Theorem xkoccn 20634

Description: The "constant function" function which maps x e. Y to the constant function z e. X |-> x is a continuous function from X into the space of continuous functions from Y to X. This can also be understood as the currying of the first projection function. (The currying of the second projection function is x e. Y |-> ( z e. X |-> z ), which we already know is continuous because it is a constant function.) (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xkoccn	|- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Distinct variable groups:   x, R   x, S   x, X   x, Y

Proof of Theorem xkoccn

Dummy variables f k v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnconst2 20299	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
2	1	3expa 1208	. . 3 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
3		eqid 2451	. . 3 |- ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) = ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) )
4	2, 3	fmptd 6046	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) )
5		eqid 2451	. . . . . 6 |- U. R = U. R
6		eqid 2451	. . . . . 6 |- { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } = { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp }
7		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
8	5, 6, 7	xkobval 20601	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { y | E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) }
9	8	abeq2i 2563	. . . 4 |- ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) <-> E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
10	2	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
11	10	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
12	11	adantlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
13		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> k = (/) )
14	13	imaeq2d 5168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ( ( X X. { x } ) " (/) ) )
15		ima0 5183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) = (/)
16		0ss 3763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) C_ v
17	15, 16	eqsstri 3462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X X. { x } ) " (/) ) C_ v
18	14, 17	syl6eqss 3482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v )
19		imaeq1 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( f " k ) = ( ( X X. { x } ) " k ) )
20	19	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( X X. { x } ) -> ( ( f " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
21	20	elrab 3196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) )
22	12, 18, 21	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
23	22	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
24		rabid2 2968	. . . . . . . . . 10 |- ( Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } <-> A. x e. Y ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } )
25	23, 24	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
26		simpllr 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
27		toponmax 19943	. . . . . . . . . . 11 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> Y e. S )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> Y e. S )
29	28	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> Y e. S )
30	25, 29	eqeltrrd 2530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k = (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
31		ifnefalse 3893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k =/= (/) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
32	31	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> if ( k = (/) , Y , v ) = v )
33	32	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> x e. v ) )
34		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
35	34	snss 4096	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. v <-> { x } C_ v )
36	33, 35	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> { x } C_ v ) )
37		df-ima 4847	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( ( X X. { x } ) |` k )
38		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> k e. ~P U. R )
39	38	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k e. ~P U. R )
40	39	elpwid 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ U. R )
41		toponuni 19942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> X = U. R )
42	41	ad5antr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> X = U. R )
43	40, 42	sseqtr4d 3469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> k C_ X )
44		xpssres 5139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k C_ X -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) |` k ) = ( k X. { x } ) )
46	45	rneqd 5062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( ( X X. { x } ) |` k ) = ran ( k X. { x } ) )
47	37, 46	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = ran ( k X. { x } ) )
48		rnxp 5267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k =/= (/) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
49	48	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ran ( k X. { x } ) = { x } )
50	47, 49	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( X X. { x } ) " k ) = { x } )
51	50	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> { x } C_ v ) )
52	11	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) )
53	52	biantrurd 511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
54	36, 51, 53	3bitr2d 285	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. if ( k = (/) , Y , v ) <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
55	33, 54	bitr3d 259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( ( X X. { x } ) e. ( R Cn S ) /\ ( ( X X. { x } ) " k ) C_ v ) ) )
56	55, 21	syl6bbr 267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) /\ x e. Y ) -> ( x e. v <-> ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
57	56	rabbi2dva 3640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
58		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v e. S )
59		toponss 19944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. (TopOn ` Y ) /\ v e. S ) -> v C_ Y )
60	26, 58, 59	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> v C_ Y )
61	60	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v C_ Y )
62		dfss1 3637	. . . . . . . . . . 11 |- ( v C_ Y <-> ( Y i^i v ) = v )
63	61, 62	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> ( Y i^i v ) = v )
64	57, 63	eqtr3d 2487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } = v )
65	58	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> v e. S )
66	64, 65	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) /\ k =/= (/) ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
67	30, 66	pm2.61dane 2711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S )
68		imaeq2 5164	. . . . . . . . 9 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) )
69	3	mptpreima 5328	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } }
70	68, 69	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) = { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } )
71	70	eleq1d 2513	. . . . . . 7 |- ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S <-> { x e. Y | ( X X. { x } ) e. { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } } e. S ) )
72	67, 71	syl5ibrcom 226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) /\ ( R ↾t k ) e. Comp ) -> ( y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
73	72	expimpd 608	. . . . 5 |- ( ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) /\ ( k e. ~P U. R /\ v e. S ) ) -> ( ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
74	73	rexlimdvva 2886	. . . 4 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( E. k e. ~P U. R E. v e. S ( ( R ↾t k ) e. Comp /\ y = { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
75	9, 74	syl5bi 221	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) -> ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) )
76	75	ralrimiv 2800	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S )
77		simpr 463	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> S e. (TopOn ` Y ) )
78		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( R Cn S ) e. _V
79	78	pwex 4586	. . . . 5 |- ~P ( R Cn S ) e. _V
80	5, 6, 7	xkotf 20600	. . . . . 6 |- ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S )
81		frn 5735	. . . . . 6 |- ( ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) : ( { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } X. S ) --> ~P ( R Cn S ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S ) )
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . 5 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) C_ ~P ( R Cn S )
83	79, 82	ssexi 4548	. . . 4 |- ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) e. _V )
85		topontop 19941	. . . 4 |- ( R e. (TopOn ` X ) -> R e. Top )
86		topontop 19941	. . . 4 |- ( S e. (TopOn ` Y ) -> S e. Top )
87	5, 6, 7	xkoval 20602	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
88	85, 86, 87	syl2an 480	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) = ( topGen ` ( fi ` ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ) ) )
89		eqid 2451	. . . . 5 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
90	89	xkotopon 20615	. . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
91	85, 86, 90	syl2an 480	. . 3 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( S ^ko R ) e. (TopOn ` ( R Cn S ) ) )
92	77, 84, 88, 91	subbascn 20270	. 2 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) <-> ( ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) : Y --> ( R Cn S ) /\ A. y e. ran ( k e. { z e. ~P U. R | ( R ↾t z ) e. Comp } , v e. S |-> { f e. ( R Cn S ) | ( f " k ) C_ v } ) ( `' ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) " y ) e. S ) ) )
93	4, 76, 92	mpbir2and 933	1 |- ( ( R e. (TopOn ` X ) /\ S e. (TopOn ` Y ) ) -> ( x e. Y |-> ( X X. { x } ) ) e. ( S Cn ( S ^ko R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   {csn 3968   U.cuni 4198   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835   |` cres 4836   "cima 4837   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   ficfi 7924   ↾_t crest 15319   topGenctg 15336   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   Cn ccn 20240   Compccmp 20401   ^ko cxko 20576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-xko 20578

This theorem is referenced by:  cnmptkc  20694  xkofvcn  20699