 35syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <->  { x }  C_  v ) )
37 df-ima 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X  X.  { x } ) " k
)  =  ran  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )
38 simplrl 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  k  e.  ~P U. R )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  e.  ~P U. R )
4039elpwid 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  U. R )
41 toponuni 19405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. R )
4241ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  X  =  U. R
)
4340, 42sseqtr4d 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  k  C_  X )
44 xpssres 5298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k 
C_  X  ->  (
( X  X.  {
x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )  |`  k )  =  ( k  X.  { x } ) )
4645rneqd 5220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( ( X  X.  { x }
)  |`  k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
4737, 46syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  ran  ( k  X. 
{ x } ) )
48 rnxp 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =/=  (/)  ->  ran  ( k  X.  { x }
)  =  { x } )
4948ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ran  ( k  X. 
{ x } )  =  { x }
)
5047, 49eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( X  X.  { x } )
" k )  =  { x } )
5150sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  { x }  C_  v ) )
5211adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( X  X.  {
x } )  e.  ( R  Cn  S
) )
5352biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( ( ( X  X.  { x }
) " k ) 
C_  v  <->  ( ( X  X.  { x }
)  e.  ( R  Cn  S )  /\  ( ( X  X.  { x } )
" k )  C_  v ) ) )
5436, 51, 533bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  if ( k  =  (/) ,  Y ,  v )  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5533, 54bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( ( X  X.  { x } )  e.  ( R  Cn  S )  /\  (
( X  X.  {
x } ) "
k )  C_  v
) ) )
5655, 21syl6bbr 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  /\  ( Rt  k
)  e.  Comp )  /\  k  =/=  (/) )  /\  x  e.  Y )  ->  ( x  e.  v  <-> 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) )
5756rabbi2dva 3691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
58 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  e.  S )
59 toponss 19407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  (TopOn `  Y )  /\  v  e.  S )  ->  v  C_  Y )
6026, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  v  C_  Y )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  C_  Y )
62 dfss1 3688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v 
C_  Y  <->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6361, 62sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  ( Y  i^i  v )  =  v )
6457, 63eqtr3d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  =  v )
6558adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  v  e.  S )
6664, 65eqeltrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X
)  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e. 
~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  /\  k  =/=  (/) )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
6730, 66pm2.61dane 2761 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S )
68 imaeq2 5323 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) ) " {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) )
693mptpreima 5490 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } )  =  {
x  e.  Y  | 
( X  X.  {
x } )  e. 
{ f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } }
7068, 69syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  =  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x } )  e.  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v } } )
7170eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { f  e.  ( R  Cn  S
)  |  ( f
" k )  C_  v }  ->  ( ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S  <->  { x  e.  Y  |  ( X  X.  { x }
)  e.  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } }  e.  S ) )
7267, 71syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S ) )  /\  ( Rt  k )  e. 
Comp )  ->  (
y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v }  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
7372expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  ( k  e.  ~P U. R  /\  v  e.  S )
)  ->  ( (
( Rt  k )  e. 
Comp  /\  y  =  {
f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7473rexlimdvva 2942 . . . 4  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( E. k  e.  ~P  U. R E. v  e.  S  ( ( Rt  k )  e.  Comp  /\  y  =  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) " y )  e.  S ) )
759, 74syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  ->  ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) )
7675ralrimiv 2855 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  A. y  e.  ran  ( k  e. 
{ z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) "
y )  e.  S
)
77 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  S  e.  (TopOn `  Y ) )
78 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( R  Cn  S )  e. 
_V
7978pwex 4620 . . . . 5  |-  ~P ( R  Cn  S )  e. 
_V
805, 6, 7xkotf 20063 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S ) --> ~P ( R  Cn  S )
81 frn 5727 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) : ( { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp }  X.  S
) --> ~P ( R  Cn  S )  ->  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
)  C_  ~P ( R  Cn  S ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . . 5  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } ) 
C_  ~P ( R  Cn  S )
8379, 82ssexi 4582 . . . 4  |-  ran  (
k  e.  { z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k ) 
C_  v } )  e.  _V
8483a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } )  e.  _V )
85 topontop 19404 . . . 4  |-  ( R  e.  (TopOn `  X
)  ->  R  e.  Top )
86 topontop 19404 . . . 4  |-  ( S  e.  (TopOn `  Y
)  ->  S  e.  Top )
875, 6, 7xkoval 20065 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  =  (
topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
8885, 86, 87syl2an 477 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ko  R )  =  ( topGen `  ( fi `  ran  ( k  e.  {
z  e.  ~P U. R  |  ( Rt  z
)  e.  Comp } , 
v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f " k
)  C_  v }
) ) ) )
89 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( S  ^ko  R )  =  ( S  ^ko  R )
9089xkotopon 20078 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9185, 86, 90syl2an 477 . . 3  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( S  ^ko  R )  e.  (TopOn `  ( R  Cn  S
) ) )
9277, 84, 88, 91subbascn 19732 . 2  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) )  <->  ( (
x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x } ) ) : Y --> ( R  Cn  S )  /\  A. y  e.  ran  ( k  e.  { z  e. 
~P U. R  |  ( Rt  z )  e.  Comp } ,  v  e.  S  |->  { f  e.  ( R  Cn  S )  |  ( f "
k )  C_  v } ) ( `' ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  {
x } ) )
" y )  e.  S ) ) )
934, 76, 92mpbir2and 922 1  |-  ( ( R  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( x  e.  Y  |->  ( X  X.  { x }
) )  e.  ( S  Cn  ( S  ^ko  R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   ficfi 7872   ↾t crest 14799   topGenctg 14816   Topctop 19371  TopOnctopon 19372    Cn ccn 19702   Compccmp 19863    ^ko cxko 20039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14801  df-topgen 14822  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-cmp 19864  df-xko 20041
This theorem is referenced by:  cnmptkc  20157  xkofvcn  20162
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