Theorem xkoccn 20097

Description: The "constant function" function which maps x e. Y to the constant function z e. X |-> x is a continuous function from X into the space of continuous functions from Y to X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is x e. Y |-> ( z e. X |-> z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkoccn	|- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Distinct variable groups:   x, R   x, S   x, X   x, Y

Proof of Theorem xkoccn

Dummy variables f k v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnconst2 19761	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
2	1	3expa 1197	. . 3 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
3		eqid 2443	. . 3 |- ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) = ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) )
4	2, 3	fmptd 6040	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) )
5		eqid 2443	. . . . . 6 |- U. R = U. R
6		eqid 2443	. . . . . 6 |- { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } = { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp }
7		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkobval 20064	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { y | E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) }
9	8	abeq2i 2570	. . . 4 |- ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
10	2	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
11	10	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
12	11	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
13		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> k = (/) )
14	13	imaeq2d 5327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ( ( X X. { x } ) " (/) ) )
15		ima0 5342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) = (/)
16		0ss 3800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) C_ v
17	15, 16	eqsstri 3519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) C_ v
18	14, 17	syl6eqss 3539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v )
19		imaeq1 5322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( f " k ) = ( ( X X. { x } ) " k ) )
20	19	sseq1d 3516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
21	20	elrab 3243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
22	12, 18, 21	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
23	22	ralrimiva 2857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
24		rabid2 3021	. . . . . . . . . 10 |- ( Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } <-> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
25	23, 24	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
26		simpllr 760	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
27		toponmax 19406	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> Y e. S )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> Y e. S )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y e. S )
30	25, 29	eqeltrrd 2532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
31		ifnefalse 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k =/= (/) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
32	31	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
33	32	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> x e. v ) )
34		vex 3098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
35	34	snss 4139	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
36	33, 35	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> { x } C_ v ) )
37		df-ima 5002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( ( X X. { x } ) |` k )
38		simplrl 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> k e. ~P U. R )
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k e. ~P U. R )
40	39	elpwid 4007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ U. R )
41		toponuni 19405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
42	41	ad5antr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> X = U. R )
43	40, 42	sseqtr4d 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ X )
44		xpssres 5298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k C_ X -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
46	45	rneqd 5220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( ( X X. { x } ) |` k ) = ran ( k X. { x } ) )
47	37, 46	syl5eq 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( k X. { x } ) )
48		rnxp 5427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k =/= (/) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
49	48	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
50	47, 49	eqtrd 2484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = { x } )
51	50	sseq1d 3516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> { x } C_ v ) )
52	11	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
53	52	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
54	36, 51, 53	3bitr2d 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
55	33, 54	bitr3d 255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
56	55, 21	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
57	56	rabbi2dva 3691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
58		simplrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v e. S )
59		toponss 19407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. (TopOn ` Y ) /\ v e. S ) -> v C_ Y )
60	26, 58, 59	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v C_ Y )
61	60	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v C_ Y )
62		dfss1 3688	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ Y <-> ( Y i^i v ) = v )
63	61, 62	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = v )
64	57, 63	eqtr3d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } = v )
65	58	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v e. S )
66	64, 65	eqeltrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
67	30, 66	pm2.61dane 2761	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
68		imaeq2 5323	. . . . . . . . 9 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
69	3	mptpreima 5490	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } }
70	68, 69	syl6eq 2500	. . . . . . . 8 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
71	70	eleq1d 2512	. . . . . . 7 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S <-> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S ) )
72	67, 71	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
73	72	expimpd 603	. . . . 5 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) -> ( ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
74	73	rexlimdvva 2942	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
75	9, 74	syl5bi 217	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
76	75	ralrimiv 2855	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S )
77		simpr 461	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
78		ovex 6309	. . . . . 6 |- ( R Cn S ) e. _V
79	78	pwex 4620	. . . . 5 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
80	5, 6, 7	xkotf 20063	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
81		frn 5727	. . . . . 6 |- ( ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
83	79, 82	ssexi 4582	. . . 4 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V )
85		topontop 19404	. . . 4 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
86		topontop 19404	. . . 4 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> S e. Top )
87	5, 6, 7	xkoval 20065	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
88	85, 86, 87	syl2an 477	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
89		eqid 2443	. . . . 5 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
90	89	xkotopon 20078	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
91	85, 86, 90	syl2an 477	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
92	77, 84, 88, 91	subbascn 19732	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) <-> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) /\ A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) ) )
93	4, 76, 92	mpbir2and 922	1 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   |-> cmpt 4495   X. cxp 4987   `'ccnv 4988   ran crn 4990   |` cres 4991   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   |-> cmpt2 6283   ficfi 7872   ↾_t crest 14799   topGenctg 14816   Topctop 19371  TopOnctopon 19372   Cn ccn 19702   Compccmp 19863   ^ko cxko 20039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-fin 7522  df-fi 7873  df-rest 14801  df-topgen 14822  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-cn 19705  df-cnp 19706  df-cmp 19864  df-xko 20041

This theorem is referenced by:  cnmptkc  20157  xkofvcn  20162